图像压缩编码

1、精选优质文档-倾情为你奉上小波变换在图像压缩中的应用学 院 精密仪器与光电子工程学院 专 业 光学工程 年 级 2014级 学 号 姓 名 孙学斌 一、图像压缩编码数字图像图像是自然界景物的客观反映。自然界的图像无论在亮度、色彩，还是空间分布上都是以模拟函数的形式出现的，无法采用数字计算机进行处理、传输和存储。在数字图像领域，将图像看成是由许多大小相同、形状一致的像素(Picture Element简称Pixel组成)用二维矩阵表示。图像的数字化包括取样和量化两个主要步骤。在空间将连续坐标离散化的过程为取样，而进一步将图像的幅度值整数化的过程称为量化。图像编码技术数据压缩就是以较少的数据量表示

2、信源以原始形式所代表的信息，其目的在于节省存储空间、传输时间、信号频带或发送能量等。其组成系统如图所示。信道解码信源解码信宿信道编码信源编码通信线路或存储介质信源过程应尽量保证去除冗余量而不会减少或较少减少信息量，即压缩后的数据要能够完全或在一定的容差内近似恢复。完全恢复被压缩信源信息的方法称为无损压缩或无失真压缩，近似恢复的方法称为有损压缩或有失真压缩。图像压缩编码的必要性与可行性1图像压缩编码的必要性采用数字技术会使信号处理技术性能大为提高，但其数据量的增加也是十分惊人的。图像数据更是多媒体、网络通信等技术重点研究的压缩对象。不加压缩的图像数据是计算机的处理速度、通信信道的容量等所无法承受

3、的。如果将上述的图像信号压缩几倍、十几倍、甚至上百倍，将十分有利于图像的存储和传输。可见，在现有硬件设施条件下，对图像信号本身进行压缩是解决上述矛盾的主要出路。2图像压缩编码的可能性图像数据量大，同时冗余数据也是客观存在的。在有些图像中可压缩的可能性很大。一般图像中存在着以下数据冗余因素。(1)编码冗余编码冗余也称信息熵冗余。去除信源编码中的冗余量可以在对信息无损的前提下减少代表信息的数据量。对图像进行编码时，要建立表达图像信息的一系列符号码本。如果码本不能使每个像素所需的平均比特数最小，则说明存在编码冗余，就存在压缩的可能性。(2)空间冗余这是静态图像存在的最主要的一种数据冗余。同一景物表面

4、上各采样点的颜色之间存在着空间连贯性，但是基于离散像素采样来表示物体颜色的方式通常没有利用景物表面颜色的这种空间连贯性，从而产生了空间冗余。(3)时间冗余时间冗余反映在视频图像中就是相邻帧图像之间有较大的相关性，一帧图像中的某物体或场景可以由其他帧图像中的物体或场景重构出来。(4)结构冗余有些图像的纹理区中图像的像素值存在着明显的分布模式，即存在着结构冗余。(5)知识冗余有些图像的理解与某些知识有相当大的相关性，这类规律性的结构可由先验知识和背景知识得到，该类冗余称为知识冗余。(6)视觉冗余事实表明，人类的视觉系统对图像场的敏感性是非均匀和非线性的。然而，在记录原始的图像数据时，通常假定视觉系

5、统是均匀和线性的，对视觉敏感和不敏感的部分同样对待，从而产生了比理想编码更多的数据，这就是视觉冗余。通过对人类视觉进行大量实验，发现了以下的视觉均匀特性：视觉系统对图像的亮度和色度的敏感性相差很大，视觉系统对亮度的敏感度远远高于对色彩度的敏感度。 随着亮度的增加，视觉系统对量化误差的敏感性降低。这是由于人眼的辨别能力与物体周围的背景亮度成反比。因此，在高亮度区，灰度值的量化可以更粗糙一些。二、小波分析理论小波理论的发展小波分析的思想可以追溯到1910年Haar提出的小波标准正交基，但小波分析这一概念是1984年由法国地质学家Morlet在分析地震信号时提出来的。当时，Morlet发现，短时傅里

6、叶变换在时、频分辨力方面的矛盾使得固定时宽的加窗方法并非对所有非平稳信号都合适。也就是说，窗宽应该依据非平稳信号的变化自动调节，形成所谓的小波。真正的小波分析研究始于1985年，当时法国的数学家Meyer构造的函数系(Meyer基)对小波分析起到奠基作用。后来1988年法国信号处理专家SMallat提出多分辨率分析的概念，给出构造正交小波的一般方法，并由此提出小波分解和重构的快速算法-Mallet算法，使小波分析取得突破性进展比利时数学家IDaubechies构造了具有紧支撑的光滑正交小波Dauchechies紧支正交小波。随后，正交小波被进一步推广和发展，产生了如正交小波包，半正交小波，双正

7、交小波，正交多小波等新的正交小波。这些小波被广泛应用到信号分析、图像处理、数值分析、地震勘测、语音处理等众多工程领域。小波分析技术和多分辨率分析理论，摈弃了传统Fourier分析所必须的前提假设平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非线性逼近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。由于小波的局部分析性能优越，在信号分析中尤其是数据压缩与边缘检测等方面主要性能优于其他方法。在静态图像压缩国际标准JPEG 2000中，离散小波变换(DWT)已经取代离散余弦变换(DCT)，成为标准的变换编码方法。但另一方面，经典的小波理论在实际应用中同样

8、存在美中不足的情况。在其应用最成功的图像压缩领域，经典小波变换的计算复杂度远高于DCT方法，成为数据实时处理的瓶颈：而基于小波变换的常见图像压缩编码方法在处理数据的过程中大都需要将整幅图像存储，因此所需存储空间远高于DCT方法，这势必增加压缩方法的硬件实现成本。为了克服经典小波方法的缺陷，小波的低复杂度、低成本实现算法的研究成为广泛关注的课题。1995年，Daubechies的博士生WSweldens系统地提出了基于提升格式(Liffing Scheme)的小波变换理论，为了与经典的小波相区别，称之为第二代小波。目前，构造第二代小波的重要工具提升分解已经成为离散正交变换整数实现的最强有力的工具

9、。小波变换理论1.母小波及其性质所谓母小波，是指定义在平方可积空间L2(R)，并满足以下条件的函数 显然，母小波具有波动性(即振荡性)，因为只有取值有正有负的函数其积分才为零。另外，母小波具有带通性，因为式(3.1)等价于 其中为的傅里叶谱。2.分析小波及其性质分析小波是由母小波经尺度变换(伸缩)和平移得到的函数。设伸缩因子为a，平移因子为b，则相应的分析小波为, 分析小波通过伸缩因子，平移因子b与母小波相联系，其特点表现在a和b的功能上。(1)尺度因子a的作用使产生伸展(a>1)，或收缩(a<1)，对则产生相反的作用。(2)平移因子b的作用使产生时间轴上的右移(b>0)或左

10、移(b<0)，对的幅度不产生影响。(3)尺度因子a和平移因子b同时作用使产生伸缩的同时，产生平移。3.连续小波变换对连续信号s(t)，设s(f)，它相对于分析小波的连续小波变换定义为 由重构的小波逆变换为： 其中： 4.容许条件和重构公式小波变换重构原信号需要的条件，分别由Calderon,Grossman和Morlet分别于1964年在纯数学领域和信号分析领域独立找到，称为容许条件< 事实上， 更一般的要求是在处连续可积，即有七阶消失矩17利用Parseval公式和傅里叶变换的性质可以得到以下重构公式 由此得到以下能量守恒公式 5.小波变换的性质(1)线性性质若 ，则对任何常数集

11、 有 (2)平移不变性若，则 (3)伸缩共变性若，则 (4)自相似性对不同尺度因子a和平移因子b，小波变换是自相似的。(5)冗余性连续小波变换中存在信息表达的冗余，如一维信号的小波变换是二维的，存在信息的重复表达。(6)能量守恒与短时傅里叶变换不同，小波变换不增加信号的能量。多分辨率分析小波分析之前的许多技术发展都来自一个称为多分辨率分析的领域。多分辨率分析的发展是为了克服Fourier分析存在的局限性。通常我们希望在较大的尺度上，可以看到物体的总体特征，而在较小的尺度上，则看到物体某一部分的细节特征。如果把一个对象分解到不同的尺度上，就可以达到我们的期望。这便是多分辨率分析的基本思想。沿着多

12、分辨率分析的发展，开成了现代的小波分析。多分辨率分析又称多尺度分析，它是在函数空间内，将函数f描述为一系列近似函数的极限。每一个近似都是函数f的平常版本，而且具有越来越精细的近似函数。这些近似都是在不同尺度得到的，多分辨率分析由此得名。三、 基于小波变换的图像压缩小波图像压缩中小波基的选取利用小波变换的伸缩平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，用以解决许多Fourier变换难以解决的问题，已越来越多地受到人们的广泛关注，并在许多应用中取得了可喜的成果。Fourier分析中基函数是唯一的，而作为小波变换的基函数却不是唯一的，满足一定条件的函数均可作为小波基函数，因而寻找具有优良特性的小波

13、基函数就成为小波理论中一个重要的方面。小波基的压缩性能直接影响了恢复图像的质量。提出的改进的DWT算法的基础上，对几种小波基的性能进行了研究比较。小波基特征分析小波变换用于图像压缩，主要涉及以下几方面：(1)使用哪一种小波滤波；(2)如何将一维推广到N维；(3)多级分解时采用的模式；(4)边界延拓；(5)量化与编码。在应用小波变换进行图像压缩时，小波基的选取一般考虑以下因素：(1)正交性用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中，使各子带数据相关性减小。但能准确重建的正交的线性相位有限冲击响应滤波器组是不存在的，即除了Haar系小波外，没有任何紧支集正交小波具有对称的特

14、性，因此一般放宽条件用双正交滤波器。(2)紧支性如果有紧支集，则小波是紧支的；如果t时，快速衰减或具有指数规律衰减，则称是急衰或急降的。紧支小波基的重要性在于它在数字信号的离散小波分解过程中可以提供系数有限的、更实际的FIR滤波器，应用精度高。非紧支撑小波在实际运算时必须截短。一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。Daubechies小波是目前最常用的紧支正交小波之一。(3)正则性对图像重构有更重要的意义，因为存在量化误差的小波系数用正则性高的综合小波重构后，失真比较平滑，视觉效果好。也是函数频域能量集中的一种度量。正则

15、性刻画了小波的光滑度，正则性与支撑集大小有关，支撑越大，正则性越好。小波基的正则性对最小量化误差是很重要的，因此，正则性越大的小波基越好。(4)对称性对称滤波器组具有两个优点：一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感，重构图像有好的主观质量。另一方面对称滤波器组具有线性相位。(5)消失矩如果对所有的0mM，m，MZ有：则称小波具有M阶消失矩。消失矩刻画了波器在和低通滤波器处的平坦程度。消失矩越大，波器性能越接近理想滤波器，能量越集中，更利于图像压缩。如果小波有较大的消失矩，待分析函数在一个区间内能够用一个同阶多项式逼近，在该区间中心附近一个小波变换系数接近于零，这个性质

16、用于小波图像编码意味着一个相当平坦的区域附近小波系数接近零，这样会提高压缩效率。消失矩表明了小波变换后能量的集中程度，消失矩阶数很大时，精细尺度下的高频部分数值有许多是小得可以忽略的(奇异点除外)因此用消失矩越大的小波基进行分解后，图像的能量就越集中，压缩的空间就越大。(6)平滑性关系到频率分辨率的高低，如果平滑性差，则随着变换级数的增加，原来平滑的输入信号将很快出现不连续性，导致重建时失真。(7)小波基的时频窗及其面积时频窗面积只与小波母函数有关，而与参数(a，b)毫无关系，窗面积愈小，的时频域局部化能力愈强，亦即其聚焦能力愈强；小波变换的时频窗虽然面积不变，但时窗和频窗的宽度是可变的，它在

17、高频时使用短时窗和宽频窗，在低频时使用宽时窗和短频窗，故小波具有自适应分辨分析性能。(8)斜对称在信号分析中，尺度函数和小波能够作为滤波函数，如果滤波器具有线性相位或至少广义线性相位，则能够避免信号在小波分解和重构时的失真。(9)线性相位在对图像进行处理时，线性相位是很重要的，对图像边缘做对称边界延拓时，重构图像边缘部分失真较小，有利于获得高质量的重构图像。在限定失真编码的情况下，线性相位对恢复图像中的边缘信息非常重要。但线性相位FIR的正交小波分解滤波器是不存在的，于是Cohen和Daubechies等放宽了小波基的规范正交性要求，引入了双正交小波基。要完全满足上述特性是十分困难的，紧支性与

18、平滑性不可兼得，紧支集正交小波又使对称性成为不可能，(Haar系小波除外)因此只能寻找一种合理的折衷方案。就图像处理而言，如果是用于无损压缩，对称性与平滑性就很重要；如果是边缘检测、纹理分析和去噪，那就需要选择小波基与待处理图像的感兴趣分量具有相似性。常用小波函数特征1Haar小波Haar小波是所有已知小波中最简单的，如图所示。Haar小波为正交，对称，支撑长度为1，消失矩长度为l的小波。对于t的平移，Haar小波是正交的。对于一维Haar小波可以看成是完成了差分运算，即给出与观测结果的平均值不相等的部分的差。其表达式为： Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也

19、有自己的优点，如：(1)计算简单：(2)不但与正交，而且与自己的整数位移正交，即kZ。因此，在a=2j的多分辨率系统中Haar小波构成一组简单的正交归一的小波族。2Daubechies(dbN)小波Daubechies小波是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，一般记为dbN，N是小波的阶数。小波和尺度函数中的支撑区为2N-1，的消失矩为N。除N=I外，dbN不具有对称性(即非线性相位)，没有明确的表达式。Daubechies小波具有以下特点：(1) 在时域上是有限支撑的，即长度有限。而且高阶原点矩p=0N；N值越大，的长度越长。(2) 在频域在彩=0处有阶零

20、点。(3)和它的整数位移正交归一，即 (4)小波函数可以由所谓“尺度函数"为低通函数，长度有限，支撑域在t=0(2N一1)范围内。3.Mexico草帽小波Mexico草帽小波是高斯函数的二阶导数，即0 系数主要是保证(t)的归一化，即。这个小波使用的是高斯平滑函数的二阶导数，由于波形与墨西哥草帽（Mexican Hat）抛面轮廓线相似而得名，如图所示。它在视觉信息加工研究和边缘检测方面获得了较多的应用，因而也称做Marr小波。 （a）实部 （b）虚部小波基函数选择的原则从理论上讲，正交小波变换由分解后的信号可以准确地恢复到原信号，但并不是每个分解都能满足图像压缩的要求，对同一幅图像，

21、用不同的小波基进行分解所得到的变换系数，其压缩效果是不相同的。在图像压缩中，希望经小波分解后的变换系数在三个方向的细节分量有高度的局部相关性，同时又希望整体相关性被大部分杰出甚至全部解除。不同于傅里叶分析，小波基不是唯一的，显然难点在于如何选择最优的小波基用于图像编码，一般情况下需考虑以下几个因素：1) 小波基的正则性和消失矩；2) 小波基的线性相位；3) 所处理图像与小波基的相似性；4) 小波函数的能量集中性；5) 综合考虑压缩效率和计算复杂度。正则性是函数光滑性的一种描述，也反映了函数频域能量集中的程度。正则性对图像压缩效果有一定的影响，图像大部分是光滑的，一般选择正则性好的小波。如haa

22、r小波是不连续的，会造成复原图像中出现方块效应，而采用其他光滑的小波基则方块效应会消除。如果小波基有较大的消失矩，待分析函数在一个区间内能够用一个同阶多项式逼近，在该区间中心附近小波变换系数接近于零。这个性质用于小波图像编码意味着，在一个相当平坦的区域附近小波系数接近零，这会提高压缩效率。但正则性则对图像重构有重要的意义，因为存在量化误差的小波系数用正则性高的综合熊小波重构后，失真比较平滑，视觉效果好，Antonini等人验证，综合小波基的正则性对图像压缩效果影响更大，这意味着应可能选正则性好的重构小波基。如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函数，在频域的局部化特性越好

23、。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。四、实验结果分析小波变换模块1.小波变换的基本原理小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。2.小波变换算法分析传统的基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，去除信号点之间的相关行，并找出重要系数，滤去次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在比较关系时域特性的时域显

24、得无能为力。但是这种应用的需求是很广泛的，比如遥感测控图像，要求在整幅图像有很高的压缩比的同时，对热点部分的图像要有较高的分辨率，例如医疗图像，需要对某个局部的细节部分有很高的分辨率，单纯的频域分析的办法显然不能达到这个要求，虽然可以通过对图像进行分块分解，然后对每块作用不同的阈值或掩膜来达到这个要求，但分块大小相对固定，有失灵活。在这个方面，小波分析的就有优势多了，由于小波分析固有的时频特性，我们可以在时频两个方向对系数进行处理，这样就可以对我们感兴趣的部分提供不同的压缩精度。3.小波变换实现压缩编码的处理步骤：步骤1：使用正向离散小波变换把空间域表示的图变换成频率域表示的图； 步骤2：使用

25、wavedec2函数对图像进行分解，这个函数对于图像细节系数的提取是最佳的； 步骤3：使用函数对量化系数进行编码； 步骤4：基于小波变换矩阵算法的小波变换的实现。4. 基于小波变换矩阵算法的实现1.小波变换的基本原理小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。2.小波变换算法分析传统的基于离散余弦变换的图像压缩算法，其基本思想是在频域对信号进行分解，去除信号点之间的相关行，并找出

26、重要系数，滤去次要系数，以达到压缩的效果，但该方法在处理过程中并不能提供时域的信息，在比较关系时域特性的时域显得无能为力。首先读取图像文件，然后利用wavedec2函数对图像进行小波分解，采用函数appcoef函数从分解系数中取近似系数，即利用语句cal=appcoef2(c,s,'bior3.7',1);再具体对水平、垂直和斜线方向进行提取，然后利用提取的系数，显示压缩后的图像，并显示出压缩后图像的大小。整个算法的处理过程图所示。导入图片利用wavedec2函数对图像进行小波分解，得到分解系数显示分解后低频和高频信息对图像再进行一次分解，得到第一次压缩的信息，并显示出来利用图

27、像分解系数，得到第二次压缩的信息，并显示压缩后的图片 图5.2 小波变换流程系统的具体实现及操作1.系统界面简介本界面设计的总体思路是通过一个主窗口和其它的子窗口关联。在主窗口中，建立两个图像处理的菜单，通过单击菜单去调用一个新的子窗口，在子窗口中实现相应的操作，下图就是系统的主界面。图像压缩系统中有菜单操作还有按钮操作，菜单操作主要的下拉菜单。 图5.4 文件及帮助操作的下拉菜单2.DCT压缩具体实现操作首先调用原始图像，从电脑中任意选取一张原始图像，这里选的图像名称是“jiemian3.jpg”，如图（a）所示，用figure显示原始图像如图 (b)，实现代码如下： filename, p

28、athname = uigetfile( . '*.bmp;*.jpg;*.png;*.jpeg', 'Image Files (*.bmp, *.jpg, *.png, *.jpeg)' . '*.*', 'All Files (*.*)', . 'Pick an image');fpath=pathname filename; I,map=imread(fpath); figure;%用figure将图像显示出来 image(I); (a)选择图像 (b)打开的原始图像然后对选取的图像进行DCT系数的提取，得到

29、的图像如图当中的第一个图，代码如下：D = dct2(rgb2gray(I); axes(handles.axes3);imshow(log(abs(D);title('DCT系数');从DCT系数可知，在频域中，高亮度的为绝对值大的系数，能量主要集中在低频成分中，即图像的左上角。这一点和小波分解类似，能量主要集中在近似系数中。下面我们看一下左上的1/4块系数矩阵所占得能量成分，这里能量用标准差定义。%接上例D(90:100,23:50) = 0; %丢弃部分高频分量axes(handles.axes4);imshow(D);title('丢弃部分高频的DCT系数');subf=f(1:128,1:128)per=norm(subf)/norm(D)per= 0.9999可见在省去75%的系数的情况下，该分解仍然占有很高的能量成分，但这种掩码方式有一个问题，以为在左侧和上侧的边界