对定积分的补充规定

1、对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(. 在下面的性质中，在下面的性质中，假定定积分都存在假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小说明说明四、定积分的性质四、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数

2、作和的情况）性质性质1 1 banibainiidxxfdxxf11)()(性质性质2 2证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()(即线性组合的定积分等于定积分的线性组合即线性组合的定积分等于定积分的线性组合说明说明定积分也具有定积分也具有线性运算性质线性运算性质假设假设bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba ca

3、dxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)(则则 cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 性质性质3 3dxba 1dxba ab .性质性质5 5（非负性）（非负性）如如果果在在区区间间, ba上上0)( xf， 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixfiinixf )(lim10 . 0)( badxxf 性质性质4 4性质性质5 5（非负性）（非负性）如如果果在在区区间间, ba上上0)( xf， （补充（补充1 1）

4、（补充（补充2 2）0)(, 0)(),(c, 0)(,)(abdxxfcfbaxfbaCxf则使得若，且“设a( ) , ( )0,( )0,( )0bf xC a bf xf x dxf x“设，且若则性质性质5 5的推论：（比较定理）的推论：（比较定理）则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba （1）如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（2）dxxfba )(dxxfba )(. )(ba 说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的,xex0, 2 xdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 解

5、解设设M及及m分分 别别 是是 函函 数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，则则 )()()(abMdxxfabmba . .证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6（估值定理）（估值定理）如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 积分中值公式积分中值公式证证)()()(abMdxxfa

6、bmba Mdxxfabmba )(1由介值定理知由介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 即即注：注：1）定理条件）定理条件f(x)在在a,b连续不能消弱！连续不能消弱！ 2）积分中值公式的几何解释：）积分中值公式的几何解释：xyoab )( fbaf(x)a,b1f( )f(x)dxba此时，亦称为在上的平均值 积分中值公式积分中值公式解解,sin)(xxxf 2,4 x2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 ,22

7、)4( fM,2)2( fm,422sin4224 dxxx解解 由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xxdttfttxx 2)(3sin使使),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 4定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；例（）估计积分值；例5.1.2， 习题习题4（）不计算定积分比较积分大小习题（）不计算定积分比较积分大小习题3小结小结 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。注意：注意： 为无理数为无理数，为有理数