课堂导学221综合法与分析法

1、课堂导学三点剖析一,利用综合法证明数学问题【例1】 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,求证:PCBD.证明:(综合法)因为PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线,连结AC、BD,则AC是PC在底面ABCD内的射影.又因为四边形ABCD为正方形，ACBD.故PCBD.温馨提示 本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量)等等. 一般地,对于命题“若A则D”用综合法证明时,思考过程可表示为 综合法的思考过程是由因导果的顺序,是从A

2、推演达到D的途径,但由A推演出的中间结论未必唯一,如B、B1、B2等,可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C、C1、C2、C3、C4等等.最终,能有一个(或多个)可推演出结论D即可.二,利用分析法证明数学问题【例2】求证：+2<2+.证法一:为了证明+2<2+,+2>0,2+>0,只需证明(+2)2<(2+)2,展开得11+4<11+4,只需证4<4,只需证6<7.显然6<7成立.+2<2+成立.证法二:为了证明+2<2+,只要证明2-<2-,只要证明.2>2,>,2+>2+>

3、0.成立.+2<2+成立.温馨提示 用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”) 分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据,如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据,如果其中之一B的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.用分析法与综合法来叙述证明,语气之间也应当有区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的.而在分析法中,就应当用假定的语气,习惯上常用这样一类语句：假如要A成立,就需先有B成立;如要有B成立,又只需有C成

4、立这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.三,创新应用【例3】 设a,b,c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证3SI2<4S.证明:I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S.故要证3SI2<4S,只需证3Sa2+b2+c2+2S<4S,即Sa2+b2+c2<2S(这

5、对于保证结论成立是充分必要的).欲证上式左部分,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca0，即只需证(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)0(这对于保证前一定结论成立也是充要的).要证上式成立,可证三括号中式子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要),注意到:a2+b2-2ab=(a-b)20,b2+c2-2bc=(b-c)20,c2+a2-2ca=(c-a)20,故结论真.欲证上式右部分,只需证:a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即要证:(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0.欲证上式,则

6、要证以上三个括号中式子都小于零(这一条件对保证上结论成立只是充分的,但它并不必要),即要证a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb都真,也就是要证a<b+c,b<c+a,c<a+b都真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原式成立.各个击破类题演练 1 已知a>b>0,求证：a-b<a-b.证明：a>b>0,b<,即2b<2.进而-2<-2b,于是a-2+b<a+b-2b,即0<(-)2<a-b,-<.变式提升 1 用综合法证明,设a>0,b>0,ab

7、,证明:>.证明：综合法.因为ab,所以a-b0,而(a-b)2>0,展开(a-b)2得a2-2ab+b2>0，两边加上4ab得a2+2ab+b2>4ab,左边写成(a+b)2得(a+b)2>4ab，由于a>0,b>0,两边取算术平方根得a+b>2ab，两边除以2得>.类题演练2 已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.求证：logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc.证明：要证明logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc,只需要证明logx··&

8、lt;logx(abc).由已知0<x<1,只需证明··>abc.由公式知>0,>0, >0.a、b、c不全相等,上面三式相乘,··>=abc,即··>abc成立,logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc成立.变式提升2 设a,bR+,且ab,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明：要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).又因a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.又需证a

9、2-2ab+b20成立，即需证(a-b)2>0成立.而依题设ab,则(a-b)2>0显然成立.由此命题得证.类题演练3 求证y=|x|在点x=0处连续,但在x=0处不可导.证明：y=|x|=且f(x)=f(x)=0.又f(0)=0,f(x)=|x|在点x=0连续.又y=f(0+x)-f(0)=|x|,=,当x>0时,=1,=1.当x<0时,=-1,=-1.当x0时,不存在.故f(x)=|x|在x=0处连续但不可导.变式提升 3 设实数a0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列an的前n项和Sn=f(n),令bn=,证明数列bn为等差数列.答案:(1)解：f(x)=a(x-)2+a-,由题设知f()=a-=-1,且a>0,解得a=1或a=-2(舍去).(2)证明：由(1)得f(x)=x2-2x,当Sn=n2-2n,a1=S1=-1.当n2时,an