单个正态总体的假设检验

1、精选优质文档-倾情为你奉上学号： 学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2011级 姓 名 姚瑞娟 论文题目 单个正态总体的检验假设 指导教师 韩英波 职称 副教授 成 绩 2014年3月10日专心-专注-专业目 录单个正态总体的假设检验学生姓名：姚瑞娟 学号：数学与信息科学学院 信息与计算科学专业指导老师：韩英波 职称：副教授摘 要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确.此外,从已知和未知详细的讲述了单个正态总体的检验,还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例.关键词：正态分布；假设检验；均值；方差；拒绝域；接受域；

2、原假设；Hypothesis test of one normal populationAbstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal p

3、opulation variance test and the related application. Keywords： normal distribution；price value；hypothesis test；variance； rejected region； receptive regions；the original hypothesis前言 假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的,之后由费希尔进行了细化,并最终由奈曼和E.Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国

4、的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了”高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他.也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法,在高斯的一切科 这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来.一个随机变量,如果是由微小的独立的随机因素的叠加结果,那么这个变量一般都可以认为服从正态分布,因此很多随机变量都可以用正态分布描述或近似描述,

5、譬如,测量误差,厂品质量,人的身高,年龄雨量等都可以正态分布描述.1 假设检验的基本步骤1.1 建立假设设有来自某一个参数分布族的样本,其中为参数空间设,则命题称为一个假设或原假设或零假设,若有另一个,则命题称为的对立假设或备择假设，于是,我们感兴趣的一对假设就是 vs (1)其中”vs”是versus的缩写,是”对”的意思.对于假设(1),如果只含有一个点,则我们称之为简单原假设,否则就称为复杂或复合原假设.同样对于各种备择假设也有简单与复杂之别,当为简单假设时,其形式可写成,此时的备择假设通常有三种可能: , 在假设检验中通常不轻易否定的假设为原假设.1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒

6、绝域形式对于(1)的假设检验就是描述这样一个法则:当有了具体的样本后,按该法则就可以判断是接受还是拒绝,即检验等价于把样本空间划分为两个互不相交的部分和,当样本属于时,拒绝:否则接受.于是,我们称为该检验的拒绝域,而为接受域.由样本对原假设进行检验总是通过一个统计量完成的,该统计量为检验统计量.比如,样本均值是一个很好地检验统计量,因为要检验的假设是正态总体均值,在方差已知场合,样本均值是总体均值的充分统计量.样本均值愈大,意味着总体均值也大, .样本均值愈小,意味着总体均值也小,所以拒绝域形如.是合理的，其中临界值待定. 当拒绝域确定了,检验的判断准则跟着也就确定了:如果,则拒绝:如果,则接

7、受。2 单个正态总体均值的检验设施来自的样本,考虑如下三种关于的检验问题 vs , vs , vs .其中是已知常熟,由于正态总体含两个参数,总体方差已知与否对检验有影响,通常分为已知和未知两种情况讨论.已知时的的检验,对于单侧检验问题,由于的点估计是,且,故选用检验统计量.是恰当的.直觉告诉我哦们,当样本均值不超过设定均值时,应倾向于接受原假设:当样本均值超过时,应倾向于拒绝原假设.可是,在随机性存在的场合,如果比大一点就拒绝原假设似乎不当,应当比大到一定程度时拒绝原假设才是恰当的,这就存在一个临界值,拒绝域为.常减记为,若要求检验的显著性水平为,则满足.由于时,故,最后的拒绝域为.该检验用

8、的统计量是统计量,故一般称为检验,该检验的势函数是的函数,它可用正态分步写出,具体如下,对. .由此可见,势函数是的增函数,由增函数性质可知,当就可保证在时有所以上述求出的检验是显著性水平为的检验.2.1 已知时的检验例1从甲地发送一个信号到乙地,设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布的随机变量,其中为甲地发送的实值信号,现甲地重复发送同一信号5次,乙地接收到的信号值为 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25设接受方有理由猜测甲地发送的信号值为8,问能否接受这种猜测.解 这是一个假设检验的问题,总体,待检验的原假设与备择假设分别为 vs .这是一个双侧检验问题,检验的拒绝域为.取显著性水

9、平,则查表知,现该例中观测值可计算得出.值未落入拒绝域内,故不能拒绝原假设,即接受原假设,可认为猜测成立. 我们也可以采用值完成此检验,此处,.由于值大于事先给定的水平0.05,故不能拒绝原假设,结论是相同的.进一步我们从值还可以看到,只要事先给定的显著性水平不高于0.0935,则都不能拒绝原假设:而若事先给定的显著性水平高于0.093,如事先给定的显著性水平为0.10,则检验就会做出拒绝原假设的结论. 说明,在实际中也经常会遇到如下两个检验问题: vs , vs .它仍可用检验统计量施行检验,检验问题的拒绝域与检验问题的拒绝域相同.即.这是因为检验问题与的备择假设相同,而的原假设是的原假设的

10、子集,由于此时检验的势函数是的单调增函数,因此,检验问题的显著性水平的检验与检验问题的显著性水平的检验是相同的,从而拒绝域也相同.它们的检验的也相同,类似的,检验问题与检验问题的拒绝域以及值也是相同的,这个现象在以后的其它检验中也会出现,结论是相似的.例2 根据长期经验和资料的分析,某砖厂生产的砖的”抗断强度”服从正态分布,方差.从该厂产品中随机抽取6块,测得抗断强度如下(单位:kg·cm-2).32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03检验这批砖的平均抗断强度32.50kg·cm-2是否成立(取,并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化)?解 提

11、出假设.再选取统计量,若为真,则.对给定的显著性水平,求使,这里计算统计量的观察值.判断,由于,所以在显著性水平下否定,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kg·cm-2.2.2 未知时的检验 对于问题,由于未知, 给出的含未知参数而无法计算,需要对它修改,一个自然地想法就是将其中未知的替换成样本标准差,这就形成检验统计量.由定理5.4.1可知,在时,从而检验问题的拒绝域为.检验的值是类似的,对给定的样本观测值,可以计算出相应的检验统计量的值,记为,这里的,是由样本观测值得到的,记是服从自由度为的分布的随机变量,则.例3 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布,其均值设定为2

12、40cm,现从该厂抽取5件样品,测得其长度为(单位:cm)239.7 239.6 239 240 239.2,判断该厂此类铝材的长度是否满足规定要求.解 这是一个关于正态均值的观测假设检验问题,原假设,备择假设是是,由于未知,故采用检验,其拒绝域为,若取,则查表.现由样本计算得到,故.,故拒绝原假设,认为该厂生产的铝材长度不满足设定要求.下面用值再做一次检验,此外,记是服从自由度为4的分布的随机变量, ,利用计算机软件可计算出具体值为0.0491,由于小于事先给定的显著性水平0.05,故拒绝原假设结论是相同的.例4用某仪器间接测量温度,重复5次,所得的数据是1250°,1265

13、76;,1245°,1260°,1275°,而用别的精确办法测得温度为1277°(可看作温度的真值),试问此仪器间接测量有无系统偏差?这里假设测量值服从分布.解 问题是要检验 .由于未知（即仪器的精度不知道）我们选取统计量.当真时,的观察值为.对于给定的检验水平,由, vs ,.查分布表得双侧分位点 .因为,故应拒绝认为该仪器间接测量有系统偏差3 单个正态总体方差的检验 设,是来自的样本,对方差亦可考虑如下的检验问题: vs . vs . vs .其中是已知常数,此处通常假定未知,她们采用的检验统计量是相同的,均为,在时, ,于是若取显著性水平为,则对应三个检验问题的显著性水平为的检验的拒绝域依次为,.例 5 某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机抽取26只电池,测得其寿命的样本方差.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化(取)解 本题要求在下检验假设.,.拒绝域为,或.由观察值得,所以拒绝认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.参考文献1格涅坚科.概率论教程.丁寿田M .译.北京:高等出版