202X年高考数学总复习9.2不等式选讲课件理

1、不等式选讲(选修45)-2-3-4-5-6-1.绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理定理1:假设假设a,b是实数是实数,那么那么|a+b|a|+|b|,当且仅当当且仅当ab0时时,等号等号成立成立;(2)性质性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理定理2:假设假设a,b,c是实数是实数,那么那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)0时时,等号成立等号成立.-7-2.绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法的解法:|x|a-axaxa或或x0)和和|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的

2、解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解利用绝对值不等式的几何意义求解,表达了数形结合的思想表达了数形结合的思想;利用利用“零点分段法求解零点分段法求解,表达了分类讨论的思想表达了分类讨论的思想.通过构造函数通过构造函数,利用函数的图象求解利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思表达了函数与方程的思想想.-8-3.根本不等式根本不等式定理定理1:设设a,bR,那么那么a2+b22ab,当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号

3、成立.-9-4.不等式的证明方法不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等放缩法等.(1)比较法比较法:求差比较法求差比较法,求商比较法求商比较法.求差比较法求差比较法:由于由于aba-b0,aba-bb,只只要证明要证明a-b0即可即可.(2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(条件、定理等).(3)综合法:从条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.-1

4、0-5.柯西不等式 -11-考向一考向二考向三考向四解绝对值不等式、求参数范围解绝对值不等式、求参数范围解题策略一别离参数法求参数范围解题策略一别离参数法求参数范围例例1函数函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式求不等式f(x)1的解集的解集;(2)假设不等式假设不等式f(x)x2-x+m的解集非空的解集非空,求求m的取值范围的取值范围.当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.-12-考向一考向二考向三考向四(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 解题心得1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值

5、式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式.2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取别离参数,通过求对应函数最值的方法获得.-13-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练1函数函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0).(1)当当m=1时时,解不等式解不等式f(x)3;(2)当当xm,2m2时时,不等式不等式 f(x)|x+1|恒成立恒成立,求实数求实数m的取的取值范围值范围.解:(1)m=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|, f(x)3,解得x-1或x1. -14-考向一考向二考向三

6、考向四-15-考向一考向二考向三考向四解题策略二求函数最值构造不等式求参数范围解题策略二求函数最值构造不等式求参数范围例例2函数函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当当a=1时时,求不等式求不等式f(x)g(x)的解集的解集;(2)假设不等式假设不等式f(x)g(x)的解集包含的解集包含-1,1,求求a的取值范围的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当xa恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)0,

7、b0,a3+b3=2.证明证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2. -19-考向一考向二考向三考向四解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用根本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进展恰当的转化、变形.-20-考向一

8、考向二考向三考向四对点训练对点训练3设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: -21-考向一考向二考向三考向四(2)假设|a-b|c-d|,那么(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|0,b0,函数函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为的最小值为1.(1)求证求证:2a+b=2;(2)假设假设a+2btab恒成立恒成立,求实数求实数t的最大值的最大值.-25-考向一考向二考向三考向四(2)解:a+2btab恒成立, -26-考向一考向二考向

9、三考向四解题策略二解题策略二利用柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值-27-考向一考向二考向三考向四解题心得利用柯西不等式求最值时,一定要满足柯西不等式的形式.-28-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练5(2021江苏江苏,21D)假设假设x,y,z为实数为实数,且且x+2y+2z=6,求求x2+y2+z2的最小值的最小值.解:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)(x+2y+2z)2.因为x+2y+2z=6,所以x2+y2+z24,所以x2+y2+z2的最小值为4. -29-考向一考向二考向三考向四绝对值三角不等式的绝对值三角不等式的应用应用(1)证明f(x)2;(2)假设f(3)0, 所以f(x)2. -30-考向一考向二考向三考向四解题心得绝对值三角不等式、根本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,无论运用绝对值三角不等式还是运用根本不等式时应注意等号成立的条件.-31-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练6f(x)=|x-a|+|x-3|.(1)当当a=1时时,求求f(x)的最小值的最小值;(2)假设不等式假设不等式f(x)3