二阶非线性光学效应石顺祥

1、第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 第章二阶非线性光学效应石顺祥第章二阶非线性光学效应石顺祥第一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.1 线性电光效应线性电光效应 线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。 当没有反演中心的晶体受到直流电场或低频电场作用时, 其折射率发生与外加电场成线性关系的变化。 应当指出的是, 这里所说的低频电场是与光频比较而言, 所以微波频率也包括在内。 第二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效应。 在这里, 作用于介质的两个电场， 一个是光电场,

2、另一个是低频场或直流场, 在这两个电场的作用下产生了二阶非线性极化。 现在假定作用于介质的直流场为E0、 光电场为E exp(-it)+c.c., 则根据极化强度的一般表示式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有.: ),(.: )0 ,(2: ),(2: )0 , 0()(.)()0()(20)2(00)2(0)2(000)2(0)2(00)1(0)1(cceEEcceEEEEEEtPccEeEtPtititi(4.1-1) (4.1-2) 第三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 因此, 相应于频率为的极化强度分量表示式为 .)0 ,(2)(.)0 ,(2

3、.)(),(0)2()1(00)2(0)1(0cceEEcceEEcceEtPtititi(4.1-3) 由此可见, 直流电场的作用使得介质对频率为的极化率张量改变了 。 在这种情况下, 电位移矢量为 D=0E+PL+PNL=E+PNL0)2()0 ,(2E第四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 或用分量形式表示为 EEEPEDeff)()0 ,(2(00)2(00(4.1-4)这里的是相对介电常数张量元素。 因此, 由于直流电场的作用, 使频率为的相对介电常数张量产生了一个变化量 : 0)2()0 ,(2E)(第五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二

4、阶非线性光学效应 1. 折射率椭球几何法描述 在第三章, 我们利用折射率椭球详细地讨论了光波在介质中的传播特性。 在主轴坐标系中的折射率椭球表示式为1222222xxxzzyynx第六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 由上面的讨论已知, 由于直流电场E0的存在, 引起了介电常数张量的变化, 也就引起了折射率椭球方程的系数1/n2x、 1/n2y、 1/n2z发生变化。 因此, 在有直流电场存在时, 应将折射率椭球方程写成如下一般的形式: 1121212 111625242232222212xynzxnyznznynxn(4.1-6) 第七页，共112页。第第4章

5、章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 当直流电场为零, 且x、 y、 z轴分别平行于三个介电主轴时, 有01,1101,1101,11062203205220220422012000000EzEEyEExEnnnnnnnnn(4.1-7) 第八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1） KDP（KH2PO4）晶体中的线性电光效应 KDP晶体属于42m对称群, 其光轴取为z轴, 另外两个对称轴为x轴和y轴。 根据表4.1-1, 它的线性电光张量的非零元素只有41=52和63, 其矩阵形式为634141000000000000000(4.1-20) 第九页，共112

6、页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 当外加直流电场E0=0时, KDP晶体的折射率椭球方程为 1222222eoonznynx(4.1-21) 晶体外加直流电场E0时, 折射率椭球方程应为1222262524232222212nxynzxnyznznynx(4.1-22) 第十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 由（4.1-19）式关系, 有 3636232241522214142121, 011, 011, 01EnnEnnEnn所以, E00时, KDP晶体的折射率椭球方程为 1222063041041222222xyEzxEyzEnxnyn

7、xxyxeoo(4.1-23) 第十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.1-1 坐标变换关系 xxyz,zyO45 45 第十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2) 43m类晶体的线性电光效应（横向运用） 43m类晶体为立方晶系类, 属于这类晶系的晶体有CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。 这类晶体未加电场时, 光学性质是各向同性的, 其折射率椭球为旋转球面, 方程式为 x2+y2+z2=n20 (4.1-30) 式中, x、 y、 z取晶轴方向, 它们的线性电光张量矩阵为第十三页，共112页。第第4章章 二阶

8、非线性光学效应二阶非线性光学效应 因此, 外加直流电场E0后的折射率椭球方程为414141000000000000000(4.1-31) 1)(200041202202202xyEzxEyzEnznynxzyx(4.1-32) 第十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2. 麦克斯韦方程解析法描述 如前所述, 线性电光效应是一种二阶非线性光学效应, 由于直流电场的作用, 使介质对频率为光波的相对介电常数张量变为0)2(2)(Eeff(4.1-40) 将变化后的介电常数张量代入描述晶体光学性质的基本方程（3.1-9）式, 得EEkkEcnDeff)(202(4.1-

9、41) 第十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1） KDP晶体的线性电光效应 假定外加直流电场平行于光轴（z轴）, 并且根据 42m类晶体的二阶极化率张量形式zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000KDP晶体的有效相对介电张量元素可表示为 ozzozeffEE)2()2(22)(第十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 写成矩阵的形式为 zzxxozxyzozxyzxxeffrEE000202)()2()2(将(r)eff代入（4.1-41）式, 得 )()()(000000)()()(000

10、2022222)2()2(zyxzyxzzzzxxozxyzozxyzxxEEEnnnEEEnkkEE (4.1-42) 第十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2） 43m类晶体的电光效应（横向运用） 43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为 zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000这里的二阶非线性极化率张量元素有如下的对称性: )2()2()2()2()2()2(yxzyzxzyxzxyxzyxyz第十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 假设外加直流电场的方向为z方向, 光波在xOy平面

11、内沿着x、 y轴的对角线方向传播, 因而有2/245sin2/245coskkkkyx 式中, k表示光波传播方向的单位矢量, 所以有效相对介电张量为rrzxyzzxyzreffrEE000202)(0)2(0)2(第十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.1-2 4 43m晶体横向运用时的本征矢示意 zykxO本征矢E2本征矢E1第二十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.2 光光 整整 流流 效效 应应 若令光波电场的空间变化部分为 rkcniaeEE0(4.2-1) 式中, E0为光波电场的振幅, a为光振动方向的单位

12、矢量, k为光波传播方向的单位矢量, 则由于二次非线性效应产生的直流极化强度为aaEEEP: ),(2: ),(2)2(200)2(00(4.2-2) 第二十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 根据上面的假定, 光波在KDP晶体中传播时, 其寻常光分量有ax0, ay0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az0。 又根据KDP晶体(2)的空间对称性, 只有 中三个脚标都不相同的元素才不为零。 所以, 如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开, 就可以得到它们的P0 x和P0y分量皆为零, 但对P0z分量两者不同: 非常光的P0z=0, 寻常光的P

13、0z0。 对于寻常光来说, ),()2(yxzxyyxzyxyxzxyzaaEaaaaEP),(4),(),(2)2(200)2()2(2000(4.2-3) 第二十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。 假设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为, 则有cos,sinyxa将其代入（4.2-3）式, 便得 2sin),(2)2(2000zxyzEP(4.2-4) 第二十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.3 三波混频及和频、三波混频及和频、 差频产生差频产生 4.3.1 三波混频的耦

14、合方程组 由二阶非线性极化强度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极化强度复振幅为第二十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 根据（3.3-23）式, 三个频率1、 2和3的光电场标量复振幅E(1,z)， E(2,z)和E(3,z)满足的微分方程分别为),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(2121)2(03)2(1*313)2(02)2(2*323)2(01)2(zEzEPzEzEPzEzEP(4.3 - 1)(4.3 - 2)(4.3 - 3)第二十五页，共112页。第第4章

15、章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 zikNLzikNLzikNLezPakidzzdEezPakidzzdEezPakidzzdE321),()(2),(),()(2),(),()(2),(333023322202221110211(4.3-4) (4.3-5) (4.3-6) 第二十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 式中的PNL (,z)为zkkiNLzkkiNLzkkiNLezEzEaazPezEzEaazPezEzEaazP)(212121)2(01)(131313)2(02)(232323)2(01231323),(),()()(: ),(2)

16、,(),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(将（4.3-7）式（4.3-9）式分别代入（4.3-4）式（4.3-6）式, 并令第二十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 kziezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(2121321)2(23233kzikziezEzEaaackidztdEezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(),(),()()()(: ),(),(1313213)2(222222323123)2(21211 (4.3-11) (4.3-12) (

17、4.3-13) 第二十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.3.2 曼利-罗关系 现将（4.3-16）式乘 , （4.3-17）式乘 , （4.3-18）式的复数共轭乘 , 再将所得三式相加, 可得),(111zEk),(222zEk),(333zEk0),(),( ),(),(),(),(323322221111dzzdEzEkdzzdEzEkdzzdEzEk(4.3-19) 第二十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在得到上式时已利用了关系1+2=3。 现再取（4.3-19）式的复数共轭并与（4.3-19）式相加, 有常数2

18、33322222111233322222111),(),(),(0),(),(),(zEkzEkzEdzdkzEdzdkzEdzdkzEdzdk对该式积分, 得 (4.3-20) 第三十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 因为能流密度S的表示式为202)(2)(221EkES所以（4.3-20）式可表示为 常数321SSS(4.3-21) 第三十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.3.3 和频产生 上面给出的方程组（4.3-16）（4.3-18）是讨论非线性介质中三波(1,2,3=1+2)混频的基本耦合波方程组。 现在我们首先讨

19、论和频产生的情况。 第三十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1. 小信号近似理论处理 在满足相位匹配条件下, 即k=0时, 方程（4.3-18）式的解为zEEckizEeff)0 ,()0 ,(),(21)2(23233(4.3-31) 这就是在小信号近似和满足相位匹配条件下所得到的和频光电场E(3,z)的变化规律。 第三十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2. 大信号理论处理 在1和2入射光电场振幅为E0(1,0)和E0(2,0)的情况下, （4.3-16）式（4.3-18）式的一般解为3)0 ,()0 ,()0 ,(21)

20、,()0 ,(),(10202112222110)2(213223222202122323230EEkkkZEkkcukusnEkkzEeff(4.3-35) (4.3-36) (4.3-37) 式中 第三十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在这里, 频率为2的光场分量已表示为入射光频率为1 和2两个分量中强度较弱的一个。 sn(u,k)是以u和k为参变量的雅可比椭圆函数, 它是由第一类椭圆积分逆变换得来的。 已知第一类椭圆积分为ukdkF022sin1),(第三十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 该椭圆积分的逆变换sin是u

21、和k的函数, 用sn(u,k)表示, 即为雅可比椭圆函数, 所以有 sn(u,k)=sin (4.3-38) 因为sin是周期函数, 所以sn(u,k)也是周期函数, 而且最大值等于1。 第三十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.3-1 在相位匹配条件下, N随z变化规律 N0p/2pz)0(2 N)0(1 N第三十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.3.4 差频产生 1. 小信号近似理论处理 在z很小的情况下, 可以将E(3,z)和E(1,z)看作常数, 在完全相位匹配条件下直接积分（4.3-17）式, 可得zEEc

22、kzEeff)0 ,()0 ,(21),(1030)2(222220以及 02321(4.3-44) (4.3-45) 第三十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 式中, lM就是由（4.3-）式定义的用来表征混频过程速率的特征长度, 用lM表示（4.3-44）式时, 有2)0()(32MlzNzN(4.3 - 46)MlzzEkkzE),(),(30212322230(4.3-47) 第三十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2. 大信号理论处理 差频光波的光子通量 的一般解形式为2N,)0()0()0(,)0()0()0()0(

23、)0()0()0()(2121231313131312MMlzNNNlzNNNfNNNNzN(4.3-48) 式中, 函数f(u,k)是雅可比椭圆函数sn(u,k)和dn(u,k)之比, 即),(1),(),(),(),(22kusnkkudnkudnkusnkuf(4.3-49) (4.3-50) 第四十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.3-2 在相位匹配条件下N随z的变化规律 N0p/2pz)0(1 N)0(3 N第四十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.4 二次谐波产生二次谐波产生 4.4.1 理想均匀平面波的二

24、次谐波产生 1. 二次谐波产生 二次谐波产生是和频产生的特殊情况, 但不能简单地将1=2代入上节对和频产生讨论所得到的结果中, 这是因为当1=2时, 除由1和2产生和频外, 还分别有1和2的二次谐波产生的过程, 但在上节讨论和频产生规律时, 并没有考虑这些二次谐波产生过程。 第四十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 对于二次谐波产生过程, 假设k2和k分别表示频率为2和的光波传播常数, 则按（3.3-23）式, 二次谐波产生过程中的耦合方程为kzikziezEzEaaackidzzdEezEaaackidzzdE),(),2()()2()(),2(),(),()

25、()()2(),(2),2()2(222)2(222(4.4-1) (4.4-2) 式中 22kkk(4.4-3) 第四十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 方括号中点乘的定义见（4.3-14）式。 和论证（4.3-15）式类似, 如果介质在频率和2处是无耗的, 则张量(2)(,)是实数, 就有 ),2(),2(),()2()2()2(4.4-4) 第四十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 上式中最后一个等式已利用了极化率张量的时间反演对称性。 因此, （4.4-1）式和（4.4-2）式中方括号相等, 并令其等于 , 即有)2(e

26、ffkzieffkzieffezEzEckidzzdEezEckidzzdE),(),2(),(),(2),2()2(222)2(222(4.4-5) (4.4-6) 第四十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在上二式中消去 , 可以得到 )2(eff常数222),(),2(21zEkzEk(4.4-7) 或用能流密度表示时, 可得如下关系式 常数SS2(4.4-8) 第四十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-1 相位匹配条件下二次谐波产生规律00.51.012E0(2, z) / E0(, 0)基波二次谐波SHlz第

27、四十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2. 有效非线性光学系数 1) 有效非线性极化率 在前面求解三波混频的耦合波方程时, 引入了有效非线性极化率 。 例如, 对于频率为3的光电场有)2(eff)()()(),()()(: ),()(21321)2(2121)2(3)2(aaaaaaeff(4.4-26) 第四十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-2 o光与e光偏振在各晶轴上的投影 zko偏振e偏振yxO第四十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2） 有效非线性光学系数 在非线性光学中

28、, 除了采用非线性极化率张量(2)描述非线性作用外, 习惯上, 特别是实验工作者, 更常采用非线性光学系数d描述非线性相互作用。 d与(2)有如下关系6: ),(2),(),(),()2(2121)2(dd(4.4-30) (4.4-31) 第五十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 若用d替代三波混频耦合波方程中的(2), 同样可以得到有效非线性光学系数deff: )()(: ),()(21213aadadeff(4.4-32) 它是一个标量, 同样表征了光混频中的光波耦合。 表 4.4-1 某些晶类的dl(2)独立分量数目( 略）. 第五十一页，共112页。第第

29、4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.4.2 高斯光束的二次谐波产生 假设基波TEM00模高斯光束的电场由下式表示: .)(21),(1011ccerEtrEti(4.4-42) 式中 )1()arctan(2110)1(110011121111121111),(ibrkzkiibrkzikeeiEeeiEzyxE(4.4-43) 第五十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-3 高斯光束 光束轴光轴xzf晶体lmo第五十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1) 近场(11)、 不考虑走离效应此时, TEM00

30、模高斯光束电场表达式可简化为zikbrkeeEzyxE11211001),(4.4-44) 该式表明, 在近场区高斯光束的波阵面为平面, 因此可以利用平面波情况下的耦合波方程（4.4-1）进行讨论, 只是在这里应以 代替方程中的E(1,z), 以2deff代替 。 于是, 耦合波方程为)2(eff12110brkeEkzibrkeffeeEdcnidzdE1212210202(4.4-45) 第五十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在小信号近似情况下可得 2/)2/sin(2222101202121klkleeEnldiEklibrkeff(4.4-46) 基

31、波高斯光束功率为 222)(22101021021001201020011IEcnrdrdrEcnP(4.4-47) 第五十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2221021021221222202020022)2/()2/(sin82klklPcnndlrdrdEcnPeff(4.4-48) 因此, 二次谐波产生效率为 2221012122122212)2/()2/(sin8klklPcnndlPPeff(4.4-49) 第五十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 由（4.4-46）式可以看出, 二次谐波也是高斯光束, 它的束腰半

32、径w20为22101120kb(4.4-50) 第五十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2) 近场(11)、 考虑走离效应7 为讨论简单起见, 假定满足相位匹配条件(k=0), 并假定走离发生在xOz平面内（见图4.4-4）, 走离角为。 我们仍只讨论小信号近似。 由于考虑的是近场情况, 所以仍可采用平面波耦合方程（4.4-45）, 但是在计算晶体输出面上的总谐波场时, 积分路径必须沿着能量传播方向（与z轴夹角为）。 在这种情况下, 晶体输出面上某点B(x,y,l)的二次谐波场幅度E02(x,y,l), 应是虚线AB上各点的非线性极化发射的二次谐波场的叠加。

33、因此, 对方程（4.4-45）式的积分为第五十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-4 考虑走离效应时谐波场的积分路线 OlzAx2B(x,y,l )(x , y , z )第五十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 式中, x, y, z是积分路径AB上各点的坐标, zdeEdcnilyxElyxbkeff0)(22102022211),(4.4-51) yyzlxx)( (4.4-52) 将（4.4-52）式代入（4.4-51）, 可得 zdeEdcnilyxElybkzlxbkeff02)(2210202211211

34、),(4.4-53) 第六十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 引入归一化坐标8 allbkltbkzbklxu222)(2111111(4.4-54) 第六十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 式中, la是高斯光束的走离长度, 定义为 1011kbla(4.4-55) 并且定义积分deltuFtu0)(21),(4.4-56) 则（4.4-53）式可表示为 ),(),(2112210202tulFeEdcnilyxEybkeff(4.4-57) 第六十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 3) 一般

35、情况 对于既包括双折射引起的走离效应, 又包括高斯光束发散影响的一般情况, 不能直接采用平面波耦合波方程求解。 博伊德(Boyd)和克莱曼(Kleinman)经过详细证明9, 给出了远场情况下高斯光束二次谐波产生的效率表示式为),(811021221212BhlkPcnndPPmeff(4.4 - 62)第六十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 式中, B是双折射参量, 其表示式为211)(21lkB(4.4-63) 是聚焦参数, 表示式为 1bl (4.4-64) 第六十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-5 不同t

36、值下, 函数F2(u,t)的变化曲线 1.00.80.60.40.2010 8 6 4 20 2t =1052.51t =0.5F 2(u, t)u第六十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-6 函数G(t)变化曲线7 10.001.000.100.010.11.010.0100.0G(t)a21/)2(llt第六十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-7 函数hm(B,)在各种B值下与的关系曲线 1.39168421B02.841010210310 110 2110 30.010.11.010hm(B, )第

37、六十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.4-8 函数hmm(B)与B的关系曲线 1.00.80.60.40.20021345678hmm(B)B第六十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 最后, 我们列出各种极限情况下的效率公式: )()()()(),(75. 4482222101021221212fafaafaffaffafaeffllllllllllllllllllllllPcnndPP(4.4-65) 式中, lf称为高斯光束的有效焦长, 12blf(4.4-66) 第六十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效

38、应二阶非线性光学效应 4.5 参参 量量 转转 换换 4.5.1 参量转换的理论分析 在实际情况中, 起频率转换作用的强光波E(1)（有时称为泵浦光）通常都比弱光波（有时称为信号光）强得多, 所以在频率转换过程中, 泵浦光所损失或得到的功率与其总功率相比很小, 因此可忽略其强度的变化, 认为E(1)为常数。 这种近似不仅适用于小的z值, 对所有的z值都适用。 第七十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 根据上面所给出的近似, 我们可以一般地求解 （4.3-17）式和（4.3-18）式。 将（4.3-17）式对z求导, 得kzieffkzieffkeEzEckeEdz

39、zdEckidzzEd)(),()(),(),(13)2(222213)2(2222222(4.5-1) 由（4.3-17）式可以求得 kzieffedzzdEEickzE),()(),(21)2(22223(4.5-2) 式中, lM是由（4.3-41）式定义的特征长度。 第七十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.5.2 参量上转换 参量上转换实验装置的示意图如图4.5-1所示。 第一个观察到参量上转换的实验所利用的非线性晶体是KDP, 红宝石激光器发出的激光作为泵浦光, 光脉冲的平均功率为1 kW, 信号光是用水银灯发出的谱线, 每条谱线的功率大约为10

40、 mW量级, 所以信号光的强度比泵浦光强度小得多（相差约105倍）。 在实验中尽可能使之达到相位匹配条件, 得到大约10-9 W的产生波功率, 可见其上转换效率是很低的。 在这样小的转换输出强度情况下, 上转换输出强度与输入信号强度之间存在着线性关系, 这种关系也正是（4.5-8）式所预示的情况。 第七十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.5-1 参量上转换实验示意图 非线性晶体输入信号21，211，2，33部分反射镜滤波器第七十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.5-2 参量上转换过程的波矢关系 kIRvkLkI

41、RkvIR第七十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.6 参量放大与参量振荡参量放大与参量振荡 4.6.1 参量放大 首先应当明确, 在激光放大器和激光振荡器中, 增益是由原子或分子能级之间的粒子数反转提供的, 而在参量放大器和参量振荡器中, 增益则是由非线性介质中光波之间的相互作用产生的。 第七十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在4.5节中我们已经知道, 参量上转换过程中, 原来信号光(2)的强度 限制了从泵浦光(1)输送到转换光(3)的功率 。 但是在参量放大的情况下, 限制功率输送的是泵浦光强度, 因而在参量放大中,

42、有可能输送更大的能量。 )0(2N)(3zN第七十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 根据以上的说明可以看到, 在耦合波方程(4.3-16)(4.3-18)中的任何一个光电场振幅E(1,z)、 E(2,z)和E(3,z)都不能认为是不变的, 即使是泵浦光E(3,z)， 原则上也可以减小到零, 而同时信号光E(1)和空闲光E(2)得到不断地增大。但是, 如果只限定讨论z值足够小的情况, 这时虽然信号光和空闲光已可能发生了显著的变化, 但泵浦光还未发生显著的减小, 则此时仍可把泵浦光E(3)看作常数。 利用这种近似, 我们可以求解方程(4.3-17)式和(4.3-1

43、6)式。 消去E(1,z)后, 可以得到E(2,z)的微分方程为第七十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 0),(1),(),(222222zEldzzdEkidzzEdPA(4.6-1) 式中 130)2(212122212)(21EkkcleffPA(4.6-2) 第七十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 zkleklEEckizEPAkziPAeff21222212231)2(2222221sin211)0 ,()0 ,(),(4.6-3) 和 PAPAPAlzlkshlkNzN212222121)0()(12(4.6-4)

44、 第七十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 再由曼利-罗关系得到 )0()0(2121NNNN常数(4.6-4) 假定开始时, , 则信号光的光子通量为 0)0(2N)0(212121)()0()(1211221222NlklzlkshlkzNNzNPAPAPAPA(4.6-6) 第八十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4.6.2 参量振荡 图4.6-1示出了一种对信号光和空闲光双共振的参量振荡器的原理结构。 图中频率为3的激光作为参量振荡器的泵浦光, 总的增益将使1和2光波在含有非线性晶体的光学谐振腔内产生振荡。 第八十一页，共

45、112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.6-1 双共振参量振荡器示意图 激光介质非线性晶体泵浦激光器振荡器R1R21R3 0R1R21R3 0第八十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1. 参量放大基本方程的另一种形式因为hEnhSNEnEnS200020002020)(21)(21)(21因而(n|E0()|2/)与频率为的光子通量成正比。 令 2220)(4)(EnAEn第八十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 就有关系 AnE21)(4.6-10) 第八十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光

46、学效应二阶非线性光学效应 2. 参量振荡的自洽条件 分析参量振荡的基本模型如图4.6-2所示。 为简单起见, 假定非线性晶体本身作为一个光学谐振腔, 其两端对信号光和空闲光的反射率为R1,2=|r1,2|2, r为反射系数。 腔镜对泵浦光是透明的。 第八十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.6-2 推导参量振荡条件的模型 AaAbAcAdAe泵浦参考平面Aa第八十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 在腔中任一平面z处的信号光可以用下面的行“矢量” 描述: zikzikezAezAzA21)()()(21(4.6-21) 式

47、中, ki=ini/c, A上面的“”表示此矢量是人为假定的。 按(4.6-17)式、 (4.6-19)式和(4.6-21)式, 在非线性晶体内通过腔长l时的 (l)为A第八十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 )0()0()(2)()()()(2)()()()(21)2(0)2(0)2()2(21221121AAlshkilchelshielshielshkilcheelAelAlAlkkilkkilkkilkkiliklik(4.6-22) 如果 (z)在谐振腔内往返一周保持不变, 就表示信号光和空闲光处于稳定的振荡状态。 现在就来推导参量振荡器的振荡条件。

48、 A第八十八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 3. 参量振荡器的阈值条件 1) 双共振参量振荡器的阈值条件 所谓双共振参量振荡器, 就是对频率为1的信号光和频率为2的空闲光都有高Q值的振荡器。 将(4.6-31)式和(4.6-30)式代入(4.6-29)式后, 便得到双共振情况下的参量振荡条件为 1)()()( 1)(1)(2102102210201RRlchRRlshRRlchRlchR即 (4.6-32) 第八十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 再利用泵浦强度表示式 )1)(1 ()(210RRlth(4.6-33) 230

49、23003)(21EnS(4.6-34) 及0的定义(4.6-12)式, 可以得到双共振参量振荡器的阈值泵浦强度为)1)(1 ()(2)(212)2(022132123003RRlnnnSeffth(4.6-35) 第九十页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2) 单共振参量振荡器的阈值条件 所谓单共振参量振荡器， 是指只有一个频率的光波（如频率为1的信号光）在腔镜处被反射返回形成振荡, 而空闲光2只能在一个方向上传播的振荡器, 它的典型原理装置如图4.6-3所示。 这是一种非共线相位匹配的情况, 三个波的方向各不相同, 可以将信号光与空闲光分开来。 这样的非共线相

50、位匹配条件要求213kkk(4.6-39) 第九十一页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.6-3 单共振参量振荡器结构示意 M1(R1)M2(R2)k1k3k2非线性晶体棱镜棱镜泵浦第九十二页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 根据参量振荡器的振荡条件(4.6-29)式, 令r2=0, 就有 1)(12021lkielchr(4.6-40) 这就是单共振参量振荡器的阈值条件。 考虑到(4.6-30)式, 我们又可以把(4.6 - 40)式分解为相位条件mlk2211(4.6-41) 和振幅条件 1)(01lchR(4.6-42)

51、第九十三页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 由此可见, 单共振参量振荡器振荡的相位条件(4.6-41)式与双共振参量振荡的相位条件(4.6-31)式是相同的, 只是对空闲光的相位2没有限制。 对于R11的情况, 阈值条件(4.6-42)式又可写成)1 (2)(10Rlth(4.6-43) 可见, 单共振参量振荡器的阈值泵浦相对于双共振参量振荡器增大了, 且有 20012)()(Rllthth双单(4.6-44) 第九十四页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 4. 参量振荡器的频率调谐 光参量振荡器的最大特点是其输出频率可以在一定范围内连

52、续改变, 不同的非线性介质和不同的泵浦源, 可以得到不同的调谐范围。 当泵浦光频率3固定时, 参量振荡器的振荡频率应同时满足频率和相位匹配条件213213kkk(4.6-45) (4.6-46) 第九十五页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 若三波波矢共线, 则有 221133nnn(4.6-47) 将(4.6-45)式代入, 得 2211213)(nnn因而有 133221nnnn(4.6-48) 第九十六页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 1) 角度调谐 在共线相位匹配的情况下, 假定频率为3的泵浦光是非常光, 1和2光波是寻常光,

53、 又假定晶体光轴与谐振腔轴之间的夹角为某一角度0时, 在10和20处发生振荡, 其折射率分别为n1o和n2o, 则按(4.6-47)式应有 3n3e(0)=10n1o+20n2o (4.6-49) 第九十七页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 现转动晶体使晶体相对原来的方向转过角度, 就引起折射率n3e()变化。 为满足相位匹配条件(4.6-47)式, 1和2必须稍有改变, 这又导致折射率n1o和n2o的改变。 这样, 相对于0时的振荡, 新旧振荡之间有如下的改变: 33n3e(0)n3e(0)+n3n1on1o+n1n2on2o+n21010+12020+2第九十

54、八页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 并且, 根据能量守恒条件(4.6-45)式, 有 -2=1 因为现在要求新的一组频率满足(4.6-47)式, 故应有 3(n3e(0)+n3)=(20+2)(n2o+n2) +(10+1)(n1o+n1) 略去n的二阶小量, 并利用(4.6-45)式, 可得oonnnnn21220110331(4.6-50) 第九十九页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 图 4.6-4 信号光频率1随的变化曲线 450500600 70010001500波长 / nm024682.52.01.51.0光子能量 / eV0.60.40.200.2 0.4 0.6频率偏移量 转动角度/ 第一百页，共112页。第第4章章 二阶非线性光学效应二阶非线性光学效应 2) 温度调谐 在非临界相位匹配(m=90)的情况下, 可以通过改变温度来改变光的折射率, 从而使振荡频率发生变化。 在这种