高二数学必修五1.2.2

1、第2课时解三角形的实际应用举例高度、角度问题1.1.仰角和俯角仰角和俯角如图所示如图所示. .2.2.方向角和方位角方向角和方位角(1)(1)方向角方向角: :指北或指南方向线与目标方向线所成的指北或指南方向线与目标方向线所成的_的水平角的水平角, ,叫方向角叫方向角. .目标方向线方向一般可用目标方向线方向一般可用“偏偏”多少多少度来表示度来表示, ,这里第一个这里第一个“”是是“北北”或或“南南”, ,第二个第二个“”是是“东东”或或“西西”. .小于小于9090如图所示如图所示,OA,OB,OC,OD,OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东的方向角分别表示北偏东6060、北偏西、北

2、偏西3030、_、南偏东、南偏东2020. .南偏西南偏西4545(2)(2)方位角方位角: :从从_的方向线按的方向线按_到目标方向线所转过的到目标方向线所转过的水平角水平角. .正北正北顺时针顺时针3.3.视角视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角. .如图所示如图所示, ,视视角角6060指的是观察该物体上下两端点时指的是观察该物体上下两端点时, ,视线的张角视线的张角. .1.“1.“判一判判一判”( (正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)“(1)“视角视角”就是就是“仰角仰角”. .( () )(2)(2)仰角与

3、俯角都是与铅垂线所成的角仰角与俯角都是与铅垂线所成的角. .( () )(3)(3)方位角的范围是方位角的范围是(0,).(0,).( () )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .视角和仰角定义不同视角和仰角定义不同, ,不是一个概念不是一个概念. .(2)(2)错误错误. .仰角与俯角都是与水平线所成的角仰角与俯角都是与水平线所成的角. .(3)(3)错误错误. .方位角的概念明确表明方位角的概念明确表明,“,“从正北方向顺时针转到目从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角标方向线所成的角”, ,显然方位角的范围应该为显然方位角的范围应该为(0,2).(0,2).答案答案: :(1)(1

4、)(2)(2)(3)(3)2.“2.“做一做做一做”( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)沿坡角为沿坡角为4545的斜坡直线向上行走的斜坡直线向上行走80m,80m,实际升高了实际升高了m.m.(2)(2)身高为身高为1.701.70米的李明站在离旗杆米的李明站在离旗杆2020米的地方米的地方, ,目测该旗杆的目测该旗杆的高度高度, ,若李明此时的仰视角为若李明此时的仰视角为3030, ,则该旗杆的高度约为则该旗杆的高度约为米米. .( (精确到精确到0.10.1米米) )(3)(3)如图所示如图所示,OA,OB,OA,OB的方向角各是的方向角各是. .【解析

5、】【解析】(1)h=80(1)h=80sin45sin45=40 (m).=40 (m).答案答案: :4040(2)h= +1.7013.2(2)h= +1.7013.2(米米).).答案答案: :13.213.2(3)(3)根据方向角的概念可知根据方向角的概念可知,OA,OA的方向角为北偏东的方向角为北偏东6060,OB,OB的方的方向角为北偏西向角为北偏西3030. .答案答案: :北偏东北偏东6060, ,北偏西北偏西303022203底部可到达底部可到达底部不可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解直角三角形解直角三角形解一般三角形解一般三角形【要点探究】【要点探究】知识点知识点

6、 高度和角度的测量问题高度和角度的测量问题测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征测量高度问题时常见的三种数学模型及其特征(1)(1)三种模型：三种模型：(2)(2)特征特征: :底部可到达底部可到达, ,此类问题可直接构造直角三角形此类问题可直接构造直角三角形. .底部不可到达底部不可到达, ,但仍在同一与地面垂直的平面内但仍在同一与地面垂直的平面内, ,此类问题中此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上, ,观测者一直观测者一直向向“目标物目标物”前进前进. .底部不可到达底部不可到达, ,且涉及与地面垂直的平面且涉及与地面垂直的平面.

7、 .此类问题中观测者此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过两次观测点所在直线不经过“目标物目标物”. .【微思考】【微思考】为了测量某建筑物的高度所构造的三角形为了测量某建筑物的高度所构造的三角形, ,其所在平面与地面其所在平面与地面之间有什么关系之间有什么关系? ?提示提示: :为了测量某建筑物的高度所构造的三角形为了测量某建筑物的高度所构造的三角形, ,其所在平面与其所在平面与地面垂直地面垂直. .【即时练】【即时练】从高出海平面从高出海平面h h米的小岛看正东方向有一只船俯角为米的小岛看正东方向有一只船俯角为3030, ,看正看正南方向有一只船俯角为南方向有一只船俯角为4545, ,则

8、此时两船间的距离为则此时两船间的距离为( () )A.2hA.2h米米B. hB. h米米C. hC. h米米D.2 hD.2 h米米232【解析】【解析】选选A.A.如图所示如图所示,BC= h,AC=h,BC= h,AC=h,所以所以AB= AB= =2h(=2h(米米).).3223hh【题型示范】【题型示范】类型一类型一 高度问题高度问题【典例【典例1 1】(1)(1)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱, ,为了测量喷水柱为了测量喷水柱喷出的水柱的高度喷出的水柱的高度, ,某人在喷水柱正西方向的点某人在喷水柱正西方向的点A A测得水柱顶端测得水柱顶

9、端的仰角为的仰角为4545, ,沿点沿点A A向北偏东向北偏东3030前进前进100m100m到达点到达点B,B,在在B B点测点测得水柱顶端的仰角为得水柱顶端的仰角为3030, ,则水柱的高度是则水柱的高度是( () )A.50 m B.100 m C.120 m A.50 m B.100 m C.120 m D.150mD.150m(2)(2)某兴趣小组要测量电视塔某兴趣小组要测量电视塔AEAE的高度的高度H(H(单位单位:m).:m).如图如图, ,竖直放竖直放置的标杆置的标杆BCBC的高度的高度h=4m,h=4m,仰角仰角ABE=,ADE=.ABE=,ADE=.该小组已测该小组已测得一

10、组得一组,的值的值, ,算出了算出了tan=1.24,tan=1.20,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出请据此算出H H的值的值. .【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)画示意图要注意的问题是什么画示意图要注意的问题是什么? ?2.2.题题(2)(2)中怎样建立中怎样建立tan,tantan,tan和和H H间的关系间的关系? ?【探究提示】【探究提示】1.1.要注意两次观测点要注意两次观测点A A和和B B以及水柱底端以及水柱底端C C在水平在水平面上并不在同一条直线上面上并不在同一条直线上, ,因此要画一个立体图形因此要画一个立体图形. .2.2.题题(2)(2)

11、中通过中通过AB+BD=ADAB+BD=AD来建立来建立tan,tantan,tan和和H H间的关系间的关系. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选A.A.如图如图, ,设水柱高度是设水柱高度是hm,hm,水柱底端为水柱底端为C,C,则则在在ABCABC中中,BAC=60,BAC=60,AC=h,AB=100,BC= h,AC=h,AB=100,BC= h,根据余弦定理得根据余弦定理得, ,( h)( h)2 2=h=h2 2+100+1002 2-2h100cos60-2h100cos60, ,即即h h2 2+50h-5000=0,+50h-5000=0,解得解得h=50,h=50

12、,故水柱的高度是故水柱的高度是50m.50m.33(2)(2)由由 及及AB+BD=AD,AB+BD=AD,得得解得解得H= =124.H= =124.因此因此, ,算出的电视塔的高度算出的电视塔的高度H H是是124m.124m.HhHABBDADtan tan tan ，HhHtan tan tan ，htan 4 1.24tan tan 1.24 1.20【方法技巧】【方法技巧】测量高度问题的要求及注意事项测量高度问题的要求及注意事项(1)(1)要求要求: :依题意画图是解决三角形应用题的关键依题意画图是解决三角形应用题的关键. .问题中如果问题中如果既有方向角既有方向角( (它是在水平

13、面上所成的角它是在水平面上所成的角),),又有仰又有仰( (俯俯) )角角( (它是在它是在铅垂面上所成的角铅垂面上所成的角),),在绘制图形时在绘制图形时, ,可画立体图形和平面图形可画立体图形和平面图形两个图两个图, ,以对比分析求解以对比分析求解. .(2)(2)注意事项注意事项: :方向角是相对于在某地而言的方向角是相对于在某地而言的, ,因此在确定方向因此在确定方向角时角时, ,必须先弄清楚是哪一点的方向角必须先弄清楚是哪一点的方向角. .从这个意义上来说从这个意义上来说, ,方方向角是一个动态角向角是一个动态角, ,在理解题意时在理解题意时, ,应把它看活应把它看活, ,否则在理解

14、题否则在理解题意时将可能产生偏差意时将可能产生偏差. .【变式训练】【变式训练】在某一山顶观测山下两村庄在某一山顶观测山下两村庄A,B,A,B,测得测得A A的俯角为的俯角为3030,B,B的俯角为的俯角为4040, ,观测观测A,BA,B两村庄的视角为两村庄的视角为5050, ,已知已知A,BA,B在在同一水平面上且相距同一水平面上且相距1000m,1000m,求山的高度求山的高度.(.(参考数据参考数据sin40sin400.643,0.643,精确到精确到1m)1m)【解题指南】【解题指南】根据题意画出图形根据题意画出图形, ,通过图形分析建立关系求解通过图形分析建立关系求解. .【解析

15、】【解析】设山顶为设山顶为C,C,山高山高CD=x,CD=x,由题意由题意CAD=30CAD=30,CBD=40,CBD=40,ACB=50,ACB=50. .在在RtRtADCADC中中,AC= =2x,AC= =2x,在在RtRtBDCBDC中中,BC=,BC=CDsin 30CDx.sin 40 sin 40在在ABCABC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2ACBCcosACB.-2ACBCcosACB.所以所以100010002 2=4x=4x2 2+ cos50+ cos50, ,所以所以x=1000sin40 x=1000sin

16、40643(m).643(m).即山高约为即山高约为643m.643m.222x4xsin 40sin 40【补偿训练】【补偿训练】从从200m200m高的山顶看高的山顶看, ,测得山下一塔顶与塔底的俯测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为角分别为3030,60,60, ,则塔高为则塔高为( () )400400 3A.m B.m33200 3200C.m D.m33【解析】【解析】选选A.A.由山顶与塔底的俯角为由山顶与塔底的俯角为6060可知可知, ,山脚与塔底的山脚与塔底的水平距离为水平距离为 又山顶看塔顶的俯角为又山顶看塔顶的俯角为3030. .设塔高为设塔高为xm,xm,则则200-x=

17、200-x= 所以所以x= x= 故选故选A.A.2003，200333，4003，类型二类型二 角度问题角度问题【典例【典例2 2】(1)(1)一艘客船上午一艘客船上午9:309:30在在A A处处, ,测得灯塔测得灯塔S S在它的北偏东在它的北偏东3030, ,之之后它以每小时后它以每小时3232海里的速度继续沿正北方向匀速航行海里的速度继续沿正北方向匀速航行, ,上午上午10:0010:00到达到达B B处处, ,此时测得船与灯塔此时测得船与灯塔S S相距相距8 8 海里海里, ,则灯塔则灯塔S S在在B B处的处的( () )A.A.北偏东北偏东7575 B. B.南偏东南偏东1515

18、C.C.北偏东北偏东7575或南偏东或南偏东1515 D. D.以上方位都不对以上方位都不对2(2)(2)如图如图, ,甲船在甲船在A A处处, ,乙船在乙船在A A处的南偏东处的南偏东4545方向方向, ,距距A A有有9 9海里海里的的B B处处, ,并以并以2020海里每小时的速度沿南偏西海里每小时的速度沿南偏西1515方向行驶方向行驶, ,若甲若甲船沿南偏东船沿南偏东度的方向度的方向, ,并以并以2828海里每小时的速度行驶海里每小时的速度行驶, ,恰能在恰能在C C处追上乙船处追上乙船. .问用多少小时追上乙船问用多少小时追上乙船, ,并求并求sinsin的值的值.(.(结果保结果保

19、留根号留根号, ,无需求近似值无需求近似值) )【解题探究】【解题探究】1.1.分析题分析题(1)(1)中角的关系的关键是什么中角的关系的关键是什么? ?2.2.题题(2)(2)中如何求得中如何求得ABC?ABC?【探究提示】【探究提示】1.1.确定题确定题(1)(1)中角的关系的关键是画出图形中角的关系的关键是画出图形, ,并结并结合方向角的有关概念求解合方向角的有关概念求解. .2.ABC=1802.ABC=180-15-15-45-45=120=120. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选C.C.根据题意画出示意图根据题意画出示意图, ,如图如图, ,由题意可知由题意可知AB=3

20、2AB=32 =16,BS=8 ,A=30 =16,BS=8 ,A=30. .在在ABSABS中中, ,由正弦定理由正弦定理, ,得得所以所以S=45S=45或或135135, ,所以所以B=105B=105或或1515, ,即灯塔即灯塔S S在在B B处的北偏东处的北偏东7575或南偏东或南偏东1515. .122ABBSABsin A16sin 302sin S,sin Ssin ABS28 2，(2)(2)设用设用t t小时小时, ,甲船追上乙船甲船追上乙船, ,且在且在C C处相遇处相遇, ,那么在那么在ABCABC中中,AC=28t,BC=20t,AB=9,AC=28t,BC=20t

21、,AB=9,ABC=180ABC=180-15-15-45-45=120=120, ,由余弦定理得由余弦定理得: :(28t)(28t)2 2=81+(20t)=81+(20t)2 2-2-29 920t20t(- ),(- ),128t128t2 2-60t-27=0,-60t-27=0,解得解得t= t= 或或t=- (t=- (舍去舍去),),所以所以AC=21(AC=21(海里海里),BC=15(),BC=15(海里海里),),1234932根据正弦定理根据正弦定理, ,得得sinBAC=sinBAC=cosBAC=cosBAC=又又ABC=120ABC=120,BAC,BAC为锐角为

22、锐角, ,所以所以=45=45-BAC,-BAC,sin=sin(45sin=sin(45-BAC)-BAC)=sin45=sin45cosBAC-cos 45cosBAC-cos 45sinBAC=sinBAC=BCsin ABC5 3AC14，275111.141411 2 5 6.28【延伸探究】【延伸探究】题题(2)(2)中若乙船向正南方向行驶中若乙船向正南方向行驶, ,速度未知速度未知, ,而甲而甲船沿南偏东船沿南偏东1515的方向行驶恰能与乙船相遇的方向行驶恰能与乙船相遇, ,其他条件不变其他条件不变, ,试试求乙船的速度求乙船的速度. .【解析】【解析】设乙船的速度为设乙船的速度

23、为x x海里每小时海里每小时, ,用用t t小时甲船追上乙船小时甲船追上乙船, ,且在且在C C处相遇处相遇( (如图所示如图所示),),则在则在ABCABC中中,AC=28t,BC=xt,CAB=30,AC=28t,BC=xt,CAB=30,ABC=135,ABC=135. .由正弦定理得由正弦定理得即即所以所以x=x= ( (海里每小时海里每小时).).答答: :乙船的速度为乙船的速度为14 14 海里每小时海里每小时. .ACBCsin ABCsin CAB，28txtsin 135sin 30，28 sin 30.sin 135128214 2222【方法技巧】【方法技巧】测量角度问题

24、的基本思路测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上, ,画出表示实画出表示实际问题的图形际问题的图形, ,并在图形中标出有关的角和距离并在图形中标出有关的角和距离, ,再用正弦定理再用正弦定理或余弦定理解三角形或余弦定理解三角形, ,最后将解得的结果转化为实际问题的解最后将解得的结果转化为实际问题的解. .【变式训练】【变式训练】某海上养殖基地某海上养殖基地A,A,接到气象部门预报接到气象部门预报, ,位于基地位于基地南偏东南偏东6060相距相距20( +1)20( +1)海里的海面上有一台风中心海里的海面上有一台风中心, ,影响半影

25、响半径为径为2020海里海里, ,正以每小时正以每小时10 10 海里的速度沿某一方向匀速直线海里的速度沿某一方向匀速直线前进前进, ,预计台风中心将从基地东北方向刮过且预计台风中心将从基地东北方向刮过且( ( +1)+1)小时后开小时后开始持续影响基地始持续影响基地2 2小时小时. .求台风移动的方向求台风移动的方向. .233【解析】【解析】如图所示如图所示, ,设预报时台风中心为设预报时台风中心为B,B,开始影响基地时台开始影响基地时台风中心为风中心为C,C,基地刚好不受影响时台风中心为基地刚好不受影响时台风中心为D,D,则则B,C,DB,C,D在一直在一直线上线上, ,且且AD=20,

26、AC=20.AD=20,AC=20.由题意由题意AB=20( +1),DC=20 ,AB=20( +1),DC=20 ,BC=( +1)10 .BC=( +1)10 .在在ADCADC中中, ,因为因为DCDC2 2=AD=AD2 2+AC+AC2 2, ,所以所以DAC=90DAC=90,ADC=45,ADC=45. .2332在在ABCABC中中, ,由余弦定理得由余弦定理得cosBAC=cosBAC=所以所以BAC=30BAC=30, ,又因为又因为B B位于位于A A南偏东南偏东6060, ,6060+30+30+90+90=180=180, ,所以点所以点D D位于位于A A的正北方

27、向的正北方向, ,又因为又因为ADC=45ADC=45, ,所以台风移动的方向为北偏西所以台风移动的方向为北偏西4545. .222ACABBC3.2AC AB2【补偿训练】【补偿训练】甲船在甲船在A A处观察到乙船在它的北偏东处观察到乙船在它的北偏东6060方向的方向的B B处处, ,两船相距两船相距a n mile,a n mile,乙船向正北方向行驶乙船向正北方向行驶. .若甲船的速度是若甲船的速度是乙船速度的乙船速度的 倍倍, ,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船船? ?相遇时乙船行驶多少相遇时乙船行驶多少n mile?n mile?3【解析】【

28、解析】如图所示如图所示, ,设两船在设两船在C C处相遇处相遇, ,并设并设CAB=,CAB=,乙船行驶距离乙船行驶距离BCBC为为x n mile,x n mile,则则AC= x,AC= x,3由正弦定理得由正弦定理得sin=sin=而而6060, ,所以所以=30=30, ,即即BAC=30BAC=30, ,所以所以ACB=30ACB=30, ,所以所以AB=BC=an mile,AB=BC=an mile,答答: :甲船应沿北偏东甲船应沿北偏东3030方向前进才能最快追上乙船方向前进才能最快追上乙船, ,两船相遇两船相遇时乙船行驶了时乙船行驶了an mile.an mile.BC si

29、n 1201AC2 ，【易错误区】【易错误区】利用正、余弦定理解决高度问题时弄错对应关系利用正、余弦定理解决高度问题时弄错对应关系致误致误【典例】【典例】(2014(2014新课标全国卷新课标全国卷)如图如图, ,为测量山高为测量山高MN,MN,选择选择A A和另一座山的山顶和另一座山的山顶C C为测量观测点为测量观测点. .从从A A点测得点测得M M点的仰角点的仰角MAN=MAN=6060,C,C点的仰角点的仰角CAB=45CAB=45以及以及MAC=75MAC=75; ;从从C C点测得点测得MCA=MCA=6060. .已知山高已知山高BC=100m,BC=100m,则山高则山高MN=MN=m.