直线方程的四种形式

1、. .2121yykxx1、直线的倾斜角、直线的倾斜角范围范围？18002、如何求、如何求直线的斜率？直线的斜率？tank(90 )12()xx3 3、在直角坐标系内、在直角坐标系内如何如何确定一条直线？确定一条直线？答答（1 1）已知已知两点两点可以确定一条直线。可以确定一条直线。 （2 2）已知直线上的已知直线上的一点一点和直线的和直线的倾斜角（斜率）倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。可以确定一条直线。.在直角坐标系中，给定一个点在直角坐标系中，给定一个点 和斜率和斜率 ，我们能否将直线上所有点的坐，我们能否将直线上所有点的坐标标P P（x, y)x, y)满足的关系表示出来？满足的关系表

2、示出来？000(,)P xykyxOP0Pl2121yykxx.1 1、过点、过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 上的上的每一点每一点的坐标都满足方程（的坐标都满足方程（1 1）。）。00,0()P x ykl反之，反之，坐标满足方程（坐标满足方程（1）的每一点是否都在过的每一点是否都在过点点 ，斜率为，斜率为 的直的直线线 上？上？00,0()P x ykl00()yyk xx（1 1）.)(00 xxkyy 直线方程的直线方程的点斜式点斜式点斜式适用范围：斜率点斜式适用范围：斜率k存在存在如果直线的如果直线的斜斜率不存在率不存在，直线的方程又该如何表示呢？，直线的方程又该如何表示呢？（1

3、）直线上）直线上任意一点任意一点的的坐标坐标是方程的是方程的解解（满足方程）（满足方程）（2）方程的）方程的任意任意一个一个解解是直线上点的坐标是直线上点的坐标.点斜式方程点斜式方程（小结）（小结）xyl00()yyk xxxylxylO000yyyy或000 xxxx或k存在存在，倾斜角倾斜角9090k存在存在，倾斜角倾斜角=0=0k不存在不存在，倾斜角倾斜角=90=90y0 x0.直线直线 经过点经过点 ，且倾斜，且倾斜角角 ，求直线，求直线 的点斜式方的点斜式方程程ll0( 2,3)P 045.课堂练习：教材第课堂练习：教材第95页页121.写出下列直线的点斜式方程：写出下列直线的点斜式

4、方程：（1）经过点）经过点A(3, 1)，斜率是，斜率是；2（2）经过点）经过点B( , 2)，倾斜角是，倾斜角是30；2 （3）经过点）经过点C(0, 3)，倾斜角是，倾斜角是0；（4）经过点）经过点D(4, 2)，倾斜角是，倾斜角是120.2.填空题：填空题：（1）已知直线的点斜式方程是）已知直线的点斜式方程是 y2=x1，那么此直线的那么此直线的斜率是斜率是_,倾斜角是倾斜角是_.（2）已知直线的点斜式方程是）已知直线的点斜式方程是 y2= (x1)，那么此直线那么此直线的斜率是的斜率是_,倾斜角是倾斜角是_.3)3(21xy)2(332 xy3 y)4(32 xy1 453 60.ly

5、OxP0(0, b)直线经过点直线经过点 ，且斜率为且斜率为 的点斜式方程的点斜式方程？bP, 00k(0)ybk xykxb斜率斜率在在 y轴的截距轴的截距【注意】【注意】适用范适用范围：围：斜率斜率K存在存在直线的直线的斜截式方程斜截式方程 . y=kx+b 直线方程的直线方程的斜截式斜截式 .思考思考1 1：斜截式与我们初中学习过的斜截式与我们初中学习过的什么函数什么函数的的表达式类似，你能说出两者之间的表达式类似，你能说出两者之间的联系与区别吗？联系与区别吗？OyxP(0,b)答：答：斜截式与斜截式与一次函数一次函数y=kx+b形式一样，但有区别。形式一样，但有区别。当当k0时，斜截式

6、方程就是一次函数的表现形式。时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。截距与距离不一样，截距可正、可零、可负截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离不能为负。而距离不能为负。思考思考2：截距截距与与距离距离一样一样吗？吗？.练习：练习：写出下列直线的斜率和在写出下列直线的斜率和在y y轴上的截距：轴上的截距：23) 3 (3) 2 (231yxxyxy）（3231 xy.例例2:直线直线l的倾斜角的倾斜角 60，且，且l 在在 y 轴上的截轴上的截距为距为3，求直线，求直线l的斜截式方程。的斜截式方程。.练习练习（P95第第3）:写出下列直线的斜截式方程。写出下列直线的斜截式方程。（1）

7、斜率是斜率是 ，在，在y轴上的截距是轴上的截距是-2；23（2） 斜率是斜率是-2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是4；2-23xy 答案：答案：42-xy答案：答案：.1212(2)1llkk 121212(1)/llkkbb,且例例3、已知直线、已知直线 试讨论：试讨论： （1） 的条件是什么？的条件是什么？ （2） 的条件是什么？的条件是什么？111222:,:lyk xblyk xb12/ll12ll.练习练习1、判断下列各对直线是否平行或垂直：、判断下列各对直线是否平行或垂直： 1211(1):3,:222lyxlyx1253(2):,:35lyx lyx 12/ll12ll.数学之

8、美：数学之美：巩固练习巩固练习：1.1.下列方程表示直线的下列方程表示直线的什么式？什么式？倾斜角各为多少度？倾斜角各为多少度？ 1) 1) 2) 2) 3) 3)32xy233xy3332xy 2.2.方程方程 表示表示( )( ) A) A)通过点通过点 的所有直线；的所有直线； B B）通过点）通过点 的所有直线；的所有直线； C C）通过点）通过点 且不垂直于且不垂直于x x轴的所有直线；轴的所有直线； D D）通过点）通过点 且去除且去除x x轴的所有直线轴的所有直线. .)3(2xky3, 2 2 , 32 , 32 , 3030045060C C.过点过点(2, 1)且平行于且平

9、行于x轴的直线方程为轴的直线方程为_过点过点(2, 1)且平行于且平行于y轴的直线方程为轴的直线方程为_过点过点(2, 1)且过原点的直线方程为且过原点的直线方程为_思维拓展思维拓展11y2xxy21.（4 4）一直线过点）一直线过点 ，其倾斜角等于，其倾斜角等于直线直线 的倾斜角的的倾斜角的2 2倍，求直线倍，求直线 的方程的方程. .lxy333 , 1A.拓展拓展2:过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7平行的直线平行的直线 方程为方程为_过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7垂直的直线垂直的直线 方程为方程为_12 xy2321xy.小结：直线方程名称已知条件直线方程使用范

10、围点斜式斜截式斜率k和直线在y轴上的截距bkxy点点),(111yxP和斜率k)(11xxkyy斜率必须存在斜率必须存在0 xx直直线线方方程程为为：斜率斜率不不存在时，存在时，.3.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程.xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxxP1(x1，y1)00()yyk xx代入得探究：探究：已知直线上两点已知直线上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1), P), P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )（x x1 1xx2 2, y, y1 1yy2 2 ），求通过这两点的直线方程？），求通过这两点的直线方程？11121

11、22121(,)yyxxxxyyyyxx两点式：【注意注意】当直线没斜率或斜率为当直线没斜率或斜率为0时时，不能用两点式来表示；不能用两点式来表示；.1.1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程斜截式方程. .(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)123 10 2yx 2 3yx 500550yx5yx 005 04 0yx 54yx课堂练习：课堂练习：方法小结方法小结已知已知两点坐标两点坐标，求直线方程的方法：，求直线方程的方法： 用用两点式两点式 先求出斜率先求出斜率k k，再

12、用点，再用点斜式斜式。.截距式方程截距式方程xylA(a，0)截距式方截距式方程程B(0，b)代入两点式方程得代入两点式方程得化简得化简得1xyab横横截距截距纵纵截距截距000yxaba【适用范围适用范围】截距式适用于横、纵截距都截距式适用于横、纵截距都存在存在且都且都不为不为0 0的直线的直线. .横横截距截距与与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标纵纵截距截距与与y轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标.2.2.根据下列条件求直线方程根据下列条件求直线方程（1）在）在x轴上的截距为轴上的截距为2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3；（2）在）在x轴上的截距为轴上的截距为-5，在，在y轴上的截距是轴上的截

13、距是6；由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：123xy326 0 xy 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：156xy6530 0 xy.求过求过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? ?解解: :y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)即：a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa设设 直线的方程为直线的方程为:2)当两截距都等于当两截距都等于0时时1)当两截距都不为当两截距都不为0时时.解：三条解：三条 变：变： 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的并且在两个坐标轴上的截距的 绝对值

14、相等的直线有几条绝对值相等的直线有几条? ? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直线方程为：直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab设设对截距概念的深刻理解对截距概念的深刻理解 【变变】：过过(1,2)(1,2)并且在并且在y y轴上的截距是轴上的截距是x x轴上轴上的截距的的截距的2 2倍的直线是（倍的直线是（ ）A、 x+y-3=0 B、x+y-3=0或或y=2xC、 2x+y-4=0 D、2x+y-4=0或或y=2x.名名 称称 条条 件件 方程方程 适用范围适用范围 bkxy)(00 xxkyy1byax小结小结点点P(x0,y0)和斜率和斜率k点斜式

15、点斜式斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式斜率斜率k, y轴上的纵截距轴上的纵截距b在在x轴上的截距轴上的截距a在在y轴上的截距轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)有斜率有斜率有斜率有斜率不垂直于不垂直于x、y轴的直线轴的直线不垂直于不垂直于x、y轴，且不过原轴，且不过原点的直线点的直线121121xxxxyyyy .斜截式斜截式截距式截距式点斜式点斜式应用范围应用范围直线方程直线方程已知条件已知条件方程名称方程名称两点式两点式P11点 （x ,y ）斜 率 k斜率kb截距存在斜率存在斜率k存在斜率存在斜率kykxb11()yyk xx112121yyxxyyxx1xyab222

16、( ,)P x y111P(x ,y ),1212(,)xxyy(0)a a 横截距(0)b b 纵截距不包括垂直于坐标不包括垂直于坐标轴的直线轴的直线不包括垂直于不包括垂直于x,y坐标坐标轴和过原点的直线轴和过原点的直线【注注】所求直线方程结果最终化简为一般式的形式所求直线方程结果最终化简为一般式的形式Ax+By+C=0Ax+By+C=0.中点坐标公式中点坐标公式xyA(x1，y1)B(x2，y2)中点中点121222xxxyyy.例例2 2、三角形的顶点是、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求求BCBC边所在直线的方程边

17、所在直线的方程? ?x xy yO OC CB BA A.M M变式变式1:BC1:BC边上垂直平分线所在直线的方程边上垂直平分线所在直线的方程? ?变式变式2:BC2:BC边上高所在直线的方程边上高所在直线的方程? ?3x-5y+15=03x-5y-7=0.练习练习：1:12(3,4)l yxPl已知直线，求点关于直线 的对称点.数形结合与对称的灵活应用数形结合与对称的灵活应用已知直线已知直线l:x-2y+8=0和两点和两点A(2,0)、B(-2,-4)（1）求点）求点A关于直线关于直线l的对称点的对称点（2）在直线）在直线l是求一点是求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小（3）在直线）

18、在直线l是求一点是求一点Q，使，使| |QA|-|QB| |最大最大A(2,0)A1(x,y)GB(-2,-4)PA(2,0)QB(-2,-4)(-2,8)(-2,3)(12,10).数形结合与对称的灵活应用数形结合与对称的灵活应用已知一条光线从点已知一条光线从点A(2，-1)发出、经发出、经x轴反射后，轴反射后，通过点通过点B(-2,-4)，与，与x轴交与点轴交与点P，试求点，试求点P坐标坐标A(2,-1)(x,0)B(-2,-4)P变：变：已知两点已知两点A(2，-1)、B(-2,-4)试在试在x轴上求一点轴上求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小变：变：试在试在x轴上求一点轴上求一点

19、P，使，使|PB|-|PA|最大最大.2.2.根据下列条件求直线方程根据下列条件求直线方程（1）在）在x轴上的截距为轴上的截距为2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3；（2）在）在x轴上的截距为轴上的截距为-5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是6；由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：123xy326 0 xy 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：156xy6530 0 xy.1xyab.) )表表示示; ;y y) )( (y yx x( (x x) )x x) )( (x xy y都都可可以以用用方方程程( (y y ) )的的点点的的直直线线y y, ,( (x xP P) )

20、, ,y y, ,( (x xP PD D. .经经过过任任意意两两个个不不同同b b表表示示. .k kx x可可以以用用y yC C. .经经过过定定点点的的直直线线都都1 1表表示示; ;b by ya ax x都都可可以以用用方方程程B B. .不不经经过过原原点点的的直直线线) )表表示示; ;x xk k( (x xy y方方程程y y ) )的的直直线线都都可可以以用用y y, ,( (x xA A. .经经过过定定点点P P) ) 题题是是( (下下列列四四个个命命题题中中的的真真命命1 12 21 11 12 21 12 22 22 21 11 11 10 00 00 00

21、00 0.1.x2yxyxyxyA1B1C:2D1234-3-6553下列方程中是截距式的是： ， ， ， ： 2.23)20 x3a66A.6 B.-6 C.- D.55aya2若直线(a+2)x+(a在 轴上的截距为则 的值为11222112212121122112112112123.xyxyy-yA. B.y.()()()()0 D.()()()()0yyxxxxyyxxyxxCxxxxyyyyyyxxxxyy过 点 （，） 和 点 （，） 的 直 线 方 程 是.求过求过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线并且在两个坐标轴上的截距相等的直线? ?解解: :那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：