第四章第一节导数及其应用

1、高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学第四章第四章 导数及其应用导数及其应用 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学考纲分解解读考纲分解解读 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学1导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景（2）理解导数的几何意义2导数的运算（1）能根据导数定义，求函数 的导数23,yc yx yxyx121,yyxyxx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：. ()f axb120,s inc

2、 o s,c o ss in,11,ln,ln,lo glo g,1;2;30.nxxxxaaecn xnQxxxxeeaaaxxexauxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxvxuxvxvxvxvx n为 常 数, x法 则：法 则：法 则：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次4.

3、生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学知识体系构建知识体系构建 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学备考方略备考方略 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 导数是高中新教材改革后新增的知识之一，从近几年全国统考试卷来看，现在基本稳定在一大（14分），一小（5分）的两题格局上，题型涉及选择题、填空题与解答题，是新教材的一个主要得分点，要给予充分的重视. 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题.在高考中考查形式多种

4、多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考查基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2011年高考继续以上面的几种形式考查，不会有大的变化：高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （1）考查形式为：选择题、填空题、解答题等各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中档题； （2）2011年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考查：导数的物理意义及几何意义、复合函数、数列、不等式等知识. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 本

5、命题的热点是： 利用导数求函数的极值； 利用导数求函数的单调区间； 利用导数求函数的最值； 利用导数证明函数的单调性； 导数在实际中的应用； 导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 导数与解析几何相综合的问题；高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、运算法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导. 考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化

6、.导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学第四章第四章 导数及其应用导数及其应用第一节第一节 导数的概念及其运算导数的概念及其运算高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学知识梳理知识梳理 yx1.导数的概念 （1）平均变化率：已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有改变量x，那么函数y相应地有改变量y= _ ,比值 就叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率。 （2）函数在x=x0处导数的定义：一般地

7、，设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0的附近改变量为x时，函数值的改变量为y=_，如果x趋近于0时，平均变化率 =_趋近于一个常数m，即00f xxf x00fxxfx yx 00f xxf xx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 _,这个常数m叫做 函数f(x)在点x0处的瞬时变化率. 函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y=f(x)在x=x0处的导数. 记作： _ 或_ 即： _ 如果函数y=f(x)在x0处有导数（即导数存在），则说函数f(x)在x0处可导 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则说函数f(x)在区间（a,b）可导.0

8、 xxy0fx 0000000limlimxxxf xxf xf xf xfxxx x 0000limlimxxf xxf xymxx 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学（3）导函数的定义： 表示函数的平均改变量，它是x的函数，而 表示一个确定的数值，即_.当x在区间（a,b）内变化时， 便是x的 一个函数，我们称它为f(x)在(a,b)的导函数（简称导数）.y=f(x)导函数有时记作y，即 _.yx0 fx00limxxyfxx fx 000 limxf xxf xf xyx 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2导数的几何意义及物理意义（1）函数f(x)在点x0处导数的几何意义就

9、是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程是：（2）导数的物理意义：位移函数s=s(t)在t0处的导数s(t0)是 函数s=s(t)在时刻t0时代瞬时速度 ，即 v= s(t0) ,速度函数v=v(t)在t0处的导数v(t0) 函数v=v(t)在时刻t0时代瞬时加速度 ，即 a= v(t0) . 000y yf x x x 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3导数的运算 （1）几种常见函数（基本初等函数）的导数：c=0 (c为常数） ，（xm) = _. 特别地： _ ; _; _; _; _; _; _; _; 1mmxmQ1x21xx12xsinxcos

10、xcosxsin xlnx1xlogax1logaexxalnxaaxexe高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （2）导数的四则运算法则 和、差的导数： _ (口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 积的导数： _（口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 若c为常数，则 _. 商的导数： _.(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) u xv xuxvx u x v x u x v xu x v x cu xcuxuv20uvu vvv高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学基础自测基础自测 21xyx1.（2009年全国卷）曲线 在点(1,1)处的切线方程为A.

11、 x-y-2=0 B. x+y-2=0 C. x+4y-5=0 D. x-4y-5=01.解析：故切线方程为 ，即 ，故选B.答案：B 11122212112121xxxxxyxx y-1=-x-12 0 xy 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2.（2009年宁夏海南卷）曲线 y=xex + 2x + 1 在点(0,1)处的切线方程为_2.解析： ，斜率 ，所以， ，即 .答案: 0k=e +0+2=3y-1=3xy=3x+1y= 3 x + 1xxy=e +xe +2高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学3. (2008年北京卷)如下图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A

12、，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 _； _(用数字作答） 0f f 011limxfxfx 3.解析：由A(0,4),B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)=-2x+4(0 x2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2x6).所以 所以f(0)=4,f(4)=2. 答案：2，-2 24 02 ,2 26 ,xxfxxx 011lim 12xfxffx 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学4(2009年广州调研)如下图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y= - x +8，则f(5)=_，f(5)=_.4. 答案：3，-1高考总复习高考

13、总复习.理科理科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学对导数概念的理解 设函数f(x)在x=2处可导，且f(2)=1，求 分析：利用导数的定义，可容易求得. 解析：由已知条件和导数的定义，可得：022lim2hfhfhh 000000022lim 212222=lim= lim=122lim222+22= lim2222211=lim+lim2211112xhhhhhhfxffxfhfffhxhhhfhfhhfhfffhhfhfffhhh 当时 ，高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 点评：点评：在对导数的定义理解时，要注意 中x的变化形式. 设函f(

14、x)在x=a处可导，则 ，此结果作为导数定义的另一种形式，与导数的定义无关，我们可以证明之：令 x = a + x，则当 x a 时，x0，0000limxf xxf xfxx limxafxfafaxa 0limlimxaxf xf af xxfax ax 变式探究变式探究 1.已知 ，则 _.答案：-1. 02fx000lim=2kfxkfxk高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学导数的运算 求函数的导数解析：解析：2311y=x x +xxsin cos ;22xxyx 111 ;yxx3sin.yax bx322311,23yxxyxx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学先使用三

15、角公式进行化简，得先化简， 是由函数 复合而成的， 1sincossin ,222111sinsin 1cos .222xxyxxxyxxxxx 1122111yxxxxxx 312211111.22x2yxxx3=sinyax bx 32222u 3u3usin3ucos3sincos.yuax bxa bxax bxa bx3=u ,u=ax- sin ;ybx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 点评：点评：求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形

16、将函数先化简，然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 2.求下列函数的导数 112 ;yxxx;sinxyxcos2;sincosxyxxsin.ax bye2.解析： 232222222sin11121222,341. sinsin2 sincos2.sinsincos23sincossincossincoscossinsincos4cosax byxxxxxxxxyxxxxxxxxxxyxxxyxxxxyxxxxxxyaaxbe 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学导数的几何意义 （2009年全国卷）已知直线 y

17、=x+1 与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为A.1 B.2 C.-1 D.2解析：设切点P(x0,y0)，则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又答案：B点评：切点的三重身份：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线斜率.00000111,0,1,2.x xyxaxayxa 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 3. （2009年江西卷）设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为 A. 4 B. -1/4 C. 2 D. -1/2 3.解析：由已知g(1

18、)=2,而f(x)=g(x)+2x, 所以f(1)=g(1)+2x1=4 答案：A高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学温馨提示温馨提示 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 （1）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个常数； （2）函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区间（a,b）内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f(x).在不产生混淆的情

19、况下，导函数也简称导数. (3)函数y=f(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值.即f(x0)=f(x)|x=x0. 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 2.利用导数的定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的改变量: （2)求平均变化率: （3取极限，得导数: 简记为:“一差、二比、三极限”.00;ffxxfx 00;fxxfxyxx 0000000limlim.xxxf xxf xf xf xfxxx x 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （2009年湖北卷）设球

20、的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A. 成正比，比例系数为cB. 成正比，比例系数为2cC. 成反比，比例系数为cD. 成反比，比例系数为2c解析：由题意可知球的体积为 ，则c=V(t)=4R2(t)R(t)，由此可得 ，而球的表面积为S(t)=4R2(t)， 所以v表S(t)=(4R2(t)=8R(t)R(t)，即答案：D34V(t)=3R4(t)R(t)R(t)cR22v8 R(t)R(t)24 R(t)R(t)R(t).R(t)R(t)R(t)cc表高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 已知抛物线C: y=x2+4x+7/2

21、，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线.(1)若C在点M的法线的斜率为1 /2，求点M的坐标（x0,y0）; (2)设P(2,a)为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.解析：（1)函数y=x2+4x+7/2的导数y=2x+4，抛物线C上点M(x0,y0)处切线的斜率k0=2x0+4，因为过点(x0,y0)的法线斜率为1/2，所以1/2(2x0+4)=1，解得x0=1,y0=1/2，故点M的坐标为(1,1/2).高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学（2）设M(x0,y0)为C上一点， a.若x0=2，则C上点M（2,1/2）处的切线斜率k=0，过点M（2,1/2）的法线方程为x=2，则此法线过点P(2,a)；b. 若x02，则过点M(x0,y0)的法线方程为： 若法线过P(2,a)，则 即