南昌大学线性代数答案第四节最新版

1、精选优质文档-倾情为你奉上练习四 向量组的最大无关组和向量组的秩一、选择题1、设线性相关，线性无关，则（ C ）（A）线性相关（B）线性无关（C）可用线性表示（D）可用线性表示 线性无关线性无关 又线性相关，因此可用线性表示2、设a1,a2,×××,as均为n维向量，下列结论不正确的是（ B ）（A）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,×××,ks，都有k1a1+k2a2+×××+ksas¹0，则a1,a2,×××,as线性无关 （B） 若a1,a2,×

2、××,as线性相关，则对于任意一组不全为零的k1,k2,×××,ks，都有k1a1+k2a2+×××+ksas=0 存在（C） a1,a2,×××,as线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s （D） a1,a2,×××,as（s2）线性相关的充分必要条件是a1,a2,×××,as中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示 3、设a1,a2线性无关，则b1=a1+a2，b2=a1-a2，则b1和b2满足（ B ）（A）线性相

3、关 （B）线性无关（C）对应分量成比例 （D）a1=b1+b2，a2=b1-b24、向量组a1,a2,×××,as的秩不为零的充分必要条件是（ D ）（A）向量组a1,a2,×××,as全是非零向量 充分条件（B）向量组a1,a2,×××,as线性相关 秩<s也可能=0（C）向量组a1,a2,×××,as线性无关 秩=s，充分条件（D）向量组a1,a2,×××,as中有一个线性无关的部分组 5、设向量组a1,a2,××&

4、#215;,as的秩为r（其中r<s），则有（ C ）（A） a1,a2,×××,as中任何包含r个向量的部分组一定线性无关 ×（B） a1,a2,×××,as中任何包含r个向量的部分组一定线性相关 ×（C） a1,a2,×××,as中任何包含r+1个向量的部分组一定线性相关 （D） a1,a2,×××,as中任何包含r+1个向量的部分组一定线性无关 ×二、求下列向量组的秩及所有最大线性无关组，并把a4用a1和a2线性表示.a1=(4,2,

5、6,-2)，a2=(3,-1,2,0)，a3=(6,3,9,-3)，a4=(4,-3,1,1).解：a1与a2线性无关a1与a3线性相关Þa1,a2,a3线性相关a3可由a1,a2线性表示若a4可由a1,a2线性表示，令a4=k1a1+k2a2则ÞÞa4可由a1,a2线性表示a1,a2为向量组的一个最大无关组，秩为2，且有除了之外，其他任意两个向量都是向量组的最大无关组三、已知向量组 与向量组具有相同的秩，且b3可由a1,a2,a3线性表示，求a，b的值.解：=0Þa1,a2,a3线性相关a1与a2线性无关a3可由a1,a2线性表示a1,a2为向量组a1

6、,a2,a3的一个最大无关组b1,b2,b3的秩为2b1,b2,b3线性相关=0Þa-3b=0b3可由a1,a2,a3线性表示，则b3可由a1,a2线性表示=0Þ2b-10=0Þb=5a=15，b=5四、证明：若向量组：a1,a2,×××,am与向量组：b1,b2,×××,bs有相同的秩，且向量组可由向量组线性表示，则向量组与向量组等价。证：设秩均为r，构造向量组：a1,a2,×××,am,b1,b2,×××,bs可由线性表示，与其最大无关组b1

7、,b2,×××,br等价可由b1,b2,×××,br线性表示b1,b2,×××,br是的一个最大无关组的秩为r中任何r个线性无关的向量都是的一个最大无关组（令g1,g2,×××,gr线性无关，则g1,g2,×××,gr,g 线性相关。否则，若g1,g2,×××,gr,g线性无关，则向量组的秩>r，与秩为r矛盾。则g可由g1,g2,×××,gr线性表示。g1,g2,×××,gr为一最大无关组）的最大无关组a1,a2