电动力学知识总结

1、第一章 电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷对另一个静止电荷的作用力为 （1.1.1）式中是真空介电常数。（2）电场强度静止的点电荷在真空中所产生的电场强度为 （1.1.2）（3）电场的叠加原理个分立的点电荷在处产生的场强为 （1.1.3）体积内的体电荷分布所产生的场强为 （1.1.4）式中为源点的坐标，为场点的坐标。2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度穿出封闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和除以。用公式表示为 （分离电荷情形） （1.1.5）或 （电荷连续分布情形） （1.1.6）其中为所包住的体积，为上的面

2、元，其方向是外法线方向。应用积分变换的高斯公式 （1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为 3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场的环量为 （1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式 从（1.1.8）式得出静电场的旋度为 （1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。对于体积为，边界面为的有限区域内，有 （1.2.1）或 （1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。2、毕奥萨伐尔定律处的电流元在处产生的磁感强度为 （1.2.3）参见图1-1-2。由此得沿闭合曲线流动的电流所产生的磁感强度为 (1.2.4)如果电流是体分

3、布，则电流元为，这时 （1.2.5） （1.2.6）3、磁场的环量和旋度（1）安培环路定理磁感强度沿闭合曲线L的环量等于通过L所围的曲面S的电流代数和的倍；即 (1.2.7)（2）磁场的旋度由安培环路定理和斯托克斯公式 可得磁场的旋度为 （1.2.8）这是安培环路定理的微分形式。4、磁场的散度磁场的散度为 （1.2.9）§1.3 麦克斯韦方程组1、 麦克斯韦对电磁感应定律的推广按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路中产生的感应电动势为 （1.3.1）依定义，感应电动势是电场强度沿导体回路的线积分，因此（1.3.1）式可写做 （1.3.2）其中是变化的磁场在导体中产生的感应

4、电场的电场强度。麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场，并且满足（1.3.2）式。应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式 （1.3.3）在一般情况下，既有静电场，又有感应电场，则总电场便为 （1.3.4）又因为，故得 （1.3.5）这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。2、麦克斯韦对安培环路定理的推广稳恒电流的安培环路定理为，由此得出 （1.3.6）这与电荷守恒定律 （1.3.7）相矛盾。麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为 （1.3.8）其中 （1.3.9）叫做位移电流密度。即 （1.3.10）或 （1.3.11）3、麦克斯韦方

5、程组我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。它与电荷守恒定律不矛盾。 （1.3.12）这组方程称为麦克斯韦方程组。4、洛伦兹力公式带电荷q的粒子以速度在电磁场中运动时，它所受的力为作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为 §1.4 介质的电磁性质1、介质的极化（1）极化强度在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列，这叫做介质的极化。极化强度是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即 （1.4.1）式中为包含有大量分子的物理小体积，为第个分子的电偶极矩。如果每个分子

6、的平均电偶极矩为，则 （1.4.2）式中为分子数密度。（2）极化电荷与极化强度的关系极化电荷体密度与极化强度的关系为 （1.4.3）或 （1.4.4）极化电荷面密度与的关系为 （1.4.5）式中为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。如果介质2为真空，则 （1.4.6）均匀介质内的极化电荷 （1.4.7）即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度的倍。因此，若该点处无自由电荷分布，则。（3）有介质时的电场在一般情况下，介质中的电场是自由电荷的电场，极化电荷的电场以及变化磁场产生的感应电场的和，即 (1.4.8)在介质中，电场的旋度和散度分别为 （1.4.9）和 （1.4.

7、10）（4）电位移及其与电场强度的关系电位移矢量的定义为 （1.4.11）在各向同性的线性介质中，与成线性关系 （1.4.12）叫做介质的电极化率。代入（1.4.11）式得 （1.4.13）定义相对介电常数和介电常数分别为， （1.4.14）这时 （1.4.15）2、介质的磁化（1）磁化强度在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质的磁化。磁化强度是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即 （1.4.16）式中为含有大量分子的物理小体积，为第个分子的磁矩。如果每个分子的平均磁矩为，则 （1.4.17）式中n为分子数密度。（2）磁化电流与磁化强度的关系磁化

8、电流体密度与磁化强度的关系为 （1.4.18）上式可写作 （1.4.19）式中是积分环路所套住的磁化电流的代数和，如图1-1-3。把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得 （1.4.20）磁化电流面密度与磁化强度的关系：面电流是指在曲面上流动的电流，面电流密度的大小等于通过与垂直的单位长度横截线的电流。设介质1的磁化强度为，介质2的磁化强度为，在两介质的交界面上，磁化面电流密度为，交界面的单位法向矢量为，从介质1指向介质2，则 （1.4.21）若介质2为真空，则 （1.4.21）（3）有介质时的磁场自由电流、磁化电流和位移电流都产生磁场，这些磁场的叠加就是介质中的磁场。因此，在一般情况下，磁

9、场的旋度和散度分别为 （1.4.23）和 （1.4.24）（4）磁场强度及其与磁感强度的关系磁场定义为 （1.4.25）对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度和之间有简单的线性关系 （1.4.26）叫做介质的磁化率。把（1.4.26）式代入（1.4.25）式可得 （1.4.27）定义相对磁导率和磁导率分别为， （1.4.28）这时 （1.4.29）对于所有物质来说，相对介电常数都大于1，但相对磁导率则可以大于1（顺磁质），也可以小于1（抗磁质）。3、介质中的麦克斯韦方程组电磁场遵守的普遍规律为 （1.4.29）物质方程：在各向同性的线性介质中， （1.4.29）§1.5 电磁场边值关系由

10、麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为式中是交接面法线上的单位矢量，从介质1指向介质2；和分别是交界面上的自由电荷和自由面电流密度。在用交界面两侧的切向分量（下标），和法向分量（下标）表示时，边值关系可写做§1.6 电磁场的能量和能流1电磁系统的能量守恒定律考虑图1-1-4所示的空间区域，其边界面为。设内有电荷分布和电流分布。（1）电磁场作用在单位体积电荷上的力为，这力的功率为 （1.6.1）式中代表介质单位体积消耗的焦耳热。（2）电磁场对体积内的电荷系统做功的功率为 （1.6.2）（3）体积内电磁场能量的增加率为 （1.6.3）（4）单位时间内从边界面流出体积的电磁

11、能量为 （1.6.4）因为能量守恒，对于体积内的电磁场能量有 （1.6.5）或 （1.6.6）这便是电磁场的能量守恒定律。2电磁场的能量密度单位体积内的电磁场能量为 （1.6.7）3电磁场的能量密度单位时间流过垂直于能流方向的单位面积的电磁场能量为 （1.6.7）通常叫做坡印廷矢量。第二章 静电场§2.1 静电场的标势及其微分方程1、静电场的标势（1）静电场的基本方程 （2.1.1）或 （2.1.2） （2.1.3）或 （2.1.4）其中电荷是封闭曲面包住的自由电荷的代数和，是自由电荷密度。（2）静电场的电势在静电场中，根据（2.1.3）式知道有势函数存在，使得 （2.1.5）如果在

12、无穷远处的电场强度为零，一般便选为电势参考点，这时由上式得空间一点的电势为 （2.1.6） 点电荷的电势由库仑定律可得处（源点）的点电荷在处（场点）产生的电势为 （2.1.7） 电势叠加原理分立的点电荷系所产生的电势为 （2.1.8）连续分布的电荷所产生的电势为 （2.1.9）2、静电势所满足的微分方程和边值关系（1）电势的微分方程电势满足方程 （2.1.10）在均匀介质内，（2.1.10）式可化为 （2.1.11）这个方程叫泊松方程。式中是自由电荷密度。如果则（2.1.11）式便化为拉普拉斯方程 （2.1.12）（2）电势的边值关系在介电常数不同的两种介质交界面上，电势满足下列边值关系 （2

13、.1.13） （2.1.14）其中是由介质1指向介质2的单位法向矢量，是交界面上的自由电荷面密度。如果介质1是导体，则以上两式分别化为=常量 （2.1.15）和 （2.1.16）3、静电场能量电荷分布在区域内，密度为，所具有的静电能量为 （2.1.17）这能量分布在电场中，因此 （2.1.17）式中是上述电荷所产生的电场，积分遍及不为零的全部空间。§2.2 唯一性定理静电学的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。唯一性问题是讨论在什么条件下，解是唯一的。这点很重要，因为求解的方法不同，求出的解可能有不同的表达形式，有时要证明它们是同一解颇非易事；但如果这

14、些解都满足相同的边界条件，则它们必定相同。其次，对于有些问题，可以根据经验提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确解。1. 问题说明假定空间V可以分为若干个小区域，每一小区域内都是充满均匀的，介电常数为的各向同性介质。设内的自由电荷分布已知，则在内，电势满足泊松方程 （2.2.1）在两区域和的交界面上，电势满足边值关系 （2.2.1） （2.2.1）2. 唯一性定理设区域内自由电荷的分布已知，在的边界上给定（i） 电势，或（ii）电势的法向导数（即），则V内的电场便唯一确定。3. 有导体存在时的唯一性定理设区域内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，并给定

15、（i）每个导体上的电势，或（ii）每个导体上的总电荷，以及V的边界S上的或值，则内的电场便唯一地确定。§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法1、笛卡儿坐标系拉普拉斯方程（简称拉氏方程）的形式为 （2.3.1）设电势可分离变数，即，则拉氏方程可分为以下三个方程 （2.3.2） （2.3.3） （2.3.4）由此得方程的通解为 (2.3.5)式中各常数，等由问题的具体条件决定。2、柱坐标系拉氏方程为 （2.3.6）设电势可分离变数，即，代入上式求得的解为 （2.3.7）的解为 （2.3.8）在内，符合物理实际的解必须是单值的，因此必须是整数。的解为 （2.3.9）式中 （2.3.10）和 （

16、2.3.11）其中级数是阶第一类贝塞耳函数，如果（整数），则在幂级数中的伽玛函数可以用 来代替。是阶第二类贝塞耳函数。函数在附近的奇异性与相似。因此，只要已知处的电势是有限的，在解中就不包含，即系数为零。3、球坐标系球坐标系中拉氏方程为 （2.3.12）设电势可分离变数，即，且在和时为有限值，则拉氏方程（2.3.12）的通解为 （2.3.13）式中是连带勒让德多项式。如果问题具有轴对称性（），通解为 （2.3.14）式中是勒让德多项式。通解中的系数，或、等由问题的具体条件确定。§2.4 镜像法1、平面边界(1) 无限大导体平面外的点电荷点电荷到电势为零的无限大导体平面的距离为，如图1

17、-2-1，电像在导体平面的另一侧，与导体平面的距离为。则导体外的电势为 ，（2.4.1）导体面上的感应电荷面密度为 （2.4.2）导体面上的总感应电荷为 （2.4.3）导体上感应电荷吸引点电荷q的力为 （2.4.4）感应电荷与点电荷的相互作用能为 （2.4.5）（2）劈形导体平面间的点电荷如图1-2-2，两无限大导体平板电势为零，夹角为。其间有一点电荷，点电荷的幅角为，与角的顶点的距离为。有多重电像，当(n为整数)时，电像的个数为（2n-1）个， （2.4.6）所有电像均位于以为圆心，为半径的圆周上。诸电像的位置为：， 共个。：， 共个。图1-2-2是时电像的分布图。共有七个电像。（3） 介质

18、平面外的点电荷两无穷大的均匀介质的介电常数分别为和交界面为平面。在中有一自由点电荷，距交界面为，如图1-2-3所示。求区域的解时，可在区域内距界面为处设置一电像电荷。则所求电势为： （2.4.7）求区域（）的解时，可在z>0区域内距界面为处设置电像电荷，则所求电势为 (2.4.8)在z=0的交界面上任意一点处，电势应满足边值关系 （2.4.9） （2.4.10）设，则在原点处，应用上式可得 （2.4.11） （2.4.12）解得 （2.4.13） （2.4.14）因此 （2.4.15） （2.4.16）点电荷所受的库仑力为 （2.4.17）2、球面边界（1）导体球外的点电荷有一电势为零，

19、半径为的导体球，球外距球心为处的点有一点电荷。如图1-2-4，在球内点设置一电像，距球心为。由边界条件得 （2.4.18） （2.4.19）于是球外处的电势为 （2.4.20）这里选取球心为原点，和分别为电荷和的位置矢量。球上的电荷密度面为 （2.4.21）电荷与导体球的相互作用能为 （2.4.22）电荷所受的库仑力为 （2.4.23）（2）导体球形空腔内的点电荷导体内有一球形空腔，腔内距球心为处有一点电荷，导体的电势为零。由对称性可知，这时图1-2-4中，位于点的电荷便是的电像，并且 （2.4.24） （2.4.25）这时空腔内的电势为 （2.4.26）§2.5 格林函数点电荷的密

20、度：位于处的单位点电荷的密度为 。格林函数: 它是单位正点电荷在一定边界条件下的电势。它用表示，括号内左边的位矢对应场点，右边的代表点源的位矢。它满足方程 (2.5.1)第一类边值问题的格林函数满足边界条件 (2.5.2)第二类边值问题的格林函数满足边界条件 (2.5.3)其中为边界面法线方向。格林函数的对称性 （2.5.4）对于一定边界条件下的格林函数，场点和源点交换时，格林函数的值不变。如球外空间的第一类格林函数是 （2.5.5）与互换（即互换），从上式看出函数值不变。含格林林函数的格林公式 (2.5.6)第一类边值问题的解 (2.5.7)式中的位为第一类边值格林函数，边界条件由给定。第二

21、类边值问题的解 （2.5.8）式中的为第二类边值，边界条件由给定，中应包含无限远处的面。§2.6 电多极矩1、电势的多极展开电荷分布在有限的区域内，体密度为，则它所产生的电势为 (2.6.1)对于远场（即处的场），上式可展开为 （2.6.2）式中为电荷系的总电量，即 （2.6.3）为电荷系的电偶极矩，即 （2.6.4）为电荷系的电四极矩，即 （2.6.5）它的分量为 （2.6.6）点电荷系的电四极矩为 （2.6.7）其分量为 (2.6.8)电四极矩张量是对称张量，又因为 (2.6.9)因而只有五个独立分量。2、相互作用能点电荷在外场中的能量为式中是所在处外电场的电势。电荷系在外场中的

22、能量为点电荷系的相互作用能为式中是除外所有其余的点电荷在所在点产生的电势。第三章 静磁场§3.1 矢势及其微分方程1、矢势 （1）稳恒电流磁场的基本方程 （3.1.1）或 （3.1.2） （3.1.3）或 (3.1.4)式中是自由电流密度，是被闭合环路套住的自由电流的代数和。（2）稳恒磁场的矢势由知，存在空间矢量势函数，它满足 （3.1.5）对于一个确定的磁场，由（3.1.5）式确定的矢势不是唯一的，可以有一个附加的任意空间函数的梯度。通常用条件 （3.1.6）来对这个任意函数加以限制。（3）矢势的物理意义 （3.1.7）即矢势沿任一闭合环路的积分等于通过以为边界的曲面的磁通量。2、

23、矢势的微分方程和边值关系在均匀介质内，矢势满足泊松方程 （3.1.8）矢势的边值关系在均匀介质内，该方程的特解是 （3.1.9）式中的积分遍及电流所分布的空间。3、矢势的近似电流分布在区域（线度为）内，电流密度为。这电流在远处（即）产生的磁场其矢势可近似为 （3.1.10）式中 （3.1.11）叫做这电流的磁矩。对于一个载流为的小线圈，其磁矩为 (3.1.12)4、稳恒电流磁场的能量（1）自具能电流分布在区域内，密度为，所具有的能量为 （3.1.13）这能量分布在磁场中，因此 （3.1.14）式中是上述电流所产生的磁场，积分遍及不为零的全部空间。（2）相互作用能电流在外磁场中的能量为 （3.1

24、.15）载电流的小线圈在外磁场中的能量为 （3.1.16）式中为小线圈的磁矩。§3.2 磁标势1、磁标势如果在某一闭合区域内没有自由电荷（即），这时稳恒磁场的基本方程为 （3.2.1） （3.2.2）由知，在该区域内存在势函数，它满足 （3.2.3）这时，在形式上与静电场的相对应，而则与静电场的电势相对应。2、磁标势的拉氏方程和边值关系拉氏方程为 （3.2.4）在没有传导电流的两介质交界面上，由 （3.2.5） （3.2.6）得出磁标势的边值关系为 （3.2.7） （3.2.8）式中是交界面上由介质1指向介质2的单位法向矢量。3、“磁荷”磁荷密度： 第四章 电磁波的传播§4

25、.1 平面电磁波1、电磁场的波动方程（1）真空中在，的自由空间中，电磁强度和磁场强度满足波动方程 （4.1.1） （4.1.2）式中米/秒 （4.1.3）是光在真空中的速度。（2）介质中当电磁波在介质内传播时，介质的介电常数和磁导率一般地都随电磁波的频率变化，这种现象叫色散。这时没有和的一般波动方程，仅在单色波（频率为）的情况下才有 （4.1.4） （4.1.5）式中 （4.1.6）是频率的函数。2、亥姆霍兹方程在各向同性的均匀介质内，假设，则对于单色波有 （4.1.7） （4.1.8）这时麦克斯韦方程组可化为 （4.1.9） （4.1.10） （4.1.11）（4.1.9）式称为亥姆霍兹方程

26、。由于导出该方程时用到了的条件，因此，亥姆霍兹方程的解只有满足时，才是麦克斯韦方程的解。3、单色平面波亥姆霍兹方程的最简单解是单色平面波 （4.1.12） （4.1.13）式中为波矢量，其值为 （4.1.14）平面波在介质中的相速度为 （4.1.15）式中和一般是频率的函数。算符和作用于单色平面波的场（4.1.12）式或（4.1.13）式时，可简化为 （4.1.16）即，而。电场和磁场的关系为 （4.1.17）式中，为波传播方向上的单位矢量。4、电磁波的能量和能流电磁波的能量密度为 （4.1.18）对于单色平面波有，故 （4.1.19）单色平面波的能流密度为 （4.1.20）对时间平均的能流密

27、度为 （4.1.21）§4.2 电磁波在介质交界面上的反射和折射如图1-3-1所示，取两介质的交界面为xy平面，z轴从介质1指向介质2。设平面电磁波从介质1入射到交界面上，入射波、反射波和折射波的电场强度分别为入射波： （4.2.1）反射波： （4.2.2）折射波： （4.2.3）1、反射定律和折射定律电磁波在交界面上反射和折射时，分别遵守反射定律和折射定律 （4.2.4） （4.2.5）式中为介质2相对于介质1的折射率。除铁磁质外，一般介质，故可得 （4.2.6）2、反射波和折射波的振幅（1）菲涅耳公式按入射波电矢量的振幅分下列三种情形：（i）垂直于入射面 （4.2.7） （4.2

28、.8）（ii）平行于入射面 （4.2.9） （4.2.10） （iii）与入射面斜交把三个波的电矢量的振幅都分解为垂直于入射面的分量和平行于入射面的分量，如图1-3-2所示，即 （4.2.11） （4.2.12） （4.2.13）结果得出，和都只与有关；而和则都只与有关。具体关系如下： （4.2.14） （4.2.15） （4.2.16） （4.2.17）可见（i）和(ii)是（iii）的两种特殊情况。 （2）反射和折射产生的偏振由（4.2.16）式可知，在的情况下，平行于入射面的分量没有反射波，因而反射波便是垂直于入射面的完全偏振波。这就是光学中的布儒斯特定律，这时的入射角称为布儒斯特角，其

29、值为 （4.2.18）3、全反射由折射定律知，当电磁波从较大的介质入射到较小的介质的交界面上时，折射角大于入射角，当时，变为，这时的入射角称为临界角，其值为。若入射角再增大，当时，。这时就是复数，因而不再具有折射角这种直观的几何意义了。但折射定律仍然成立。这时折射波为 （4.2.19）是沿交界面x方向传播的电磁波。它的振幅沿z轴方向指数衰减。当振幅衰减到交界面上的振幅的时，沿z方向的距离为 （4.2.20）在一般情况下，和波长同数量级。因此在发生全反射时，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度为的薄层内。当时，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，对时间平均来说，入射波的能量全部被

30、反射，所以叫做全反射。§4.3 有导体存在时电磁波的传播1、导体的弛豫时间在静电时，自由电荷只能分布在导体表面上。当导体里某处有电荷密度出现时，就会引起电流流动。与时间的关系为 （4.3.1）式中是导体的电导率。，叫做导体的弛豫时间，它等于值减小到的时间。在交变场中，只要电磁波的频率满足 （4.3.2）就可以认为导体里没有自由电荷分布，因此（4.3.2）式可当做良导体的条件。2、导体内的电磁波对于一定频率的单色波来说，麦克斯韦方程组可以化为 （4.3.3） （4.3.4） （4.3.5） （4.3.6）式中 （4.3.7）叫做导体的复介电常数。由（4.3.3）（4.3.6）可得导体内

31、的亥姆霍兹方程为 （4.3.8） （4.3.9）这时是一个复矢量，设 （4.3.10）则方程（3.3.8）的单色波解为 （4.3.11）其中的实部称为周相常数，虚部称为衰减常数。如图1-3-3，设电磁波从介质入射到导体平面（z=0）上，平面为入射面。则由边值关系 ， 可得 ， （4.3.12）其中 （4.3.13） （4.3.14）3、穿透深度当电磁波垂直入射到导体表面上时，由（4.3.12）式和（4.3.13）式可得 （4.3.15）这时，透射波的振幅随z作指数衰减，当振幅减小到导体表面处振幅的时，沿z方向经过的距离定义为穿透深度 （4.3.16）§4.4 谐振腔谐振腔是各面都由金属壁构成的一个空腔，在腔内能够激发各种特定频率的驻波。1. 矩形谐振腔中的电磁波矩形谐振腔如图1-3-5所示。解亥姆霍兹方程，并把金属壁当作理想导体，利用边界条件得出：矩形腔内电磁场的振幅为 (4.4.1)式中 （4.4.2）、为任意正整数或零。，和为任