二次根式的乘除 辅导资料(含答案)

1、21.221.2 二次根式乘除二次根式乘除本章内容“二次根式”是课程标准 “数与代数”的重要内容。二次根式的乘除是本章的一个重点内容。主要解决下列问题：一二次根式的乘法此内容为本节的重点，为此设置了【知识点击】中的例 1、例 2， 【当堂检测】中的第1、3 题， 【课时作业】中的第 2，5，9 题。二二次根式的除法此内容为本节的难点，也是易混淆点。为此设置了【知识点击】中的例 3， 【典例引路】中的第 3，5 题， 【课时作业】中的第 1，5，6，8，15，17，18，题及【选做题】 。三最简二次根式此内容为本节的难点，也是易重点。为此设置了【知识点击】中的例 4， 【典例引路】中的第 34

2、题， 【课时作业】中的第 4，7，22 题及【选做题】 。四数学思想方法主要体现建模思想，如【典例引路】中的例 6 以及转化思想如【拓展应用】中的例7， 【课时作业】中的第 1，2，3，5 题等。点击一：正确理解二次根式乘法的意义一般地，(a0，b0).观察这一式子的左边和右边，得出等号的左aba b边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数。利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a0、b0 的条件，因为只有 a、b 都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求 a、b 的两因数的算术平方根，然后再求两个

3、算术平方根的积，等号右边是将非负数 a、b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式(a0，b0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.aba b（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.针针对对练练习习 1: 计算：（1）；（2）；1263x6y（3）；（4）.2xy24xy32x y318xy答答案案：解：（1）6；12612 62622（2）3；3x6y36xy232xy2xy（3）(x+2y)；2xy24xy222xy2（4）6x2y2.32x y318xy33218x yxy2446x

4、y点击二：点击二：熟练掌握二次根式除法的意义一般地，(a0，b0). 观察这一式子的左边和右边，从运算顺abaabb序看，等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数 a 除以正数 b 求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中a0，b0，这是因为当 b0 时，分母为 0，没有意义.和二次根式乘法的法则一样，二次根式除法的法则也可以反过来运用，即 (a0，b0)，同样可以利用这一公式化abab简二次根式.针针对对练练习习 2: 计算：（1）；（2）.72611216答案

5、：答案：解（1）2；726726726123（2）3.1121611126362点击三：二次根式乘除运算点击三：二次根式乘除运算二次根式乘除运算是本节课的一个重点内容，在计算过程中，一定要根据运算法则进行。针针对对练练习习 3: 计算：（1）（）；（2）.756122550答案：解（1）（）75612756 12；756 125 36 25 326 225 612（2）.25501050105010501525555点击四点击四：正确理解最简二次根式的意义正确理解最简二次根式的意义有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.最简二次根式必须满足：一是被开方数不

6、含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.针针对对练练习习 4: 下列二次根式属于最简二次根式是( )(A) ； (B)；(C) ； (D) .1448ba44 a答案：是最简二次根式，故应选 A.14类型之一：类型之一： 二次根式的乘法二次根式的乘法例例 1计算：（1）；（2）5.0.43.64532223【解析】第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题 的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.【解答】解：（1）0.431.2.0.43.60.4 3.60.4 0.4 9（2）55.453222332245315223 1531523

7、0类型之二：掌握公式类型之二：掌握公式(a0，b0)的反向运用的反向运用aba b例例 2 化简：（1）；（2）；（3）；（4）.227516 812000225328【解析】利用公式，我们可以直接化简，对于 2000 可以通过分解a bab因数，对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.【解答】：解（1）35；22752725（2）4936；16 811681（3）20；20002210252102255（4）9545.2253285328532881 258125【点评】对于公式(a0，b0)，我们可以反过来，即得到aba b(a0，b0).利用这个公式，同样可以

8、达到化简二次根式的目的.a bab类型之三：二次根式的除法类型之三：二次根式的除法例例 3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）186255263x yxy562 14【解析】 （1） 、 （2） 、 （3）可直接按二次根式的除法法则进行计算；（4）可按“单项式”除以“单项式”进行，或将根号外的 2 移到根号内后再计算【解答】 （1）；1818366（2）；2525555（3）；2266233x yx yxxyxy（4）5615614121422 14 类型之四：最简二次根式类型之四：最简二次根式例例 4. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ）ABCD2 3a28x3y4b【解析】二次根式的化

9、简要求：（1）被开方数中不含可以开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根号。只有符合条件，故应选择 A。2 3a【解答】A类型之五：化去根号内的分母类型之五：化去根号内的分母例例 5. 化去根号内的分母（1）；（2）1228x【解析】利用分数和分式的基本性质，把分母化成一个数的平方形式，再利用根式的除法法则进行【解答】解：（1）；（2）2155 21210222228822xxxxx类型之六：综合应用类型之六：综合应用例例 6. 座钟的摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其中计算公式为，2lTg 其中表示周期（单位：s） ， 表示摆长（单位：m） ，为重力加速度且m/

10、s2假Tlg9.8g 如一台座钟的摆长为 0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在 1min 内，该座钟发出多少次滴答声？【解答】解：依题意知，m， m/s2，0.5l 9.8g 则该座钟的周期为0.5522.9.898T 又555222222T 2177s10107估算得103.16故s17T 3.163.141.42又一个周期发出一次滴答声则计算6042.25442T故 1min 该座钟发出约 42 次滴答声 1. 下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D.21a 12827【解析】由最简二次根式的定义可知选项 B,C,D 分别含有分母以及可以开尽的因子.选项 A 中的

11、二次根式是最简二次根式.2. 计算（1） ；（2）;（3） ; （4）.5716 811141625169xy【解析】分别利用（a0，b0） 、=（a0，b0） 、abababab=（a0，b0） 、=（a0，b0）计算abababab 【解答】 （1）=；5735 （2）=49=36;16 811681 （3）=2;114161111641644（4）=.25169xy25513169xxyy3. 先化简，再求值 （），其中 xy.11xyxy22xyxy322【解析】二次根式的化简求值问题，是中考的命题热点. 要注意观察已知式与所求式的结构特点，灵活变形，整体代入是常用的方法. 特别要注意

12、的是：已知式字母的取值，否则会致错.【答案】：解：原式= = = .2xx2y2xyx2y22xx2y2x2y2xy2y当 y时，原式 = =22y2221. 等式=成立的条件是（ ）aba1bA a、b 同号 Ba0,b 0 Ca、b 异号 Da0,b 0【解析】一是只考虑了等式的左边，二是要使有意义，应为0,因 b0,故正ababab确答案应选 B2. 判断下列各式是否是最简二次根式？ 【解析】解：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断（1） 不能分解因式， 显然满足最简二次根式的两个条件（2） 3. 化简：（1）；（2）；（3）.1514942259xy0.09 1210.36 1

13、00【解析】利用公式直接化简.（1）；abab151496449644987（2）；42259xy42259xy253xy（3）.0.09 1210.36 1000.09 1210.36 1000.3 110.6 1011204. 把下列二次根式化为最简二次根式 【解析】解： 5. 阅读理解题型，222233333388验证：；22333222223212222(21)2222221213332222333333(31)333333883131318 （1）按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想的变形结果并进行验证；4415（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n 为任意正整数且）表示的

14、等式，2n并给出证明【解析】本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这科变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用【解答】 （1）44441515验证；344415153244441244414415（2）猜想：（，为正整数） ；2211nnnnnn2nn证明：因为33222222(1)11111nnnnnn nnnnnnnnnn所以2211nnnnnn7. 根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过 1 秒钟时，宇宙飞船内只经过秒，21 ( )rc公式内的 r 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速（约 30 万千米秒） ，假定有一对亲兄弟，哥哥 23 岁，弟弟 20 岁，哥哥乘着以光

15、速 0.98 倍的速度飞行的宇宙飞船作了 5 年宇宙旅行后回来了，这个 5 年是指地面上的 5 年，所以弟弟的年龄为 25 岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有 24 岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了 1 岁，请你用以上公式验证一下这个结论【解析】本题关键点，根据公式计算出地面上经过一秒钟时，宇宙飞船上经过多少秒.【答案】解：根据题意得，当=1（秒）时，t地面21 0.981 0.98t飞船（）（1-0. 98）=（秒） ，21.98 0.020.013960.013960.01 200.2所以：=1：0.2=5：1，即地面上经过 5 年，宇宙飞船上才经过 1 年，t地面t飞

16、船所以结论是正确的 1. 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的扇形能力，他把长方形的基地设计成长为米，宽为米，让学80 203 45生算出这块实验基地的面积【解析】长方形的面积=长宽【答案】解：实验基地的面积为=80380 203 4522220 45240 253240 30=7200（米 ） 2【评注】作二次根式的乘法时，被开方数一般不要直接求积，而是化为 ab2计算更简便课时作业：课时作业：A 等级等级1. 直接填写计算结果：（1）=_；（2）_；80535 907 10（3）_；（4）_321112731037623483x yx y2.

17、 计算_；_24 8 12 2240243. 把根号外的因式移到根号内：_1(1)1aa4.下列二次根式中是最简二次根式的是（）812623a5. 计算；结果为（）3418433 24 25 26 26. 给出下列四道算式：（1）（2）2( 4)44abab 22223411453（3）（4）2847xxx2()()baab abab其中正确的算式是（） （1） （3） （2） （4） （1） （4） （2） （3）7. 化简二次根式得（）2( 5)35 35 35 3308. 计算：（1） （2）2222414034521000.5x yx y（3）（4）233145251abbab9. 计

18、算：（1）；（2）（3）325( 3)23 18502213 215 38 10. 一个三角形一边长为cm，这边上的高是cm，求这个三角形的面积2 36B 等级等级11. 若，则 （精确 0.01）62.44954 12. 计算 18813. 计算： ，计算： 25( 4)( 169)9 0.04 640.25 16914. 已知一个直角三角形的斜边，一条直角边，则另一条直角边 21c 4b a 15. 计算： 32211316. 已知三角形的一边长为，这边上的高为，则这个三角形的面积是 2 xy1xy17. 计算：31129 4524543 18. 计算：533455156yxyx yx 1

19、9. 若直角三角形的面积是，一条直角边长，求另一条直角边长及斜218cm3cm边上的高线长20. 张老师在微机上设计了一个长方形图片，已知长方形的长是，宽是140 cm他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径35 cmC 等级等级21. 式子成立时，满足的条件为（）2233xxyyxy， 00 xy00 xy00 xy00 xy22. 下列根式中最简二次根式的个数有（ ），22 x y2ab35xy22yc225()ab3375x y22xyA2 个B3 个C4 个D5 个23. 下列计算正确的是（ ）AB C C51533824142aabb5154224. 化简的结果（） 21aaa A B C D1a 1a 1a1a25. 定义运算“”的运算法则为: xy= ，则 4xy(26)8 26. 计算：（y0）=_.（a0,b0,c0）=_.42259xy224a bc27. 对于题目：“化简并求值：，其中 ”22112aaa15a 甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：；乙的答案是：222111111125aaaaaaaaa22211111124925aaaaaaaaaaa谁的解答