高中数学3-2第2课时空间向量与垂直关系课件新人教A版选修

1、第2课时 空间向量与垂直关系空间中直线、平面垂直关系的向量表示空间中直线、平面垂直关系的向量表示1.1.两直线垂直的关系：设直线两直线垂直的关系：设直线l的方向向量为的方向向量为a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),直直线线m m的方向向量为的方向向量为b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),则则lmm _ _ _ _._.2.2.直线与平面的垂直关系：设直线直线与平面的垂直关系：设直线l的方向向量是的方向向量是a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量为的法向量为u=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),则则l_.

2、_.abab=0=0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0aua=k=ku3.3.两个平面的垂直关系：若平面两个平面的垂直关系：若平面的法向量为的法向量为u=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),平面平面的法向量为的法向量为v=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),则则_._.uvuv=0=0判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直量垂直，则两直线垂直.( )

3、.( )(2)(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直线与平面垂直.( ).( )(3)(3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是9090.( ).( )提示：提示：(1)(1)错误错误. .两直线的方向向量平行，这两条直线也可能两直线的方向向量平行，这两条直线也可能重合重合. .(2)(2)正确正确. .两向量的方向相同或相反，即两向量平行两向量的方向相同或相反，即两向量平行. .(3)(3)正确正确. .若两平面垂直，则其法向量垂直，故所成的角为若两平面

4、垂直，则其法向量垂直，故所成的角为9090. .答案：答案：(1)(1)(2)(3)(2)(3)【知识点拨知识点拨】1.1.空间中线、面垂直关系的三种类型空间中线、面垂直关系的三种类型(1)(1)空间两直线的垂直空间两直线的垂直, ,分为相交垂直和异面垂直分为相交垂直和异面垂直, ,都可以与两都可以与两直线的方向向量相互垂直进行相互转化直线的方向向量相互垂直进行相互转化. .(2)(2)直线与平面的垂直直线与平面的垂直, ,空间直线与平面的垂直是与直线的方空间直线与平面的垂直是与直线的方向向量与平面的法向量相互平行等价的向向量与平面的法向量相互平行等价的. .(3)(3)两个平面的垂直两个平面

5、的垂直, ,两个平面的垂直与这两个平面的法向量两个平面的垂直与这两个平面的法向量相互垂直是等价的相互垂直是等价的. .2.2.利用直线的方向向量与平面的法向量处理垂直关系的关键利用直线的方向向量与平面的法向量处理垂直关系的关键(1)(1)直线与直线垂直：关键看两直线的方向向量是否垂直直线与直线垂直：关键看两直线的方向向量是否垂直. .(2)(2)直线与平面垂直：关键看直线的方向向量与平面的法向量直线与平面垂直：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否共线；或者看直线的方向向量与平面内的两相交直线的是否共线；或者看直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量是否垂直方向向量是否垂直. .(3)(3

6、)平面与平面垂直：关键看两平面的法向量是否垂直平面与平面垂直：关键看两平面的法向量是否垂直. . 类型类型 一一 利用空间向量处理线线垂直问题利用空间向量处理线线垂直问题【典型例题典型例题】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E是是ACAC的中点，的中点，证明：证明：(1)BD(1)BD1 1AC.(2)BDAC.(2)BD1 1EBEB1 1. .2.2.在四棱锥在四棱锥S-ABCDS-ABCD中，中，SDSD平面平面ABCDABCD，点，点E E是是SBSB的中点，且底的中点，且底面面ABCDABCD是正方形，是正方形，

7、SD=ABSD=AB，在线段，在线段SDSD上是否存在一点上是否存在一点F F，使，使AECFAECF？【解题探究解题探究】1.1.利用向量证明两条直线垂直的关键是什么？利用向量证明两条直线垂直的关键是什么？2.2.解决探索性问题的一般思路是什么？解决探索性问题的一般思路是什么？探究提示：探究提示：1.1.利用向量证明两条直线垂直，关键是证明或判定这两条直利用向量证明两条直线垂直，关键是证明或判定这两条直线的方向向量垂直，即其数量积为线的方向向量垂直，即其数量积为0.0.2.2.解决探索性问题，一般是假设结论成立，然后把该结论作解决探索性问题，一般是假设结论成立，然后把该结论作为解题条件，再结

8、合题目的其他条件去推证求解，若能解出，为解题条件，再结合题目的其他条件去推证求解，若能解出，则原结论成立；若推出矛盾，则说明原结论不成立则原结论成立；若推出矛盾，则说明原结论不成立. .【解析解析】1.1.以以D D为原点，分别以为原点，分别以DADA，DCDC，DDDD1 1所在直线为所在直线为x x，y y，z z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 1，则，则B(1B(1，1 1，0)0)，D D1 1(0(0，0 0，1)1)，A(1A(1，0 0，0)0)，C(0C(0，1 1，0)0)， B B1 1(1(1，1 1，1

9、).1). 111111111111 BD111 AC110BDAC1111 1 00BDACBDAC.1 12 EB(1)2 211BDEB111 10BDEBBDEB .22 ， ， ， ，1 1E(0)2 2，2.2.如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系DxyzDxyz，假设在线段，假设在线段SDSD上存上存在一点在一点F F，使，使AECFAECF，设，设SD=AB=1SD=AB=1，则，则F(0F(0，0 0，z)z)，C(0C(0，1 1，0)0)， 又又S(0S(0，0 0，1)1)，B(1B(1，1 1，0),0),由由A(1A(1，0 0，0)0)得得 解

10、得解得z=1.z=1.即即F(0F(0，0 0，1)1)与与S S重合，故在线段重合，故在线段SDSD上存在点上存在点F(0F(0，0 0，1)1)，使，使AECF.AECF.CF01 z .， ，1 1 1E().2 2 2，1 1 1AE().2 2 2 ，AECFAECF,11AE CFz022 ，即，【拓展提升拓展提升】利用空间向量判断空间两直线垂直的方法利用空间向量判断空间两直线垂直的方法(1)(1)基向量法：选取三个不共线的已知向量基向量法：选取三个不共线的已知向量( (通常是它们的通常是它们的模及其两两夹角为已知模及其两两夹角为已知) )为空间的一个基底为空间的一个基底; ;把两

11、直线的方向向量用基底表示把两直线的方向向量用基底表示; ;利用向量的数量积运算利用向量的数量积运算, ,计算出两直线的方向向量的数量积计算出两直线的方向向量的数量积为为0;0;由方向向量垂直得到两直线垂直由方向向量垂直得到两直线垂直. .(2)(2)坐标法坐标法: :根据已知条件和图形特征根据已知条件和图形特征, ,建立适当的空间直角建立适当的空间直角坐标系坐标系, ,正确地写出各点的坐标正确地写出各点的坐标; ;根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标; ;计算两直线方向向量的数量积为计算两直线方向向量的数量积为0;0;由方向向量垂直得到两直线垂直

12、由方向向量垂直得到两直线垂直. .【变式训练变式训练】已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱长都为的各棱长都为1,M1,M是底是底面上面上BCBC边的中点边的中点,N,N是侧棱是侧棱CCCC1 1上的点上的点, ,且且 求证求证: : ABAB1 1MN.MN.【证明证明】方法一方法一: :11CNCC ,41111111111ABABAA ,MNMCCNBCCC2411111ACABAAACABAA ,24224111ABMN(ABAA ) ( ACABAA )2241AB2 22111111111ACABAB AAAAACAAABAA ,24224

13、 111111A AAB,A AAC, AB,AC60 ,AAABAC1,111111ABMNcos 600000,224424ABMN,ABMN. 又方法二方法二: :以以M M为原点为原点, ,直线直线MC,MAMC,MA分别为分别为x x轴、轴、y y轴轴, ,过过B B1 1C C1 1的中点的中点M M1 1与与M M的直线为的直线为z z轴轴, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,如图所示如图所示. .111111131:M 0,0,0 ,N( ,0, ),A(0,0),B (,0,1),24221113MN( ,0, ),AB(,1),24221131MN AB()0 (

14、)10,2224MNAB ,ABMN. 那么类型类型 二二 利用空间向量处理线面垂直问题利用空间向量处理线面垂直问题【典型例题典型例题】1.1.如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F，G G分别是分别是B B1 1B B，ABAB，BCBC的中点的中点. .证明证明:D:D1 1FF平面平面AEG.AEG.2.2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作E

15、FPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)证明：证明：PAPA平面平面EDB.EDB.(2)(2)证明：证明：PBPB平面平面EFD.EFD.【解题探究解题探究】1.1.应用向量法证明线面垂直时，常常把线面垂直应用向量法证明线面垂直时，常常把线面垂直的问题转化为哪一类问题来解决？的问题转化为哪一类问题来解决？2.2.题题2 2中由已知条件应如何建系更简便，依据是什么？中由已知条件应如何建系更简便，依据是什么？探究提示：探究提示：1.1.应用向量法证明线面垂直，常常把证明线面垂直的问题转化应用向量法证明线面垂直，常常把证明线面垂直的问题转化为证明线线垂直的问题为证明线线垂直的问题.

16、.2.2.由由PDPD底面底面ABCDABCD，由底面，由底面ABCDABCD是正方形可知，应以是正方形可知，应以D D为原点，为原点，以以DA,DC,DPDA,DC,DP所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建系更简便轴建系更简便. .【解析解析】1.1.方法一方法一: :1AB,AD,AA, 设abc1111111111D FD AA AAFADAAAB,2211AGABBGABBC,2211AEABBEABBB,2211D F AG() ()0,22D F 则abcabacabcab11111AGD FAG.11D F AE() ()0,22D FAE,D FA

17、E,AEAGA,D FAEG. ，即即又平面abcac方法二方法二: :以以D D为原点，分别以为原点，分别以 的方向为的方向为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1 1，则：，则：D D1 1FAG,DFAG,D1 1FAE,FAE,又又AGAE=A,AGAE=A,DD1 1FF平面平面AEG.AEG.111111111D0,0,1 ,F(1,0),A 1,0,0 ,G( ,1,0),E(1,1, ),222111D F(1, 1),AG(,1,0),AE(0,1, ),2221111D F AG00,D

18、FAG,D F AE00,2222D FAE, 1DA,DC,DD 方法三方法三: :以以D D为原点，为原点， 的方向分别为的方向分别为x x轴，轴，y y轴轴,z,z轴的轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1 1，则，则设平面设平面AEGAEG的法向量的法向量n=(x,y,z)=(x,y,z)，则：，则：取取y=1,y=1,则则x=2,z=-2,x=2,z=-2,n=(2,1,-2),=(2,1,-2), 平面平面AEG,AEG,即即D D1 1FF平面平面AEG.AEG.11111D 0,0,1 ,F(1,0),A 1,0,0 ,G( ,1

19、,0),E(1,1, ).222111D F(1, 1),AG(,1,0),AE(0,1, ),222 1xy0,AG0 x2y,21z2y,AE0yz0,2 ，即，nn111D F,D F.2nn1D F1DA,DC,DD 2.2.如图所示建立空间直角坐标系，如图所示建立空间直角坐标系，D D为坐标原点为坐标原点. .设设DC=a.(DC=a.(也也可设可设DC=1)DC=1)(1)(1)连接连接ACAC，交，交BDBD于于G G，连接，连接EG.EG.依题意得依题意得 底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，G G是此正方形的中心，故点是此正方形的中心，故点G G的坐标为的坐标为这表明

20、这表明PAEG.PAEG.PAPA平面平面EDB.EDB.aaPAa,0, aEG(0)PA2EG.22 且， ，a aA a,0,0 ,P 0,0,a ,E(0, )2 2，a a( ,0)2 2，EGEDBPAEDB而平面，且平面，(2)(2)依题意得依题意得B(a,a,0),B(a,a,0),PBDE,PBDE,由已知由已知EFPBEFPB，且，且EFDE=EEFDE=E，所以，所以PBPB平面平面EFD.EFD.a aPBa,a, a .DE(0, ),2 2 又，22aaPB DE0022 故，【互动探究互动探究】若题若题1 1中的条件不变中的条件不变, ,试证明试证明:A:A1 1

21、CC平面平面C C1 1BD.BD.【解题指南解题指南】选择正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐选择正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系后标系后, ,可以求出平面可以求出平面C C1 1BDBD内两条相交直线的方向向量内两条相交直线的方向向量, ,或求或求出平面出平面C C1 1BDBD的法向量的法向量. .【证明证明】以以D D为原点，为原点，DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 2，则，则D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，2 2，0)

22、0)，C C1 1(0(0，2 2，2),A2),A1 1(2(2，0 0，2)2)，C(0C(0，2 2，0),0),设平面设平面C C1 1BDBD的法向量是的法向量是n=(x,y,z)=(x,y,z)，取取y=-1,y=-1,则则n=(1=(1，-1-1，1)1)， A A1 1CC平面平面C C1 1BD.BD.11A C2 22 DB2 2 0 DC0 2 2 . ， ， ， ， ，11DBDCDB2x2y0 xyzyDC2y2z0 则，解得，nnnn11A C2A C ，nn【拓展提升拓展提升】用向量法证明线面垂直的方法与步骤用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)(1)基向量法基向

23、量法. .确定基向量作为空间的一个基底确定基向量作为空间的一个基底, ,用基向量表示有关直线的用基向量表示有关直线的方向向量方向向量; ;找出平面内两条相交直线的方向向量找出平面内两条相交直线的方向向量, ,并分别用基向量表示并分别用基向量表示; ;分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积量的数量积, ,根据数量积为根据数量积为0,0,证得线线垂直证得线线垂直, ,然后由线面垂直然后由线面垂直的判定定理得出结论的判定定理得出结论. .(2)(2)坐标法坐标法. .方法一方法一: :建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系; ;将

24、直线的方向向量用坐标表示将直线的方向向量用坐标表示; ;找出平面内两条相交直线找出平面内两条相交直线, ,并用坐标表示它们的方向向量并用坐标表示它们的方向向量; ;分别计算两组向量的数量积分别计算两组向量的数量积, ,得到数量积为得到数量积为0;0;方法二方法二: :建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系; ;将直线的方向向量用坐标表示将直线的方向向量用坐标表示; ;求出平面的法向量求出平面的法向量; ;判断直线的方向向量与平面的法向量平行判断直线的方向向量与平面的法向量平行. .【变式训练变式训练】在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E

25、，F F分别是分别是BBBB1 1，D D1 1B B1 1的中点，求证：的中点，求证：EFEF平面平面B B1 1AC.AC.【证明证明】设正方体的棱长为设正方体的棱长为2 2，建立如图所示的空间直角坐标，建立如图所示的空间直角坐标系，则系，则A(2A(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，B B1 1(2(2，2 2，2)2)，E(2E(2，2 2，1)1)，F(1F(1，1 1，2)2)，EFABEFAB1 1，EFAC.EFAC.又又ABAB1 1AC=A,AC=A,EFEF平面平面B B1 1AC.AC. 11EF11 22 21111AB2 2 22 0 00 2

26、2AC0 2 02 0 02 2 0 .EF AB1110 2 21012 1 20EF AC1112 2 02200 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，而， ， ， ， ，类型类型 三三 利用空间向量处理面面垂直问题利用空间向量处理面面垂直问题【典型例题典型例题】1.1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求证：平面中，求证：平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面ACBACB1 1. .2.2.在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AAAA1 1平面平面ABCABC，ABBCABBC，AB=BC

27、=2AB=BC=2，AAAA1 1=1=1，E E为为BBBB1 1的中点，求证：平面的中点，求证：平面AECAEC1 1平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.【解题探究解题探究】1.1.若两个平面垂直若两个平面垂直, ,其法向量有何位置关系？若其法向量有何位置关系？若两个平面的法向量相互垂直两个平面的法向量相互垂直, ,这两个平面的位置关系如何？这两个平面的位置关系如何？2.2.平面的法向量与该平面的垂线有何关系？平面的法向量与该平面的垂线有何关系？探究提示：探究提示：1.1.若两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直；反过来若两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直；反过来说，若两个平

28、面的法向量垂直，则这两个平面也垂直说，若两个平面的法向量垂直，则这两个平面也垂直. .2.2.一个平面的法向量与该平面垂线的方向向量平行，所以有一个平面的法向量与该平面垂线的方向向量平行，所以有时若已知一个平面的垂线，则可以直接观察得到这个平面的时若已知一个平面的垂线，则可以直接观察得到这个平面的法向量法向量. .【解析解析】1.1.如图所示如图所示 ，以，以D D为原点，分别以为原点，分别以DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在的所在的直线为直线为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 1，则则A(1A(1，0 0，0)0)，C

29、(0C(0，1 1，0)0)，B B1 1(1(1，1 1，1),1),11AB011 CB101 ， ， ，设平面设平面ACBACB1 1的法向量为的法向量为n=(x,y,z)=(x,y,z)，令令z=-1z=-1，则，则x=y=1,x=y=1,n=(1=(1，1 1，-1).-1).同理可以得到平面同理可以得到平面BDDBDD1 1B B1 1的一个法向量为的一个法向量为m=(-1=(-1，1 1，0)0)，nm=-1+1=0,=-1+1=0,nm，平面平面BDDBDD1 1B B1 1平面平面ACBACB1 1. .11yz0,AB0 CB0 xz0, 则，即nn2.2.由题意知直线由题

30、意知直线ABAB，BCBC，B B1 1B B两两垂直，以两两垂直，以B B为原点，分别以为原点，分别以BABA，BCBC，BBBB1 1所在直线为所在直线为x x，y y，z z轴，建立如图所示的空间直轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则角坐标系，则A(2A(2，0 0，0)0)，A A1 1(2(2，0 0，1)1)，C(0C(0，2 2，0)0)，C C1 1(0(0，2 2，1)1)，11AA0 01 AC2 2 0 AC2 211AE( 2 0).2 ， ， ， ， ， ，1E(0 0)2， ， ，设平面设平面AAAA1 1C C1 1C C的法向量为的法向量为n1 1=(x,y,z

31、),=(x,y,z),令令x=1,x=1,得得y=1y=1，n1 1=(1,1,0).=(1,1,0).设平面设平面AECAEC1 1的法向量为的法向量为n2 2=(a,b,c)=(a,b,c)，令令c=4c=4，得，得a=1,b=-1,a=1,b=-1,n2 2=(1=(1，-1-1，4).4).n1 1n2 2=1=11+11+1(-1)+0(-1)+04=04=0，n1 1n2 2，平面平面AECAEC1 1平面平面AAAA1 1C C1 1C.C.111AA0,z0,2x2y0.AC0, 则nn2122a2bc0,AC0,12ac0.AE0,2 则nn【拓展提升拓展提升】1.1.利用空

32、间向量证明面面垂直的方法利用空间向量证明面面垂直的方法(1)(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题垂直进而转化为线线垂直问题. .(2)(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直得到两个平面垂直. .2.2.向量法证明空间几何问题的两种基本思路向量法证明空间几何问题的两种基本思路思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步思路二

33、：用向量的坐标表示几何量，共分三步: :(1)(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量( (或坐标或坐标) )表表示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题. .(2)(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系. .(3)(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题根据运算结果的几何意义来解释相关问题. .【变式训练变式训练】如图所示，在直三棱柱如图所示，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，BAC=90BAC=90,A

34、B=AC=a,AB=AC=a，AAAA1 1=b=b，点，点E E，F F分别在棱分别在棱BBBB1 1，CCCC1 1上，上， 当平面当平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF时，时，求求的值的值. .11111bBEBBC FCC .33a 且，设【解析解析】建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.Axyz.则由题意可知则由题意可知设平面设平面AEFAEF的法向量为的法向量为n1 1=(x,y,z),=(x,y,z),则则 即即 令令z=1z=1，b2bb2bA 0 0 0E(a,0, ),F(0,a,),AE(a,0, ),AF(0,a,).3333 ， ，

35、 ，11AE0AF0, 且nnbz2bzax0ay0.33且b2bxy.3a3a 得，1b2b2(,1)(,1).3a3a33 n同理可得平面同理可得平面A A1 1EFEF的一个法向量为的一个法向量为 平面平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF，n1 1n2 2=0,=0,解得解得 ( (负值舍去负值舍去).).当平面当平面AEFAEF平面平面A A1 1EFEF时，时， 22bb2(,1)(,1).3a 3a33 n222210,99 32 3.2 【规范解答规范解答】空间垂直关系的探索性问题空间垂直关系的探索性问题【典例典例】 【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】如图，以如图，

36、以D D为原点，为原点，DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在的直线分别为所在的直线分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1 1，P(0P(0，1 1，a)a)，则，则D(0D(0，0 0，0)0)，A A1 1(1(1，0 0，1)1)，B B1 1(1(1，1 1，1)1)， 2 2分分 4 4分分设平面设平面A A1 1B B1 1P P的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，111111E(10)C (011)21A B010 A P1,1,a1 DE(10) D

37、C011 .2 ， ， ， ， ， ， ，111111111111y0 xya1 zA B0,A P0,xa1 z ,y0.0，则nn设平面设平面C C1 1DEDE的法向量为的法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )，令令y y2 2=1,=1,得得x x2 2=-2=-2，z z2 2=-1=-1，n2 2=(-2,1,-1).=(-2,1,-1).平面平面A A1 1B B1 1PP平面平面C C1 1DEDE，n1 1n2 2=0=0，即，即-2(a-1)-1=0-2(a-1)-1=0，得，得 当当P P为为CCCC1 1的中点时，平面的中点时，平面A A1

38、 1B B1 1PP平面平面C C1 1DE. DE. 1212分分222222222211xyDE0,x2y ,zy ,DC0,0,2yz0, 则即nn1a,2令令z z1 1=1=1，得，得x x1 1=a-1,=a-1,n1 1=(a-1,0,1). =(a-1,0,1). 8 8分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.建立坐标系的技巧方法建立坐标系的技巧方法在图形中尽量寻找三条两两垂直的直线，建立坐标系，且使在图形中尽量寻找三条两两垂直的直线，建立坐标系，且使尽可能多的点在坐标轴上，如本例的建系方法尽可能多的点在坐标轴上，如本例的建系方法. .2.2.挖掘题目的隐含条件挖掘

39、题目的隐含条件对于题目的隐含条件要深刻挖掘、充分利用，如本例中点对于题目的隐含条件要深刻挖掘、充分利用，如本例中点P P坐坐标的设法标的设法. .3.3.精心计算，切实避免出错精心计算，切实避免出错用向量中的坐标法解决立体几何问题，运算出错常常会导致用向量中的坐标法解决立体几何问题，运算出错常常会导致整个题目不得分，如本例中坐标的求解整个题目不得分，如本例中坐标的求解. . 【类题试解类题试解】已知四棱锥已知四棱锥S-ABCDS-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，SASA平面平面ABCDABCD，且，且SA=ABSA=AB，点，点E E为为SCSC的中点，在线段的中点

40、，在线段SDSD上是否上是否存在一点存在一点F F，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCDSCD？【解析解析】假设在线段假设在线段SDSD上存在一点上存在一点F F，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCDSCD，如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系AxyzAxyz，设设SA=AB=1SA=AB=1，则，则A(0,0,0),S(0A(0,0,0),S(0，0 0，1)1)，C(1C(1，1 1，0)0)，D(0D(0，1 1，0)0)，1 1 11 1 1E()SC111 SD011 AE().2 2 22 2 2 ， ， ， ，设平面设平面SCDSCD的法向量为的法向量

41、为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，令令z z1 1=1=1，得，得y y1 1=1=1，x x1 1=0,=0,即即n1 1=(0,1,1).=(0,1,1).设平面设平面AEFAEF的法向量为的法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), ), SFSDSF0,AFSFSA0, ,(0,0, 1)0, ,1. 设，即，1111111SCxyz0,SDyz0, 则nn2222222111AExyz0,222AFy1z0, 则nn令令z z2 2=1=1，则，则 令令n1 1n2 2=0,=0,故在线段故在线段SDSD上存在中点上存在中点F F

42、，使平面，使平面AEFAEF平面平面SCD. SCD. 22112yx ，212121(,1),12121011 1. 所以nn n211110,.SF(0,)2221SD011SFSD.2 即解得此时，又， ，故1.1.设直线设直线a a与与b b的一个方向向量分别为的一个方向向量分别为若若abab，则，则x x的值为的值为( )( )【解析解析】选选D.D.a abb，ab，即，即ab 解得解得1(13)x,1, 22，ab13x.21x60,221313A.2 B. C. D.3222.2.设直线设直线l的一个方向向量为的一个方向向量为 平面平面的法向量的法向量为为 则则( )( )A.

43、A.l B. B.l C. C.l与与斜交斜交 D.D.无法判定无法判定【解析解析】选选B.B.3 193133( ,)(1, ,),2 242322na13(1)32，a3 19()2 24，n,. nal3.3.若平面若平面,且平面且平面的一个法向量为的一个法向量为 则平面则平面的法向量可以是的法向量可以是( )( ) B.(2 B.(2，-1-1，0)0)C.(1,2,0) C.(1,2,0) 【解析解析】选选C.C.向量向量n与向量与向量(1(1，2 2，0)0)相互垂直，故相互垂直，故.1 1A.( 1)2 4 ，1D.( ,1,2)21( 2,1, ),2 n1( 21) 1 2 022002 ， ， ，4.4.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，