2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市三中高一下学期第一模块数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨市三中高一下学期第一模块数学试题、单选题1 1 .已知向量a 3,1，则| a |()A A .1B B.C C.、3D D.2【答案】D D【解析】由向量的模长公式求模长即可 【详解】rJ-2-因为a 3,1，所以洁| 、3122 故选 D.D.【点睛】本题考查向量的模长 向量舌(x, y)的模长| a |x2y2. .2 2.ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,ca,b,c，若b2c2a2由余弦定理可得cos Ab艺一a3bc3,2bc2bc 2又A 0,冗，所以A. .故选 A.A.6【点睛】对于余弦定理，一定要记清

2、公式的形式 3 3.在等差数列an中，若a3a712，则()A A .4B B.6C C.8【答案】B B【解析】由等差数列的性质可得aaa?2a5，则答案易求本题考查余弦定理cosA2bc,cosBa2c22acb2,cosCa2b2c22abA. 6 6B B.5 nnC.63【答案】A A【解析】由余弦定理可求出cosA，再求A. .【详解】2nD D .3、.3bc，则AD D .10第2 2页共 1818 页【详解】 在等差数列an中，因为3 7=5 2，所以a3a72a5. .1所以比一126 故选 B.B.2【点睛】 本题考查等差数列性质的应用 在等差数列an中，若p q s t

3、，则apaqasat. .特别地，若p q 2s，则apaq2a$. .r rr r _rr4.4.已知ei,e2是单位向量，若ei4e2， 则ei与e2的夹角为（）A A. 3030B B. 6060C C. 9090D D. 120120【答案】B Br rr r【解析】由coe1,e$ 带，结合向量的数量积运算即可得解. .r24e213,2 J1,ei e21,r rei e21r- .e1e22所以嵩需；60.故选：B.B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题. .5.5.ABC的内角代B,C的对边分别为 a,b,ca,b,c，若acosA bcosB

4、0，则ABC的形状一定是（）A A 直角三角形B B.等边三角形C C 钝角三角形D D 等腰三角形或直角三角形【答案】D D【解析】由已知等式结合正弦定理，可得sin2A sin2B,再结合三角形中角的范围分析角代B的关系，进而判断三角形的形状. .【详解】rr.r解：因为e14e2辰，所以e1“ r2rrr2则e18e1e216e213r rrr由巳，砂是单位向量，可得e1e2所以巳e21.所以cosg2e1e2第3 3页共 1818 页【详解】由acosA bcosB 0结合正弦定理，可得sin AcosA sin BcosB 0,贝U sin2A sin2B. .n所以2A 2B或2A

5、 2Bn所以A B或A B. .2所以ABC是等腰三角形或直角三角形 故选 D.D.【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状 若已知等式中各项都含有边（或角的正弦），可以直接利用正弦定理实现边角的转化 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解3aiQo*20a96 已知等比数列an的各项均为正数，且一一,3, Q2成等差数列，则 一 （）24厲8*17A A 9B B6C C 3D D 1【答案】A Aa20a1922【解析】易得a18q口q2，于是根据

6、已知条件求等比数列的公比即a18a17a18a17可 【详解】设公比为q 由3a1a3,a2成等差数列，可得3a1a2a3,2422所以3a-ag2aiq则q22q 30，解q1（舍去）或q 3. .2222a)ai8qag2所以q 9. .故选 A.A.*18ai8【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题 在等比数列和等差数列中， 首项和公比（公差）是最基本的两个量，一般需要设出并求解. .7 7在等比数列an中，Sn为数列an的前n项和，S?3,S49，则& （）A A 12B B.18C C 21D D 27第4 4页共 1818 页【答案】C C【解析】S2,S4S2,S6

7、S4也成等比数列，则S6易求. .第5 5页共 1818 页【详解】 在等比数列中，可得S2,S4S2,S6S4也成等比数列，2 2所以S4S2S2SJ，贝y9 33 9，解得S621. .故选 C.C.【点睛】的前n项和是Sn，则Sm,S2mSm, S3mS2m,L( (Sm0) )也成等比数列8 8在数列an中，已知 a a-4 4,a25，且满足a.2ana.-(n 3)，则82019()5B.4【答案】B B【解析】由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求a20i9. .【详解】由an 2anan1(n3)，可得anan1(n3). .an 2a25a31又印 4 4

8、 ,a25所以a3,a4a14a24同理可得a51,a64,a74,a85. .55于是可得数列an是周期数列且周期是6. .5因为2019 6 336 3，所以a20-9a3 故选 B.B.4【点睛】本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列 由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列9 9 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为赵爽弦图”.赵爽弦图”是数形结合思想的体现， 是中国古代数学的图腾， 还被用作第 2424 届国际数学家大会的会徽.如图，大

9、正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，uuu r uuur ruuu若AB a, AD b,E为BF的中点，贝UAE()本题考查等比数列前n项和的性质，也可以由a-i, q进行基本量计算来求解. .若等比数第6 6页共 1818 页4r2,r2r4r4r2r2r4rA A.abB B. abC C.abD D. ab55553333【答案】A Auuuuuu uuur【解析】 把向量AE分解到AB, AD方向，求出分解向量的长度即可得答案 【详解】设BE m，则AE BF 2BE 2m，在RtAABE中，可得AB 5m. .AB于点H, ,则EH2T空m,EH/AD,5

10、m 5【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量 平面内的任意一个向量都可以用一对基向量（不共线的两个向量）来线性表示 1010.在等差数列an中，首项印0,公差d 0,前n项和为Sn（n N*）.有下列命 题：若S3S15，则SI80；若S3S15，则S9是Sn中的最大项；若S3S15,过点E作EHAH22i524 5J 2mmmV552r-b. .故选 A.A.5D第7 7页共 1818 页则a9a100；右S9S10，则S10S|1.其中正确命题的个数是（）第8 8页共 1818 页故选 D.D.若d 0,由a10可得Sn单调递增，不合题意，故等差数列的前n项和是关于n的二

11、次函数,【答【解方法二:【详方法一:S18Sna9B B.2方法一：由前n项和公式Sna1d代入各命题判断是否正确12由等差数列前n项和的性质判断各命题是否正确S3S15，则3a18 17 , d29 2a17dai17a10a18da19d2ai17d右S9S10，则 $0$0a10所以S|1S10a11a1015 1415Qd，可得2a117d0,20，正确;819a1，则S9是Sn中的最大项，正确;170，正确. .0，故d 0，0，即S10S11，正确. .方法二：若S3S5，则a5a9a10La14a150,而a4*15a5a14a9a10,则a?a100，正确;Sla1a1829

12、89O|0正确;由对称性可得当n3 1529时，Sn取得最大值,正确 右S9S10，则 $0$0S9600，又40，故d所以S|1S10a11a10d0,即S10Sn,正确. .第9 9页共 1818 页故选 D.D.【点本题考查等差数列前n项和的有关问题. .有关等差数列、等比数列的问题一般都能够使用两种方法求解，一是用首项和公差 （公比）进行基本量运算，二是利用有关性质进行解题21111.已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c a a b,第1010页共 1818 页A.y,1【答案】C C2Acos A进行化简，最后由A角取值范围可求范围.cos C A【详解】2 ,

13、2 2a b c亠2.，因为c a a b,2ab即sin(C A) si nA. .又因为A,C（o, /，所以【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及两角和与差公式.1212 .已知数列an与bn前n项和分别为Sn,Tn,且B B.【答案】【解析】先由Sn与an的关系式求an的通项公式，于是可得bn的通项公式，再由裂 项相消法求出Tn，于是答案易得因为0 Ccos2Acos C AcosA则曲人cos C A的取值范围是（）【解析】 先由余弦定理得到2acosC ba，再由正弦定理得到C 2A，从而对由余弦定理得cos2贝V cos b22aba2abb ab，即2a cosC b a

14、;2ab由正弦定理得2sin AcosCsinB sin A，所以2sin AcosC sin(AC)sin A，即sin CcosA sin AcosCsin A，即C 2A. .2an0,2Snanan,nN, ,bn2n1(2nan)(2n7，对任意的n1an 1）N , k Tn恒成立，则k的最小值是（第1111页共 1818 页【详解】2当n 2时，2Sn 1an 1an由anan 10，可得anan所以an是首项为1，公差为1的等差数列，即ann. .所以12* 1与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强二、填空题1313 .已知向量a ( 2, 1),b (1,3),c (3,2

15、)，若(a b)/c，贝V _【答案】1【解析】利用向量的坐标运算表示出a，再根据向量共线定理得到方程，解得. .【详解】因为an0,2Snan, nN所以当n 1时，2印2S|a；印，解得印1;所以2an=2Sn2Sn 1a22an 1an 12 2疋anan 1anan 10. .所以bn2n1n 2n1(2nan)(2an 1)(2nn 1)12n2nTnb2Lbn121112221222123312n 1n 1因为对任意的n N*,k Tn1 _3 2n 11所以k丄,3【点睛】即k的最小值是1 故选 C.C.3本题考查数列的综合问题，考查an与Sn的关系、等差数列的判定、裂项相消法求

16、和、第1212页共 1818 页解：由a ( 2, 1),b (1,3)，可得a b ( 2,1 3 ).又c (3,2),(：b)C，所以3(1 3 ) 2( 2)，解得1.第1313页共 1818 页故答案为：1【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及平面向量共线定理的应用，属于基础题1414 .已知等比数列an满足q 2,a4a62a1，则比 _1【答案】-2【解析】由等比数列的下标性质先求a5再求a9. .【详解】,2a5又a1a9a5，所以a?-【点睛】特别地，若p q 2s，则apaqa：. .n n 2 2），则数列一1一的前15项和为_anan 1【答案】31【解析】先由an-.,

17、S| ,ST7取倒数判断f.s!是等差数列，进而求得数列【详解】所以丄an所以.S1 Sn 1=1. .因为anSn勺Si 1(n由等比数列的性质可得a4a62 2a5，于是a52a51，解得a51. .本题考查等比数列的基本性质. .在等比数列an中，若p q s t，则apaqasat. .1515已知数列an中,a a11,a1,an0 0，前n项和为Sn若an詁SnSi1(nan的通项公式, 再由裂项相消法求数列1的前15项和.anan 1an第1414页共 1818 页所以.Sn是首项为1，公差为1的等差数列，贝V. Snn. .所以4.ST nn1 2n 1(nN*,n n 2).

18、2).又a11也满足， 所以an2n1(n N*). .111 11所以anan 12n 1 2n12 2n 12n 11所以数列-的前15项和为anan11 1 ,111 1 1 11,1111115LL1 -a?a2a3a15a162132 352 293123131【点睛】本题考查数列的综合问题，考查an与Sn的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强 已知an与Sn的关系式，有两种思路：一是由SnSn 1an消掉S得到关于通项的关系式；二是把an代换成SnSn 1得到关于求和的关系式1616 .已知A, B是单位圆0上的两点， AOBAOB 120120，点C是平面内异于 代B

19、的动点,MN是圆0的直径若AC BC 0，则CN的取值范围是_ .【答案】3,0 U 0,辽2 2【解析】由MN是单位圆o的直径，可得 CMCM1 1CJ=0CCJ=0C21 1,于是需求oc的取值范围uuur umr由AC BC0可得点C在以AB为直径的圆上，于是可求出定点O到圆上的动点的距离OC的取值范围 【详解】因为MN是单位圆O的直径，所以uuuuuuuu uuuuuu luuuluuuuuruur LUITLUITUUUUUUUUUUUUUU UUTUUTUJUUUJUU UULTUULTUUUUUU2UUUUUUUU2LUITLUIT2CMCM gCNgCNOMOMOCOCg g

20、ONONOCOCOMOM OCOC g gOMOMOCOCOCOCOMOMOCOC1 1 . .在VAOB中，OA=OB 1, AOBAOB 120120 ,第1515页共 1818 页所以/OAB/OBA 30,ABUJIT UUT因为AC BC 0，所以点C在以AB为直径的圆上，第1616页共 1818 页其圆心为AB的中点H，半径为3.3.21易得OH ,又点C异于A,B,2所以-111 OC31且0C 1. .2 2 2 2【点睛】本题考查平面向量数量积的综合问题， 考查数量积的取值范围、 圆、 动点等问题 几何意义求取值范围是一种常见的方法. .三、解答题1717 在等差数列an中，

21、已知a57,S624(1) 求an；(2) 若bn(1)nan，求数列bn的前10项和Tg【答案】(1 1)an2n 3； (2 2)T010. .【解析】(1)(1)设出公差，由a57,S624列方程解出a1,d即可. .bn( 1)nan表示bn的项负正相间，可把相邻两项结合起来再求和【详解】所以22112uur20C 11且0C即-I-I2 2r r uuiruuir CMCMCNCN乜且 CMUCUlCMUCUl2 2所以 CMCM3CNJCNJ 的取值范围是. .通0 03第1717页共 1818 页设等差数列2n的公差为d,Os ai4d 7,ai1,由题意得解得1S66ai 15

22、d24, d 2,所以an1 2 n 1 2n 3. .因为bn( 1)nan,所以T10 bib2b3b4L dbioa a?a3a4L a?ad d L d5d 5 2 10. .【点睛】本题考查等差数列的基本问题，数列的求和. .对于通项中含有可把相邻两项结合起来再求和. .1818 已知A, ,B, ,C是厶ABC的三个内角，向量irrm (cos B, sinB 2sin C), n (2cos C cosB,sin B)，且(1) 求A;(2) 若BC .,3，求AB AC的取值范围.【答案】(1 1)An； ( 2 2)( ,3,2.3. .3【解析】(1)由m n，得mgn=0

23、，逐步化简可得cos B C(2)(2)由正弦定理、三角形内角和把AB AC表示为一个角的函数,【详解】(1)(1)由mn，得ir rmgi=0，贝ycosB2cosCcosBsin B2si nCsin B0,则2 cosBcosC2sin BsinCcos Bsin2B0,即2cos B C10,故cos BC -12. .又B C0,n，所以BC-2n. .3所以A冗/ n1， 即正负相间的数列,_ 1=-，可得答案再求其取值范围第1818页共 1818 页=2*3si nC cosC2=2、.3sin【点睛】 本题考查三角形中的综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角

24、函数的性质等 三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，解题时也经常综合在 一起应用 1919 .在ABC中，B 45, AC .10，且 cosCcosC. .5 5（1 1）求BC边长;（2）求AB边上中线CD的长 【答案】（1 1）3&；（2 2）.13. .【解析】（1 1）利用同角的三角函数关系， 可以求出sinC的值，利用三角形内角和定理， 二角和的正弦公式可以求出si nA，最后利用正弦定理求出BC长；（2 2）利用余弦定理可以求出AB的长，进而可以求出BD的长，然后在BCD中，再 利用余弦定理求出AB边上中线CD的长 【详解】(1)QC (0, ) sinC . 1

25、cos2C5,5sin A sin(B C)sin B cosC cosB sinC，由正弦定理可知中10n（2 2）因为A -,BC3AB所以由正弦定理得 ZBZB.3 ,AC所以AB所以AB=2sin C=3sin Csi nC2sin C, ACAC 2sin C2 2osC2、3cosCsin B2sin B匹2. .sinA2sin2sin 3 C31 sin C2其中，则Cnn 5 n66,6所以sin12,1,2、3sin C7t.32、3. .所以ABAC的取值范围是 、32、3. .第1919页共 1818 页BCAC“BCACsinA3 J;sin A sin Bsin B

26、(2 2)由余弦定理可知：ABVAC2_BC22AC BC cosCjlO18 2尿3“52，D是AB的中点，故BD 1,在CBD中，由余弦定理可知：CD BC2BD22BC BD cosB. 1812 3.2 1二：53.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力 a an2020.已知数列an满足nan12an(n 1), a 2，设 b bn .n n(1) 证明数列bn为等比数列；(2) 求数列an的前n项和Sn.【答案】(1 1)证明见详解；(2 2)Sn(n 1)2n 12. .【解析】 由 b bn 1qbqbn( (q为非

27、零常数) )且b10可证得bn为等比数列. .n(2)(2)可得anng2，则可由错位相减法求和. .【详解】(1)(1)证明：由nan 12an(n 1),可得 也2旦1. .n+1 n而 b bna a，所以bn 12bn. .n n又b鱼2，所以数列bn为等比数列. .1由(1)(1)得bn为首项是2，公比是2的等比数列，所以bn2g2n 12n. .2第2020页共 1818 页由 b bn丄可得annbnng2n. .n n所以Sn13212g223c23Lng2n,2则2Sn1g22g233g24Lnc2n 1. .以上两式相减得Sn2 2223L2nnc2n12112请1212啤

28、所以Sn2n 12ng2n1n1 2n 12.【点睛】本题考查等比数列的证明和错位相减法求和. .若数列cn满足cnanbn，其中an, bn【详解】an分别是等差数列和等比数列，则可由错位相减法求数列Cn的前n项和. .2121 数列an前n项和为Sn，已知a12, 3& a. 12n 22.(1(1)求数列a an的通项公式;(2(2)证明丄丄 L L4a2an1118【答案】(1 1)an4n(2(2)证明见详解. .【解析】(1)(1)由已知结合anSiSi1可得an 14ann 12，变形得an 1anT7站n 11一，利用叠加法可求an. .2由an4n2n可得丄，用放缩法证明不等式4 anan 1(1)(1)由3Snnan 1222, ,得3Snan2n12，以上两式相减得3an3Sn3Sn 1ann 2 n 11an22，则an 14an2n1两边同4n2第2121页共 1818 页4a2a1一4242第2222页共 1818 页334a242an4an 1以上n 1个式子相加得ana44na.112131n1又a12,则肆L1 -4n22222所以an4n2n(2)(2)证明：因为an4n2n,所以an 14n12* 14 4n2n2* 14an. .11 1所以an 1厲111记LTn,a2an111111111则T1,T2印4 2218a1a24 2