北京师大附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

1、2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1经过（1，2）且与直线x+y1=0垂直的直线是（）Axy+1=0Bxy+3=0Cx+y+1=0Dx+y+3=02已知两直线l1：（a1）x3y10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）ABC1D13关于直线a、b、l，以及平面、，下列命题中正确的是（）A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，b，且la，lb，则lD若a，a，则4若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD15下列说法中正确的

2、是（）A在正三棱锥中，斜高大于侧棱B有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C底面是正方形的棱锥是正四棱锥D有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6长方体ABCDABCD中，AB=AD=2，AA=1，则它的外接球的体积是（）AB36C9D7一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A1B1CD8在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9某圆锥的母线

3、和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是10已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是11若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120°，（O为坐标原点），则r=12正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是13已知圆C1：（x1）2+y2=1，圆C2：（x3）2+（y1）2=4，它们的位置关系是14如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FGBC，AB=AE=2，EAB=60°则以下结论中正确的有（1）CD面G

4、EF（2）AG=1（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8（4）EAD=60°三、解答题：本大题共3小题，共30分.15如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：B1D1平面CAA1C116如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC17设P为直线l1：x2y+4=0与直线l：2xy4=0的交点，圆C：x2+y24x4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何

5、值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cosMPN四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分18命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是19已知p：不等式ax2+2ax+10的解集为R；q：0a1则p是q（充分，必要，充要）条件20已知椭圆C： =1（ab0）的长轴长为4若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为五、解答题：本大题共3小题，共38分.21已知p：x|x28x200；q：x|x22x（m21）0，m0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围22已知方程x2+y26x+2y+m=0（1）

6、若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值23点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1经过（1，2）且与直线x+y1=0垂直的直线

7、是（）Axy+1=0Bxy+3=0Cx+y+1=0Dx+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可【解答】解：直线x+y1=0的斜率为1，所求垂线的斜率为1，方程为y2=x（1），xy+3=0，故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题2已知两直线l1：（a1）x3y10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）ABC1D1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由直线平行可得a1（3）（a+1）=0，解方程排

8、除重合即可【解答】解：两直线l1：（a1）x3y10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，a1（3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=时，两直线平行故选：A【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题3关于直线a、b、l，以及平面、，下列命题中正确的是（）A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，b，且la，lb，则lD若a，a，则【考点】平面与平面垂直的判定【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案【解答】解：以正方体为例 对于A选项，设下底面ABCD为平面，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直

9、线为b，直线a、b都平行于平面，但直线a、b不平行，故A项不对 （如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l可见直线a、b是平面内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决

10、问题4若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABCD1【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，三棱柱的体积V=1故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量5下列说法中正确的是（）A在正三棱锥中，斜高大于侧棱B有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C底面是正方形的棱锥是正四棱锥D有一个面是多边形，其余各

11、面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题6长方体ABCDABCD中，AB=AD=2，AA=1，则它

12、的外接球的体积是（）AB36C9D【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：长方体ABCDABCD中，AB=AD=2，AA=1，它的外接球的半径R满足：2R=3，即R=，故它的外接球的体积V=，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键7一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A1B1CD【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆【分析】由题意可得反

13、射光线所在的直线经过圆心M（3，2），点P（2，3）关于x轴的对称点Q（2，3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y2）2=1的圆心M（3，2），由反射定律可得点P（2，3）关于y轴的对称点Q（2，3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为： =1故选：A【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（3，2），是解题的突破口8在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平

14、面PAE平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；压轴题【分析】正四面体PABC即正三棱锥PABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BCDF，所以BC平面PDF，进而可得答案【解答】解：由DFBC可得BC平面PDF，故A正确若PO平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DFPO，又DFAE故DF平面PAE，故B正确由DF平面PAE可得，平面PAE平面ABC，故D正确故选C【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“

15、三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积【解答】解：圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=r2h=×12×=故答案为：【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题10已知某三棱

16、锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则SABD=×4×5=10，SABC=×3×5=7.5，SBCD=×4×3=6，且AD51，AC5，CD=5，SACDSBCD，面积最小为6故答案为：6【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对

17、应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）相交于A，B两点，且AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，AOB=120°，则AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r0）交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120°，则圆

18、心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x4y+5=0的距离d=r是解答的关键12正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是【考点】平面的基本性质及推论【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果【解答】解：正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的底面面积S=，经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，经过高的中点

19、且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S=故答案为：【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用13已知圆C1：（x1）2+y2=1，圆C2：（x3）2+（y1）2=4，它们的位置关系是相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；数形结合；直线与圆【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2=1，3，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题14如图所示，E是正方形

20、ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，FGBC，AB=AE=2，EAB=60°则以下结论中正确的有（1）（2）（4）（1）CD面GEF（2）AG=1（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8（4）EAD=60°【考点】直线与平面垂直的判定【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】由已知推导出FGAB，CDGF，EFCD从而得到CD平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，EAD=EAB=60°【解答】解：在（1）中，E是正方

21、形ABCD所在平面外一点，FGBC，BCAB，FGAB，ABCD，CDGF，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，EF平面ABCD，EFCD，EFGF=F，CD平面GEF，故（1）正确；在（2）中，AB=AE=2，EAB=60°，AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，FGBC，AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，由（2）得AF=CF=EF=，=2，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得EAD=EAB=60°，故（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间

22、中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用三、解答题：本大题共3小题，共30分.15如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：B1D1平面CAA1C1【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离【分析】（1）欲证EF平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EFBD，则EFB1D1，又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1平面CB1D1，根据面面垂

23、直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，则AA1B1D1，A1C1B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1平面CAA1C1【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BDB1D1，因为EFBD，由平行线传递性得：EFB1D1，因为B1D1面CB1D1，EF面CB1D1，所以EF平面CB1D1（6分）（2）因为在正方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，所以AA1B1D1（10分）又因为在正方形A1B1C1D

24、1中，A1C1B1D1，所以B1D1平面CAA1C1（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD平面ABCD，M为PC中点求证：（1）PA平面MDB；（2）PDBC【考点】直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MOPA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA平面MDB（2）先证明出BC平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BCPD【解答】证明：（1）连

25、接AC，交BD与点O，连接OM，M为PC的中点，O为AC的中点，MOPA，MO平面MDB，PA平面MDB，PA平面MDB（2）平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD=CD，BC平面ABCD，BCCD，BC平面PCD，PD平面PCD，BCPD【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直17设P为直线l1：x2y+4=0与直线l：2xy4=0的交点，圆C：x2+y24x4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cosMPN【考点】圆的切

26、线方程【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sinMPC，由二倍角公式可得cosMPN【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y4=（x4），即3x2y4=0，配方可得圆C：x2+y24x4y+7=0的方程为（x2）2+（y2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，圆心C到直线l0的距离d=，|AB|=2=；（2）l0的方程为y4=k（x4），即kxy

27、+44k=0，由相切可得圆心C到直线l0的距离d=1，平方并整理可得3k28k+3=0，解得k=，sinMPC=，cosMPN=cos2MPC=12sin2MPC=12×=【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分18命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根【考点】复合命题的真假【专题】规律型【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p进行求解即可【解答】解：p：存在实数m，使方程x2+mx+

28、1=0有实数根，存在的否定词为任意，非p形式的命题是：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题19已知p：不等式ax2+2ax+10的解集为R；q：0a1则p是q必要（充分，必要，充要）条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】结合二次函数的性质求出a的范围，再由集合的包含关系判断即可【解答】解：若不等式ax2+2ax+10的解集为R，a=0时：10，成立，a0时：=4a24a0，解得：0a1，综上，p：0a1；q：0a1，故答案为：必要

29、【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题20已知椭圆C： =1（ab0）的长轴长为4若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=又2a=4，a=2，c2=a2b2=2，即c=e=故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题

30、五、解答题：本大题共3小题，共38分.21已知p：x|x28x200；q：x|x22x（m21）0，m0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】结合P和q的关系，得到不等式组，解出即可【解答】解：解法一：非p：A=x|x2或x10，非q：B=x|x1m或x1+m，m0非p是非q的必要不充分条件，非p推不出 非q，非q非p，BA，结合数轴分析知，BA的充要条件是：或，解得m9，即m的取值范围是m9解法二：非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件而p：M=x|2x10，q：N=x|1mx1+m，m0，MN，结合数轴分析知，MN的充要条件是：或，解得m9，m的取值范围是m9【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题22已知方程x2+y26x+2y+m=0（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y2=0相