专题讲座29动态几何问题(含答案)

1、专题二十九 动态几何问题题型解读动态几何问题通常以几何知识和图形为背景，渗入运动变化的观点。尽管图形的某一元素运动变化，但问题的结论可能改变，也可能保持不变这类题寓动于静，解题时要化变量为常量，展示数学的创造过程，重在考查能力.解决动态几何问题时，需要我们树立联系发展的动态观，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程典例剖析【题型1】单一点线动态型简单几何图形，增添运动变化元素，往往考察图形的变化过程，分析变量与其他量之间的关系，建立相关联系（等式）。例1（2007内江）如图291，在等腰三角形中，为底边上一动点（不与点重合），垂足分别为，则 图29-1剖析三角形中的垂线段与

2、高相关，可依托面积关系求解。解：连结CD，作CHAB于H。则 AHAB4，CH3。由 SACD SBCDSABC，得 AC·DEBC·DFAB·CH，即 AC·DEBC·DFAB·CH，5DE5DF8×3， DEDF。【题型2】与平移旋转相关的动态型平移或旋转，本身伴随运动，常需探索动点的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化“动”为“静”，以“静”制“动”。例2（2007资阳）如图292，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PEBC于点E，PFCD于点F.（1）求证：BPDP；（2）如图29

3、3，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BPDP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .图29-3图29-2剖析平移旋转隐含全等关系，利用全等可探求线段的相等关系。解：（1）解法一：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.（2）不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成

4、立. （3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图292中，可证四边形PECF为正方形，在BEC与DFC中，可证BECDFC . 从而有 BE=DF .【题型3】与坐标、函数图象相关的动态型在直角坐标系中的动态几何题，常综合运用代数与几何基本知识，特别紧扣函数解析式及图象的相关性质。例3（2006眉山）如图294：正方形ABCO的边长为3，过A点作直线AD交x轴于D点，且D点的坐标为（4，0），线段AD上有一动点，以每秒一个单位长度的速度移动。（1）求直线AD的解析式；（2）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P，求经过B、O、P三点的抛物线的解析式；（3）若动点从A点开

5、始沿AD方向运动t秒时到达的位置为点P1，过P1作P1Ex轴，垂足为E，设四边形BCEP1的面积为S，请问S是否有最大值？若有，请求出来；若没有，请说明理由。 图29-4解：（1）由已知，易得A（4，0），由待定系数法可得直线AD的解析式为。（2）由题意知AP2.5。在RtAOD中，可得AD5，则点P的坐标为（2，2.5）由于点O为坐标原点，可设经过点B（3，3），O（0，0），P（2，2.5）三点的抛物线的解析式为，则解得所求抛物线解析式为（3）作P1Fy轴于F，则四边形BCEP1是梯形，当时，最大面积命题规律与复习策略【命题规律与复习策略1】单一点线动态型，常揉合勾股定理、面积关系、多边形

6、内角和等基本知识。要善于抓住在运动中某一特殊位置的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件。【命题规律与复习策略2】与平移旋转相关的动态型，蕴涵运动变换的性质，隐含全等关系。必要时，要注意将在运动过程中的各个时刻的图形进行分类画图，由“动”变“静”。分类画图在解动态几何中很有效。【命题规律与复习策略3】与坐标、函数图象相关的动态型，常以几何图形为基架，以运动时间为自变量，构建数学模型，描述运动规律。有时需通过求出点的坐标，以及直线（或抛物线）的解析式来解决问题有时还要善于充分利用题中提供的信息，注意数形结合法，确定点与坐标、点与函数之间的关系在求有关图形的

7、变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；在求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解。总之，解决动态几何问题，要从观察入手，抓住图形运动时各变量之间的关系，通过归纳得出规律和结构，并加以求解。2008考势预测精练【复习策略1】（针对训练13题）1如图295，已知ABC为直角三角形，C90°，若沿图中虚线剪去C，则12等于（ C）A. 90° B. 135° C. 270° D. 315°图5 图29-62如图29-6，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一个动点，则DNMN的最小值为_。解

8、法：连结BN，DNMNBNMNBM10。3如图297，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为60°（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑到C点，同时底端B沿OM向右滑行到D点若ACBD=23，试AC的长。图297解：（1）OB2米，OA米。（2）设AC=2x，则BD=3 x。在RtOCD中，由勾股定理得（2x）2（23 x）242，解得，于是【复习策略2】（针对训练45题）4已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E（1）当三角

9、板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图298），易证ODOEOC（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图299、图2910这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明图298图299图2910解：（2）图299结论：ODOEOC 。证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、QCPDCQE，DPEQ，OPODDP，DQOEEQ，又OP0Q0C，即ODDPOEEQ0C， ODOE0C图2910结论：OEODOC.5设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的O的圆心

10、O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如图2911，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数dardarardardardar所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有个；2911（2）如图2912，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数dardaradarda所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有个；29122913（3）如图2913，当O与正方形有5个公共点时，试说明ra；答案：（1）表中依次为0，1，2，1，0。空中填0，1，2。（2）表中依次为0，1，2，

11、4。空中填0，1，2，4。（3）连结OC，则OEOCr，OFEFOE2a r，在RtOCF中，由勾股定理得（2a r）2 a2 r2，整理得ra。【复习策略3】（针对训练68题）ABPCx29146如图2914，在RtABC中，C=90°，AC=2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，APB的面积为y，则下列图象 能大致反映y 与x之间的函数关系的是（ C ）ByOxyOxADyOxCyOx7如图29-15，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°，点P为x轴上的个动点，点P不

12、与点0、点A重合连结CP，过点P作PD交AB于点D（1）求点B的坐标；（2）当点P运动什么位置时，OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；（3）当点P运动什么位置时，使得CPD=OAB，且=，求这时点P的坐标。解：（1）作BQx轴于Q. 四边形ABCD是等腰梯形,BAQCOA60°在RtBQA中，BA4,BQAB·sinBAO=4×sin60°AQ=AB·cosBAO=4×cos60°2,OQOAAQ725，点B在第一象限内,点B的坐标为(5，)（2）若OCP为等腰三角形，COP60°,此时OCP为等边三角形或是顶角

13、为120°的等腰三角形。若OCP为等边三角形，OPOCPC4，且点P在x轴的正半轴上，点P的坐标为(4，0)若OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OPOC4点P的坐标为(-4,0)点P的坐标为(4，0)或(-4，0)（3）若CPDOABCPAOCP+COP而OABCOP60°,OCPDPA此时OCPADP,ADABBD4APOAOP7-OP得OP1或6点P坐标为(1，0)或(6，0).8如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQx轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标。（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？