点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

1、精品点集拓扑学期末考试、单项选择题（每题1分）答案：感谢下载载1、已知Xa,b,c,d,e,下列集族中,(TX,a,a,b,a,c,eTTX,a,a,bT)是X上的拓扑.X,a,b,c,a,b,d,a,b,c,eX,a,b,c,d,e答案:2、设Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓扑.TX,a,a,b,cTX,a,a,b,a,c答案：TX,a,b,a,cTX,a,b,c3、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓扑. T X, ,a, a,b, a,c,d T X, ,a,b,c, a, b, d T X, ,a, b, a,c TX, ,a,b,c答案：答案：TX,a,b,a,c

2、,dTX,a,b4、设Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓扑.X, ,a, b, a,b, a,c 'TX,b,c,a,bT5、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓扑. T X, ,a,b,a,c,d T X, ,a, b, a,c,d T X, ,a,b, a,c,d T X, ,a,c, a,c答案：6、设Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓扑.TX,a,b,b,cTX,a,b,b,c答案：TX,a,a,cTX,a,b,c7、已知Xa,b,c,d,拓扑TX,a,则丽=()小Xbb,c,d8、已知Xa,b,c,d,拓扑TX,a，贝1b,c,d二()精品感谢下载载b

3、b,c,d9、已知Xa,b,拓扑TX,a，则a=(ab10、已知Xa,b,拓扑TX,a，则b=(ab11、已知Xa,b,c,d,拓扑TX,a,则a=()a,bb,c,d答案：12、已知Xa,b,c,d,拓扑TX,a,则c=()a,cb,c,d答案：13、设Xa,b,c,d,拓扑TX,a,b,c,d，则X的既开又闭的非空真子集个数14、设Xa,b,c拓扑TX,a,b,c，则X的既开又闭的非空真子集的个数为15、设Xa,b,c拓扑TX,b,b,c，则X的既开又闭的非空真子集的个数为16、设Xa,b,拓扑TX,b,则X的既开又闭的子集的个数为（17、设Xa,b,拓扑TX,a,b,则X的既开又闭的子集

4、的个数为（18、设Xa,b,c拓扑TX,a,b,a,b,b,c,X的既开又闭的非空真子集个数19、在实数空间中,有理数集Q的内部、°是（QR-QR答案：20、在实数空间中，有理数集Q的边界（Q）是（）QR-QR答案：21、在实数空间中，整数集Z的内部Zo是（）ZRZR答案：22、在实数空间中，整数集Z的边界亿）是（）ZRZR答案：23、在实数空间中，区间0,1）的边界是（）0,10,1（0,1）答案：24、在实数空间中，区间2,3）的边界是（）2,32,3（2,3）答案：25、在实数空间中，区间0,1）的内部是（）0,10,1（0,1）答案：26、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子

5、集，则下列关系中错误的是（d(AB)d(A)d(B)d(AB)d(A)d(B)27、设X是一个拓扑空间,A, B是X的子集，则下列关系中正确的是（d(AB)d(A)d(B)d(AB)d(A)d(B)28、设X是一个拓扑空间,AB是X的子集，则下列关系中正确的是（d(AB)ABd(AB)d(A)d(B)d(d(A)Ad(A)29、已知X是一个离散拓扑空间,A是X的子集，则下列结论中正确的是（d(A)d(A)d(A)d(A)30、已知X是一个平庸拓扑空间,，则d（A）A是X的子集，则下列结论中不正确的是（若Ax0,则d（A）XA若A=X1,X2,则d(A)X若AX,则d(A)X答案：31、已知X是

6、一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是()若A，则d(A)若AX0,则d(A)X若A=、,X2,则d(A)XA若AXi%,则d(A)A答案：32、设Xa,b,c,d,令Ba,b,c,c,d，则由B产生的X上的拓扑是()X,c,d,c,d,a,b,cX,c,d,c,dX,c,a,b,cX,d,b,c,b,d,b,c,d答案：33、设X是至少含有两个元素的集合，pX,TGX|pG是*的拓扑，则(是T的基.Bp,x|xXpBx|xX B p,x| x X B x| x X p答案：34、设Xa,b,c,则下列X的拓扑中（）以5X,a为子基.X,a,a,cX,aX,a,b,a,bX,答案

7、：35、离散空间的任一子集为（）开集闭集即开又闭非开非闭答案：36、平庸空间的任一非空真子集为（）开集闭集即开又闭非开非闭答案：37、实数空间R中的任一单点集是（）开集闭集既开又闭非开非闭答案：38、实数空间R的子集A=1,-,-,-,则公=（）234小RAU0A答案：39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）整数集a,b有理数集无理数集答案：40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）整数集Z有理数集无理数集整数集Z的补集Z答案：41、已知X（1,2,3上的拓扑TX,1,则点1的邻域个数是（）答案：42、已知Xa,b,则X上的所有可能的拓扑有（）1个2个3个4个答案：43、已知X=a,b,

8、c,则X上的含有4个元素的拓扑有（）个3579答案：44、设（X,T）为拓扑空间,则下列叙述正确的为（）XT,TXT,T当TT时，UUT当TT时，IUT答案：UTUT45、在实数下限拓扑空间R中，区间a,b）是（）开集闭集既是开集又是闭集非开非闭答案：46、设X是一个拓扑空间，A,BX,且满足d（A）BA,则8是（）开集闭集既是开集又是闭集非开非闭答案：47、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A1,2,则X的子空间A的拓扑为() T ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T , A,1,2 T ,X,1,2答案：48、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1

9、,2是X的拓扑，A1,3,则X的子空间A的拓扑为()T,1,3,1,3T,A,1T,X,1,3,1,3T,X,1答案：49、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A2,3,则X的子空间A的拓扑为()T,3,2,3T,A,2,3T,X,2,3,2,3T,X,3答案：50、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A1,则X的子空间A的拓扑为()T,1T,A,1,2T,X,1,3,1,3T,X,1答案：51、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A2,则X的子空间A的拓扑为()T,2,1,2T,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：5

10、2、设X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓扑，A3,则X的子空间A的拓扑为() T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为() T ,Z T P (Z)T Z 答案：54、设 X X1 X2 LX6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.P,是X到X1的投射，则P1是()单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：55、设 X X1 X 2 L() 单射满的连续闭映射56、设 X X1 X2 L()单射满的连续闭映射57、设 X X1 X2 L()单射满的连续闭映射58、设 X X1 X2

11、LX6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则马是连续的单射满的连续开映射答案：X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.P3是X到X3的投射，则P3是连续的单射满的连续开映射答案：X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.P4是X到X4的投射，则F4是连续的单射满的连续开映射答案：X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是( )单射满的连续闭映射59、设 X X1 X2 L()单射满的连续闭映射连续的单射满的连续开映射答案：X6是拓扑空间X1,X2,L ,X6的积空间.品是X到X6的投射，则 后是连续的单射满的连续开映射答案

12、：60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1 X2是它们的积空间，A X1, B X2,则有( A B A B A B A B (A Bp Ao Bo (A B) (A)(B)答案：61、有理数集Q是实数空间R的一个()不连通子集开集连通子集以上都不对答案：62、整数集Z是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：63、无理数集是实数空间R的一个（）不连通子集连通子集开集以上都不对答案：64、设Y为拓扑空间X的连通子集，Z为X的子集，若丫ZY,则2为（）不连通子集连通子集闭集开集答案：65、设Xi,X2是平庸空间，则积空间XiX2是（）离散空间不一定是平庸空间平庸空间不连通空间答案

13、：66、设Xi,X2是离散空间，则积空间XiX2是（）离散空间不一定是离散空间平庸空间连通空间答案：67、设Xi,X2是连通空间，则积空间XiX2是（）离散空间不一定是连通空间平庸空间连通空间答案：68、实数空间R中的连通子集£为（）开区间闭区间区间以上都不对答案：69、实数空间R中的不少于两点的连通子集£为（）开区间闭区间区间以上都不对答案：70、实数空间R中的连通子集£为（）开区间闭区间区间区间或一点答案：71、下列叙述中正确的个数为（）（I）单位圆周S1是连通的；（H）R0是连通的(m)R2(0,0)是连通的(IV)R2和R同胚1234答案：二、填空题(每题

14、1分)1、设Xa,b,则X的平庸拓扑为;答案：TX,2、设Xa,b,则X的离散拓扑为；答案：TX,a,b3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫；答案：拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是.答案：R5、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有答案：U(Ax)6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)二;答案：X7、设A是有限补空间X中的一个无限子集、则入=;答案：X8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则d(A)二;答案：X9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则五二；答案：X10、设X1,2,3,X的拓扑TX,2,2,3，则X的子集A1,2的内部为;答案：211、设X1,

15、2,3,X的拓扑TX,1,2,3，则X的子集A1,3的内部为;答案：112、设X1,2,3,X的拓扑TX,1,2,3，则X的子集A1,2的内部为答案：113、设X1,2,3,X的拓扑TX,2,2,3，则X的子集A1,3的内部为;答案：14、设Xa,b,c,则X的平庸拓扑为;答案：TX,15、设Xa,b,c,则X的离散拓扑为答案：TX,a,b,c,a,b,a,c,b,c16、设X1,2,3,X的拓扑TX,2,3,2,3，则X的子集A1,3的内部为;答案：317、设X1,2,3,X的拓扑TX,1,3,1,3,则X的子集A1,2的内部为;答案：118、f：XY是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单

16、射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个答案：嵌入19、f：XY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个；答案：商映射20、设X,Y是两个拓扑空间，f:XY是一个映射，若X中任何一个开集U的象集“是丫中的一个开集，则称映射f是一个答案：开映射21、设X,Y是两个拓扑空间，f:XY是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个答案：闭映射22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得AB,ABX,则X是一个;答案：不连通空间23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得AB,AB

17、X,则X是一个;答案：不连通空间24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个答案：不连通空间25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY,则Z也是X的一个；答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个;答案：在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个;答案：可商性质28、若任意n1个拓扑空间Xi,X2,L,Xn,都具有性质P,则积空间XiX2LX。也具有性质P,则性质P称为；答案：有限可积性质29、设X是一

18、个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得ABX,则称X是一个;答案：不连通空间.三.判断(每题4分，判断1分，理由3分)1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案：，理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f：XY是连续映射，因为对任意AY,都有f1(A)X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f1(A)是中的开集，所以f：XY是连续的.2、设Ti,T2是集合X的两个拓扑，则TiT2不一定是集合X的拓扑()答案：X理由：因为(1)Ti,T2是X的拓扑，故X,Ti,X,T2,从而X,TiT2;(2)对任意的A,BTiT2,则有A,BTi且A,BT2,由于Ti,T2是X的拓扑

19、，故ABTi且ABT2,从而ABTiT2；(3)对任意的TTiT2,则TTi,TT2,由于Ti,T2是X的拓扑，从而utUTi,utUT2,故utUTiT2;综上有TiT2也是X的拓扑.3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射()答案：，理由：设f:XY是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,易知它们在f下的原象分别是X,均为X中的开集，从而f：XY连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA()答案：，理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以p是X的开子集，且有pIAp，即pdA,从而d(A).5、设A为平庸空间X(X多于一点)的一个单

20、点集，则dA()答案：X理由：设Ay,则对于任意xX,xy,x有唯一的一个邻域X,且有yX(Ax),从而X(Ax),因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X,有X(Ay),所以有dAXA.6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX()答案：V理由：对于任意xX,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X,且有X(Ax),因此x是A的一个凝聚点，即xd(A),所以有dAX.7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得AB,ABX()答案：V理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得ABX,显然AIBBBX(BA)(BB)B从而B是X的

21、一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足AB,ABX.8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间()V理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令BA,则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足ABX,易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五.简答题(每题4分)1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且AB.试说明d(A)d(B).答案：对于任意xd(A),设U是*的任何一个邻域，则有U(Ax),由于AB,从而U(Bx)U(Ax),因此xd(B),故d(A)d(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:XY,g:YZ都是连续映

22、射，试说明gof:XZ也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:YZ是一个连续映射，从而g1(W)是Y的一个开集，由f:XY是连续映射，故f1(g1(W)是X的一开集，因此(gof)1(W)f1(g1(W)是X的开集，所以gof:XZ是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A是一个开集.答案：对于xA,则xA,由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U(Ax),因此UA，即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，AX.试说明：若A的补集A是一个开集，则A是一个闭集.答案：设xA,则xA,由于A是一个开集，

23、所以A是x的一个邻域，且满足AA，因此xA,从而AA,即有AA,这说明A是一个闭集.5、在实数空间R中给定如下等价关系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)设在这个等价关系下得到的商集Y0,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T,丫,0,0,16、 在实数空间R中给定如下等价关系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y1,2,3,试写出Y的商拓扑T.答案：T,Y,3,2,37、 在实数空间R中给定如下等价关系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)设在这个等价关系下得到的商集Y1,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T,Y,

24、1,1,18、 在实数空间R中给定如下等价关系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)设在这个等价关系下得到的商集Y2,1,2,试写出Y的商拓扑T.答案：T,Y,2,2,19、 在实数空间R中给定如下等价关系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y0,2,3,试写出Y的商拓扑T.答案：T,Y,3,2,310、 在实数空间R中给定如下等价关系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y0,2,4,试写出Y的商拓扑T.答案：T,Y,4,2,411、 在实数空间R中给定如下等价关系:xyx,y(,1或者

25、x,y(1,2或者x,y(2,)设在这个等价关系下得到的商集Y1,2,4,试写出Y的商拓扑T.答案：T丫4,2,4六、证明题(每题8分)1、设f:XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X)AB3分于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：-1-1-1_1(f(A)f(B)(f(B)f(A)_1_11_1,(f1(A)f1(B)(f1(B)f1(A)f1(AB)(AB)所以f1(A),f1(B)是X的非空隔离子集此外，f1(A)f1(B)f1(AB)f1(f(X)X,这说明X不

26、连通，矛盾.从而f(X)是Y的一个连通子集8分2、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的开集使得YAB,则或者YA,或者YB.证明：因为A,B是X的开集，从而AY,BY是子空间Y的开集.又因YAB中，故Y(AY)(BY)4分由于Y是X的连通子集，则AY,BY中必有一个是空集.若BY，则YA;若AY，则YB8分3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，证明：如果A和B是X的两个无交的闭集使得YAB,则或者YA,或者YB.证明：因为A,B是X的闭集，从而AY,BY是子空间Y的闭集.又因YAB中，故Y(AY)(BY)4分由于Y是X的连通子集，则AY,BY中必有一个是空集.若BY，

27、则YA;若AY，则YB8分4、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZY,则Z也是X的一个连通子集.证明：若Z是X的一个不连通子集，则在X中有非空的隔离子集A,B使得ZAB.因此YAB3分由于Y是连通的，所以YA或者YB,如果YA,由于ZYA,所以ZBAB,因此BZB,同理可证如果YB,则A，均与假设矛盾.故Z也是X的一个连通子集.8分5、设Y是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果|Y，则UY是X的一个连通子集.证明：若UY是X的一个不连通子集.则X有非空的隔离子集A,B使得UYAB4分任意选取x|Y,不失一般性，设xA,对于每一个，由于Y连通，从而UYA及B，矛盾，所以UY是连通的

28、8分6、设A是拓扑空间X的一个连通子集，B是X的一个既开又闭的集合.证明：如果AB,WJAB.证明：若BX,则结论显然成立.下设BX,由于B是X的一个既开又闭的集合，从而AB是X的子空间A的一个既开又闭的子集4分由于AB及A连通，所以ABA,故AB.8分7、设A是连通空间X的非空真子集.证明：A的边界(A).证明：若(A)，由于(A)AA,从而AA(AA)(AA)(AA)(AA),故A,A是X的隔离子集4分因为A是X的非空真子集，所以A和A均非空，于是X不连通，与题设矛盾.所以(A).8分下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足,希望对大家的考试有帮助二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）1、拓扑空间中有限集没有聚点。答：这个说法是错误的。反例：Xa,b,c,规定拓扑X,a,则当Aa时，b和CWB是A的聚点。因为b和c勺领域只有X一个，它包含a,a不是A的聚点，因为Aa。12、欧式直线E141 141f |2-:2-S1f-也是同胚映射，I不连通，则S1不连通,2222故矛盾，所以单位闭区间I与S1不同胚。5、紧致性具有可遗传性质。答：这