用导数研究函数的单调性教案

1、用导数研究函数单调性【课题】导数的应用一用导数研究函数的单调性【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.【教学重点】利用导数判断函数单调性【教学难点】如何用导数研究函数的单调性【课型】新授课【教具】多媒体【引例】1、确定函数y=x2-4x+3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：y=x24x+3=（x2）21,在（叱2）上是减函数，在（2,+®）上是增函数。问：1、为什么y=x24x+3在（8,2）上是减函数，在（2,+资）上是增函数？2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的

2、）都是反映函数随自（2） 利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）变量的变化情况。2、确定函数f（x）=2x36x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2） （多媒体放映）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f（x）=2x36x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数y=x2-4x+3的单调区间也不容易。【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，

3、下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f（x）=2x36x2+7的图象吗？1、研究二次函数y=x24x+3的图象；（1） 学生自己画图研究探索。（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：该函数在区间（-°°,2）上单调递减，切线斜率小于0,即其导数为负；在

4、区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0,即其导数为正;注：切线斜率等于0,即其导数为0;如何理解？就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证)(1) 观察三次函数y=x3的图象；(几何画板演示)(2) 观察某个函数的图象。(几何画板演示)指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性(幻灯放映课题)。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。(幻灯放映)一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，则函数在该区间内如

5、果在这个区间内f'(x)>0,则y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f'(x)<0,则y=f(x)为这个区间内的减函数。'若在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】3例1、求证：y=x+1在(-°0,0)上

6、是增函数。由学生叙述过程老师板书：；y'=(x3+1)=2x2,xw(-«,0)，二x2>0,即yA0，二函数y=x3+1在(-°0,0)上是增函数。注：我们知道y=x3+1在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数由学生叙述过程老师板书：解：f'x)=(2x36x2+7)，=6-12x,令6x212x>0,解得x>2或xv0当xC(8,0)时,fx)>0,f(x)是增函数;Hx(2,+8)时,f

7、/x)>0,f(x)是增函数.令6x2-12x<0,解得0vxv2.，当xC(0,2)时,f'x)v0,f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求函数f(x)的导数f'x).(3) 令f'x0>0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f'x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1 .确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x(2)y=3xx3(1)解：y'=39x2+24x)'=3-18x+24=3(x2)(x4)令3(x-2)(x-4)>0,解得

8、x>4或xv2.，y=x39x2+24x的单调增区间是(4,+oo和(oo,2)令3(x-2)(x-4)<0,解得2vx<4.，y=x39x2+24x的单调减区间是(2,4)(2)解：y'=xx3)'A3x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)>0,解得1<x<1.y=3x-x3的单调增区间是(一1,1).令3(x+1)(x1)<0,解得x>1或xv1.1. y=3xx3的单调减区间是(一00,-1)和(1,+oo)图象如图所示，则y =f(x)的图象最有可能是()小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从

9、哪里发生联系?2、设y=f(x)是函数y=f(x)的导数，y=f'(x)的【课堂小结】1 .函数导数与单调性的关系：若函数y=f(x)在某个区间内可导如果f(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.2 .本节课中，用导数去研究函数的单调性是中心，能灵活应用导数解题是目的，另外应注意数形结合在解题中的应用.3 .掌握研究数学问题的一般方法：从特殊到一般，从简单到复杂.【思考题】对于函数f(x)=2x36x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、2x3+7=6x在区间(0,2)内有几个解？【课堂作业】课本P42习题2.41,2【课后记】本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；2、从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；3、从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变