异面直线所成角的几种求法

1、异面直线所成角的几种求时间：2021.03.01创作：欧阳语异面直线所成角的大小，是由空间一点分别 引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义 的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会 要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个 三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角 的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直 线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有 良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1:如图，在正方体ABCD-AB|GD|中，E、F分别是相邻两侧面BCC|B|及CDDjC,的中心。求AE和BF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直如可平移其中一条直线，也可平移两

2、条直线豹棄7二;Bi1/个点上。作法：连结BjE,取BQ中点G及AQ中AH,连结GH,有GH/MjEo过F作CD的平行线RS,分别交CCP DD,于点R、S,连结SH,连结GSo由 B1H/CP/FS, BiH二FS,可得 B】F/SH。在厶GHS中，设正方体边长为肌V6GH=a （作直线GQ/BC交BB于点Q,连QH,可知 GQH为直角三角 形），V6HS二亍。（连A】S,可知 HAQ为直角三角形），丄/.CosZGHS=6 o所以直线A】E与直线B】F所成的角的余弦值为6O解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利 用点的坐标表示出空

3、间中每一个向量，从而可以 用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB【 为z轴，设BC长度为2。则点A.的坐标为（0, 2, 2），点E的坐标为（），1）,点B】的坐标为（），（），2），点F的坐标为（2, 1, 1）；所以向量“的坐标为（-1 , 2, 1），向量的坐标为（2, 1, J）,所以这两个向量的夹角B满足cosEABF(l)x2 + 2xl + lx(l)=I 瓯 I 丨乔丨二 J(一1)2 + (2)2 + (1)2 J(2)2 + (1)2 + (1)2 二_6 .所以直线A.E与直线B|F所成的角的余弦值£为&小结：上述解

4、法中，解法一要求有良好的作 图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形 中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计 算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到 角的大小。而解法二不需要学生作图，只需建 立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从 而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹 角，即所求的两条直线所成的角。当然，如果 题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形， 比如刚才的正方体，或者说是长方体，或者说 空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我 们就可以建立空间直角坐标系，从而利用向量 的坐标表示来求两个向量的夹角。如果没有这 样的性质，我们也可以利用空间向量基本定 理，寻找空间的一组基底（即三个

5、不共面的向 量，且这三个向量两两之间的夹角咼已知 的），空间中任何一个向量都可以用这三个向 量的线性组合表示出来，因而也可以运用向量 的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角。例2 :已知空间四边形ABCD中， AB二BC二CD二DA二AC二BDp , M、N 分别为 BC和AD的中点，设AM和CN所成的舒 a,求 cosot的值。B、解：由已知得，空间向量屈，忌，而不共 面，且两两之间的夹角均为60° o由向量的加法可 以得到£_丄AM = 2 （帀 + 花），NC= 2 AD+AC所以向量丽与向量疋的夹角B （即角oc或者oc的补角）满足 cqsB=IAM|.|NCI ,

6、其中1AM-NC丄AM NC=2 (AB+AC ).("I AD+ AC )£2 ABAD + ABAC +£(_2 AD) AC + AC AC )£= 2a2 (4 + 24+1)二丄丄AM 2= 2 (ABAC) . 2 (AB-AC)(1+1 + 1)2a2=4 a2;丄_丄NC |2二(2 AD + AC )( "2 AD + AC )丄 _L2二 7+1一3 a2=4 a2o2所以 cosa= I cosA I = 3 o例3 :已知空间四边形ABCD中，AB二CD=3，E. F分别是BC. AD上的点，FcE且 BE: EOAF:

7、 FD=1: 2，EF二求 AE 和解：取AC上点G，使AG: GC二1: 2OCD所成的角的大小。结 EG. FG，可 知 EG/AB，FG/CD，3EG二2AB , 3FG 二 CD。由向量的 iEF = EG+GF = 3BA+3CD设向量页和而的夹角为仏则由讶I叫押）.（込押）二 4+l+4cosB=7，丄得cosB二亍，所以AB和CD所成的角为60°。二、利用模型求畀面直线所成的角引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所 成的角为6,平面oc内的一条直线b与斜线a所 成的角为B,与它的射彬 所成的角为。求 证：cosO= cos® cos02o证明：设PA是oc的斜

8、线，OA是PA在a上的射 影，OB/b,如图所示。则ZPAO=61,/OAB=e2,过点（）在平面oc内作（）B丄AB,垂足为B,连结PBo可知PBlABoOAABAB所以 cosOj= PA , cosB二 PA , cosA2= oa o 所以 cosA= cosB cos02o这一问题中，直线a和b可以是相交直 线，也可以是异面直线。我们不妨把叫做线 面角，B叫做线线角，包叫做线影角。很明显， 线线角是这三个角中最大的一个角。我们可以 利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的 角，即引理中的角仏从引理中可以看出，我们 需要过a的一个平面cc,以及该平面的一条斜线 b以及b在cc内的射影。

9、例4:如图，MA丄平面ABCD,四边形MABCD是正方形，且MA二AB=q,试求异直宾賽MB与AC所成的角。p解：由图可知，直线MB在平面的射影为AB,直线MB与平面ABCD所成的角为45° ,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为 45° ,所以直线AC与直MB所成的角为九满足£cosA=cos45° cos45° =2 ,所以直线AC与MB所成的角为60° o例5:如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD 咼一个直角梯形，/BAD二90° , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a ,且 PA 丄底 ABCD, PD与底面成30°角，AE丄PD于 求异面直线AE与CD所成的角的大小。1解：过E作的平行线EF交AD于F, 由PA丄底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AD,直线AE与平面ABCD所成的角为/DAE,其 大小为60° ,射影AD与直线CD所成的角为/CDA,其大 小为45° ,所以直线与直线所成的角B满足V2cosA=cos60° c