也谈函数概念的教学

1、.也谈函数概念的教学在函数概念的教学中常有学生问到：为什么要规定一对多的对应不属于函数的对应关系呢？海克尔E.Haeckel,1843-1919生物发生学定律告诉我们“个体认知的发生遵循人类认知开展的过程，就数学教育而言，个体数学理解的开展遵循数学思想的历史开展顺序。数学家和数学教育家也认为个体数学理解的开展遵循数学思想的历史开展,个体对数学概念的认知开展过程与该概念的历史开展过程相似.那么我们就先从历史的长河中来寻找答案吧，看看函数的概念是如何开展的。从函数概念的历史开展过程中，我们根本上可以知道以下几个事实：初中数学的函数定义根本上就是十九世纪最出色的法国数学家柯西在1821年所著的?解析

2、教程?中，给出的定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，那么将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数。?北师大版义务教育课程标准实验教科书?八年级上册是这样给函数定义的：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，假如给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量,y是因变量。?人教版义务教育课程标准实验教科书?八年级上册是这样给函数定义的：一般地，在一个变化过程中，假如有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量,y是x的函数。两者相比较。不难发如今人教版

3、初中教科书中出现“唯一确定的概念。而北师大版的教材中那么没有提出。高中数学的函数定义根本上是维布伦1930给出的近代函数定义：“设集合X、Y，假如X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：XY，或y=fx。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是狄利克雷的函数定义；在这个定义中出现了“唯一确定这一限制性词语。北师大版高中数学必修一第二章?函数?定义：给定两个非空数集A和B,假如按照某个对应关系f,对于A中的任何一数x在集合B中都有唯一确定的数fx与之对应,那么就把这个对应f叫做从A到B的一个函数.通常记作:f:AB或y=fxxA.其中

4、,x叫做自变量，y叫做函数值.人教版新课A版必修1第一章?集合与函数概念?中是这样给函数定义的：设A、B是非空的数集，假如按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数function，记作=，其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域domain，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域range.在多值函数是函数的概念下，多值函数也是需要分拆成假设干个单值函数再进展研究的；在函数都是单值函数的概念下，方程确定的隐函数也仍然会遇到多值的情形，还是需要分拆成单值的情形来研究。多值函数或者单值函数这种定义的改

5、变，并没有改变数学问题的本质，只是给数学的初学者带来困惑而已。观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布

6、，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展

7、想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。我认为在初中函数概念的教学中，北师大版教材的处理更为合理的，不出现“唯一确定这样的概念，更有利于学生理解。其理由如下，第一、历史上函数概念的初期，也没有“唯一确定这样的概念，对初中生讲“唯一确定这个问题，不符合初中生的认知规律。“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书，最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先

8、生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食，先生馔；?国策?中的“先生坐，何至于此？等等，均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本身就有“先生长者，有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“老师之意，倒是与当今“先生的称呼更接近。看来，“先生之根源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载，首见于?礼记?曲礼?，有“从于先生，不越礼而与人言，其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者，与老师、老师之意根本一致。第二、在函数概念的教学中，规定“一对多对应的不属于函数的对应，有些类似在二次根式中规定被开方数大于等于零，事实上二者却有很的不同。假如在二次根式中不做“被开

9、方数不能是负数这样的规定，那么就要答复：什么样的数的平方是负数？等于多少？这样一系列的问题。为了降低难度，我们暂时不去研究这种情况，因此我们规定“二次根式中被开方数不能是负数。而在函数概念的教学中是为了什么原因做出“一对多不是函数的规定呢？这样的规定有利于学生理解函数的概念吗？我看恰好相反，有了这个规定学生反而更糊涂了。至于人教版初中教科书中的那两道习题更是有欠考虑了，要做出这两道题无非是让学生死背定义，而这个“唯一确定的规定并不涉及数学的本质，就是把定义背下来，他又能记住多久呢？教材这样的处理人为地增加了学习的难度。第三、是否“唯一确定，并不是数学的本质问题。在早些年出版的教材里，函数的定义

10、里没有“唯一两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，“一对一、“多对一“一对多的对应都属于函数的对应关系。近年出版的教材里，函数的定义里有“唯一两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，“一对多的对应关系就不属于函数的对应关系了。唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子