连续小波变换核心知识

1、连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足： （2-1） 时，则称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。将小波母函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为，平移因子为，并记平移伸缩后的函数为，则： （2-2） 并称为参数和小波基函数。由于和均取连续变换的

2、值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数经伸缩和平移后得到的一组函数系列。定义小波母函数的窗口宽度为，窗口中心为，则可以求得连续小波基函数的窗口中心及窗口宽度分别为： （2-3） 设是的傅立叶变换，频域窗口中心为，窗口宽度为，的傅立叶变换为，则有： （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为： （2-5）由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子的函数，均随着的变化而伸缩，并且还有 （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg测不准原理。（2）连续小波变换将空间的任意函数在小波基下进行展开，称其为函数的连续小波变换CWT，变换式为： （2-7

3、）当小波的容许性条件成立时，其逆变换为： （2-8） 其中为的容许性条件。另外，在小波变换过程中必须保持能量成比例，即： （2-9）由CWT的定义可知，小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换，其中为小波变换系数。可见小波变换对函数在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过缩放因子和平移因子来得到的。根据、的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号的局部化分析。连续小波变换具有以下重要性质： 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。 伸缩共变性：若的小波变化为，则的小波变换为 自相似性：对应于不同

4、尺度因子和不同平移因子的连续小波变换之间是自相似性的。 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度（redundancy），小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：由于连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换则是一一对应的。小波变换的核函数即小波基函数并不是唯一的，即存在许多可能的选择。小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数具有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。一个一维函数的连续小波变换是一双变量的函数，变量比多一个，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和它代表的信息量都显著增加了。对于变量超过一个的函数来说，这个变换的维数也将增加。若是一个二维函数，则它的连续小波变