点线圆与圆的位置关系

1、点、线、圆与圆的位置关系:点与圆的位置关系:1 .点与圆的位置关系的判断点与圆的位置关系设。的半径为r,点P到圆心。的距离为d,则有：点在圆外dr;点在圆上dr;点在圆内dr.如下表所示：八/位直大系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部dr点P在。O的外部.点在圆上缶P点在圆周上dr点P在。O的外部.点在圆内点在圆的内部dr点P在。O的外部.2 .三角形外接圆的圆心与半径三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线

2、的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二：直线与圆的位置关系：1 .直线与圆的位置关系设。的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:位直大系图形定义性质及判定相离1直线与圆没有公共点.dr直线l与。O相离相切6直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.dr直线l与。O相切相交°!直线与圆有

3、两个公共点，直线叫做圆的割线.dr直线l与OO相交2 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3 .切线的判定距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4 .切线长定理及三角形内切圆切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.三：圆与圆的位置关系：一：点与圆的位置关系：1.点与圆的位置关系的判断：例题1:【

4、易】一点到圆周上点的最大距离为18,最短距离为2,则这个圆的半径为【答案】10或8【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20,所以半径为10.当点在圆外时，圆的直径为18-2=16,所以半径为8.【易】已知如图，在ABC中，/C=90°,AC=4,BC=5,AB的中点为点M.以点C为圆心，4为半径作。C,则点A、B、M分别与。C有怎样的位置关系？若以点C为圆心作。C,使A、B、M三点中至少有一点在。C内，且至少有一点在圆外，求。C的半径r的取值范围.【答案】二.在球BC中，ZC=90°,AC=4,BC=5,AB的中点为点M.AB=Jac2+BC2=716+25=V41,

5、CM141=-AM=以点C为圆心，4为半径作。C,41.AC=4,则A在圆上，CM=-<4,则M在圆内，BC=5>4,则B在圆外;241以点C为圆心作。C,使A、B、M二点中至少有一点在。C内时，r>-一，2当至少有一点在。C外时，r<5,皿414M4.41L故OC的半径r的取值范围为：<r<5.2测一测1：【易】在ABC中，C90,AC4,AB5,以点C为圆心，以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.当r时，点A在OC上，且点B在OC内部？当r取值范围时，点A在OC外部，且点B在OC的内部？是否存在这样的实数，使得点B在。C上，且点A在OC内部？【答案

6、】在RtMBC中，C90,AC4,AB5,根据勾股定理得，BC.AB2AC252423当r=4时，AC=4=r,点A在OC上，BC=3<r=4,点B在OC内；当3r4时，AC=4>r,点A在OC外部，BC=3<r,点B在OC内部不存在，要使点B在OC上，BC=r=3,要使点A在OC内部，AC=4<r2.三角形外接圆的圆心与半径例题2:【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm,则这个直角三角形的外接圆的半径为cm【答案】2.5【解析】,直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm,斜边长为J32+42=5cm,，它的外接圆半径为5+2=2.5cm.【易】在4AB

7、C中，AB=AC=10,BC=12,求其外接圆的半径【答案】作AD±BC,垂足为D,则O一定在AD上，.AD=Jl02-62=8；设OA=r,OB2=OD2+BD2,2一2，即r=(8-r)+6,丘/口25解得r=一.4BC=24cm ,则它的外接圆的直径测一测1:【易】若ABC中，ZC=90°,AC=10cmcm【答案】26【解析】.ABC中，/C=90°,AC=10cm,BC=24cm,.AB=AC2+BC2=,102+242=26cm二：直线与圆的位置关系1 .直线与圆的位置关系判断：例题3:【易】如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,。是以AB为直径

8、的圆，则直线DC与。O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】C【解析】解：二矩形ABCD中，BC=4,圆心到CD的距离为4.,.AB为直径，AB=6,半径是3.4>3直线DC与。O相离，故选C.AB测一测1:【中】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3,若大圆的弦与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（）A.8WABW10B.AB>8C,8<AB<10D.8<AB<10【答案】C【解析】当AB与小圆相切时，OCLAB,则AB=2AC=2-25-9=2?48;当AB过圆心时最长即为大圆的直径10.则弦长AB的取值范围是8VABW10

9、2.切线的性质：例题4:【易】如图，AB是。O的直径，点C在AB的延长线上，CD与OO相切于点D.若？C18?,贝U/CDA=【答案】126°【解析】连接OD则/ODC=90°,zCOD=72°-.OA=OD,-1.?ODA?A一？COD,2XDA=ZCDO+ZODA=90+36=126【易】如图，点A,B在。O上，直线AC是。O的切线，OCOB,连接AB交O于点D.AC与CD相等吗？为什么？若AC=2,AO=J5,求OD的长度【答案】证明：.AC是。O切线，.OAXAC,，QAC=90° .QAB+ZCAB=90° .OCLOB,XOB=90

10、° .QDB+ZB=90°,.OA=OB，QAB=ZBXAB=ZODB,.QDB=ZADCXAB=/ADC.AC=CD解：在RtOAC中，OC=JOA2+AC2=3,.OD=OC-CD=OC-AC=3-2=1测一测1:【易】如图，P是O0的直径AB延长线上的一点，PC与O0相切于点C,若ZP=20°,贝【答案】350【解析】PC与OO相切于点C,OCXCP,ZP=20°,XOB=70°,-.OA=OC,."=35°.测一测2:【易】如图所示，AP为圆0的切线，A0交圆。于点B,若？A40?,则?APB【答案】25°

11、【解析】如图，连接OP, .AP为圆O的切线，P为切点，dOPA=90°, 3=90-ZA=50°, .OB=OP, .dDPB=ZOBP=(180-ZO)+2=65，"PB=90°-ZOPB=25故答案为2503.切线的判定ZB.求线段例题5:【中】如图，AB是。O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使ZADC=求证：直线CD是。O的切线；过点A作直线AB的垂线BD交BD的延长线于点E,且AB爬,BD=2,AE=.AB是。O的直径，"DB=90°,./+Z2=90°X/OB=OD, 么ZB,而/ADC=ZB,./+/ADC=Z

12、ADO=90°,即CDOD.又.OD是。O的半径， 直线CD是。O的切线；解：二.在直角"DB中，AB=J5,BD=2, 根据勾股定理知，AD=、AB2-BD2=1 .AEXAB,ZEAB=90°.又/ADB=90°, AEDs/baD,ADBD口.12 '1=,即=,AEBAAE,5解得，AE=,即线段AE的长度是聂.22【中】如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别交BC、AC于D、E两点,过点D作DFLAC,垂足为F.求证：DF是。O的切线；若Ae=De,DF=2,求。O的半径.【答案】证明：连接OD,如图, .AB=AC,.&

13、#163;=ZB,-.OD=OB,zB=Z1,zC=Z1,.OD/AC.z2=ZFDO, .DFXAC,z2=90°,zFDO=90°, .OD为半径， .FD是OO的切线;解：:AB是。O的直径，"DB=90,即AD ±BC,.AC=AB,生Z4.Ed=Db而Ae=De,.De=Db=Ae,ZB=2么，ZB=60°,#=60°,zOBD为等边三角形,在RtACFD中，DF=2,ZCDF=30CF=132.3DF=,34.3CD=2CF=3.-c4.3-DB=,3即。o的半径为火3 3.OB=DB=43,3【易】如图，ABC为等腰三角

14、形，AB=AC,O是底边BC的中点，OO与腰AB相切于点D,求证：AC与。O相切.【答案】证明：连接OD,过点O作OELAC于E点,贝叱OEC=90.AB切。O于D,.-.OD±AB,dODB=90°, .dDDB=ZOEC又。是BC的中点， .OB=OC,.AB=AC,.ZB=ZC, OBDzOCE, .OE=OD,即OE是。O的半径,测一测1:【中】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D,且DELAC.(1)求证：DE是圆O的切线；(2)若/C=30°,CD=10cm,求圆O的半径=.【答案】证明：连接OD,.D是BC的中点，。为AB的中点,.OD

15、/AC.X/DE±AC, ODIDE,.OD为半径， .DE是圆O的切线.(2)解：连接AD;.AB是圆O的直径，"DB=90=/ADC,二.ADC是直角三角形.ZC=30°,CD=10,.AD.OD/AC,OD=OB,ZB=30二.HAD是等边三角形,103.OD=AD=3圆O的半径为10 3cm测一测2:【易】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的。与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.求证：CD与。O相切若正方形ABCD的边长为1,求。O的半径=DC解:过。作ON±CD于N,连接OM,则OM±BC.

16、.AC是正方形ABCD的对角线, .AC是BCD的平分线. .OM=ON,即圆心O到CD的距离等于。O的半径, CD与。O相切；(2)由(1)易知AMOC为等腰直角三角形，OM为半径，.OM=MC=12_2_2_.OCOMMC112.ACAOOC12.ABC是等腰直角三角形4.切线长定理及三角形的内切圆例题6:【易】如图，PA、PB、DE分别切。于A、B、C,DE分别交PA、PB于D、E,已知P到。O的切线长为8cm,则4PDE的周长为（）A.16cmB.14cmC.18cmD.12cm【答案】A【解析】解：:PA、PB、DE分别切。于A、B、C,.PA=PB,DA=DC,EC=EB;，C#D

17、E=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16.ZPDE的周长为16.【易】如图RtMBC中，ZC=90°AC=6,BC=8,则9BC的内切圆半径r=【答案】2【解析】解：如图在RtABC,/C=90°,AC=6,BC=8;根据勾股定理AB=.AC2+BC2=10;四边形OECF中，OE=OF,ZOEC=ZOFC=ZC=90，四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF,BD=BE,CE=CF;1.CE=CF=(AC+BC-AB);2rr1，即：r=(6+8-10)=2.2则三角形的周长为测一测1:【易】RtAABC中，ZC=90°

18、AB=5,内切圆半径为1,解：连接 OA、 OB、 OC、 OD、 OE、 OF,。是那BC的内切圆，切点分别是 D、E、F,.-.OD ±AC , OE ± AB , OF ±BC, AD=AE , BE=BF ,QDC= ZOFC= ZACB=90 ° ,.OD=OF ,，四边形ODCF是正方形，.CD=OD=OF=CF=1,. AD=AE , BF=BE ,.AE+BE=AB=5 ,.AD+BF=5 ,ABC 的周长是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12三、圆与圆的位置关系例题7:【易】图中圆与圆之间不同的位置关系

19、有（C.4种D.5种【答案】A相交和内切.故【解析】由图形可以看出图中的圆有两个交点和有一个交点的两种位置关系,选A.【易】已知。Oi与。2的半径分别是a、b,且a、b满足a2J3b0,圆心距O1O25则两圆的位置关系是.【答案】外切【解析】解：:a2技卫0.a-2=0,3-b=0解得：a=2,b=3圆心距O1O252+3=5，两圆外切故答案为：外切.【易】已知：半径分别为3cm和5cm的两圆相切，则两圆圆心距d为（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.2cm<d<8cm【答案】C【解析】两圆半径分别为3cm、5cm,两圆圆心距为d,.d的取值范围为5cm-3cmvdv5cm+3cm,即2cmvdv8cm.故选D.测一测1 :如果半径分别是2cm和3cm的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（A.1cmB