数列专题(含答案)

1、2009数学专题 数列及其应用一、等比等差数列【基础自测】1.等差数列an中，a3+a5=24，a2=3，则a6=2.已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an=3.一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ A ）A. 13 B. 12 C. 11 D. 104.已知等比数列an公比为q=A. -1a+a3+a5，则1=（ D ） 3a2+a4+a611 B. -3 C. D. 3 33888 B. d3 C. d3 D. 6.下列各组数能组成等比数列的是（ D ）A. ,111, B. lg3,lg9,lg27

2、C. 6,8,10 D.3,- 36927. “b=ac”是“a、b、c成等比数列”的（ B ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要8.在等比数列an中，an0，(nN+)且a3a6a9=8，则log2a2+log2a4+log2a6+log2a8+log2a10=9.等差数列an的前n项和为Sn，已知a5=20-a6，则S10=10、若an是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是21 lga an a2n nan【题例分析】例1 设an数列为等比数列，bn数列为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若cn是1,1,2,L,求cn的前10项和.解:

3、由题设可得b1=0,c1=1,c2=1,c3=2,设an的公比为q,bn的公差为da1=1a1+b1=1q=2(Qq0)cn=an+bn,a2+b2=1q+d=1 d=-1a+b=2q2+2d=2331-21010(0-9)an=2,bn=1-n,c1+c2+L+cn=+=978 1-22点评:本题体现了方程(组)的思想和方法. n-1例2.在等比数列an中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求an的前8项和S8. 解:设an的公比为q,a6-a4=24,a3a5=6453a1=1a1=-1a1q-a1q=242,解得或 4q=2q=-2a1qga1q=64a1=11-28=255 当时前

4、8项和S8=1-2q=2a1=-1(-1)(1-28)当时前8项和S8=85 q=-21-(-2)点评:把问题转化为首项和公比(差)建立方程(组)是一般方法.例3.设数列an为等差数列，数列bn为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，求an，b2gb4=a3，bn的通项公式.解:数列an为等差数列，数列bn为等比数列设数列an的公等为d，数列bn的公比为q,a1=b1=1a2+a4=b3,bg2b4=a332+4d=q解这个方程组得, 3qgq=1+2d33d=-d=-311n-188q0an=-n+,bn=( 882q=q=点评:一个问题中涉及多种数列时要注意区分,不要混淆.例4.在等

5、差数列an中，公差d0，a2是a1与a4的等比中项，已知a1,a3,ak1,ak2,L,akn,L成等比数列，求数列kn的通项公式.2解:依题设得an=a1+(n-1)d,a2=a1ga4(a1+d)2=a1(a1+3d)整理得,d2=a1dd0d=a1an=nd所以,由已知得,d,3d,k1d,k2d,L,knd,L是等比数列,由d0,所以数列1,3,k1,k2,L,kn,L也是等比数列,且首项为1,公比为3,k1=9数列kn是9为首项,3为公比的等比数列,kn=93n-1=3n+1(nN*)点评:本题注重对等差,等比数列基础知识的应用,并考查了子数列的特点.【巩固训练】1.已知f(1)=2

6、，f(n+1)=2f(n)+1(nN+)，求f(101) 22、已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2=b2，求an，a5=b3，a14=b4，bn为等比数列，bn的通项公式.3.已知数列an为等差数列，公差为d， bn为等比数列，公比为q，且d=q=2，b3+1=a10=5，cn=log2bn求cn的通项公式；求an+bn的前n项和Sn.4.已知数列an中，a1=3，a10=21，通项an是项数n的一次函数， 求an的通项公式，并求a2005；若bn是由a2,a4,a6,a8,L,组成，试归纳bn的一个通项公式.二、几类可化为等比等差数列的递推数列的通项公式求法【基础自测】1.若数

7、列an的前n项和为Sn=-n2，则这个数列（ C ）A.是等差数列，且an=2n-1 B.不是等差数列，但an=2n-1C.是等差数列，且an=-2n+1 D.不是等差数列，但an=-2n+12.数列an的前n项和为Sn=2an+3，则an是（ A ）A.等比数列 B.等差数列C.除第1项是等比数列 D.除第1项是等差数列3.数列an的前n项和Sn=1+14an，则an=n.4、1.数列ann中，a1=1，an+1=2aa+2,(nN+)，则a5=（ B ） nA. 215 B. 3 C. 23 D. 125.数列an中，a1=3，(n+1)an+1=ngan，则a10=（ B ）A. 313

8、 B. 310 C. 110 D. 106. 数列a中,a2，则a2n-1n-1n1=3，an+1=an,(nN+)n= .7. 数列a1n中,a1=1，a=1+13,(nN+)，则a50=.n+1an8.数列an的前n项和Sn=n2-5n+2，则an的前10项和T10=.9.已知数列an，a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则数列的第五项为（ D ）A. 6 B. -3 C. -12 D. -610.数列an的前n项和Sn=an+1,n(N+)，a1=2，求an和Sn.an=2N-12 n=1 Sn=2n【题例分析】例1. 已知数列an的前n项和Sn满足log5(Sn+1)=n，

9、求an，并判断an是什么数列？ 解: log5(Sn+1)=nSnn+1=5,即Sn=5n-1当n=1时,an1=S1=5-1当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=4g5n-1又a1=4=45n-1a1n=4g5n-(nN*),数列an是首项为4,公比为5的等比数列 n1例2.数列an中，a1=1，an=解:an=1an-1+1,(n2)，求其通项an. 21an-1+1 211an-2=an-1+1-2即an-2=(an-1-2) 22an-21=(n2) an-1-22a1=1,a1-2=-1数列an-2是首项为1，公比为an=2-()11n-1的

10、等比数列,an-2=-() 2212n-1(nN*)点评:形如an+1=pan+q(p,q为常数,p0,1)的递推数列,各项加一个常数q可构成等比数列. p-1例3.数列an中，a1=1，an0，(n+1)an+12-nan2+angan+1=0，nN+，求an.解: (n+1)an+12-nan2+anan+1=0(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0an0,an+1+an0(n+1)an+1-nan=0即an+1n =ann+1aa21a32a43n,各式两端分别相乘得, =,=,=, n+1=a12a23a34ann+1aa2a3a4123n-1化简得, gn=a1a2a3an

11、-1234n11an1=,a1=1=an=(nN*) 1na1n点评:本题采用了累乘法求通项公式,此法适用于形如an+1=f(n)的递推数列,但f(n)的前n项之积可求. an例4 在数列an中，已知a1=-11,(n2)， ,an=1-4an-1求数列an的前6项,并猜想a2008.解: a1=-11,(n2) ,an=1-4an-1a2=1-1114=1+4=5,a3=1-=1-= a1a2551511=1-=-,a5=1-=1+4=5 a344a4114=1-=,可见数列an是每3项呈周期性重复出现,即 a555a4=1-a6=1-a1=a4=a7=L=a3k+1(kN),a2=a5=a

12、8=L=a3k+2(kN)a3=a6=a9=L=a3k(kN*) a2008=a6693+1=a1=-1 4点评:有的递推数列呈周期性,关键在于找准规律.【巩固训练】1.数列an中，a1=1，an=3n-1+an-1,(n2)，求an.2、已知数列an满足an=5Sn-3,nN+，求a1+a3+L+a2n-1 解: an=5Sn-3,nN+,Sn=13an-,nN+ 553当n=1时, a1=S1,a1=5a1-3,a1= 4当n2时, an=Sn-Sn-1, 由Sn=1313a1an-和Sn-1=an-1-两式相减得,n=- 5555an-1413为首项,-为公比和等差数列. 4413a1,

13、a3,a5,L,a2n-1,L，是以为首项,为公比和等差数列. 16431(1-()2)=41-(1)2a1+a3+L+a2n-1=1516 1-16数列an是以点评:若an是等比数列,则其子数列akn也是等比数列(其中kn是等差数列).3.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+1=4an+2,(nN+)，a1=1，bn=an+1-2an，求证数列bn是等比数列,并写出其通项公式. 解:Sn+1=4an+2,Sn=4an-1+2(n2)两式相减得,an+1=4an-4an-1(n2)an+1-2an=2an-4an-1(n2)即an+1-2an=2(n2) an-2an-1bn=an+1-2a

14、n,bn-1=an-2an-1 bn=2(n2)即数列bn是等比数列. bn-1Sn+1=4an+2,a1=1a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3数列bn是以3为首项,2为公比的等比数列.即bn=3g2n-1(nN*)点评:本题是采用换元的方法,需要有整体的意识.22n=2，3，4，L 4.设Sn是数列an（nN*）的前n项和，a1=a，且Sn=3n2an+Sn-1，an0，（I）证明：数列an+2-an（n2）是常数数列；（II）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列bn（nN*）中的所有项都是数列an中的项，并指出bn是数列an中的第几项222解：（I

15、）当n2时，由已知得Sn-Sn-1=3nan因为an=Sn-Sn-10，所以Sn+Sn-1=3n2 于是Sn+1+Sn=3(n+1)2 由得：an+1+an=6n+3 于是an+2+an+1=6n+9由得：an+2-an=6 即数列an+2-an（n2）是常数数列（II）由有S2+S1=12，所以a2=12-2a由有a1+a2=15，所以a3=3+2a， 而表明：数列a2k和a2k+1分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列所以a2k=a2+(k-1)6=6k-2a+6，a2k+1=a3+(k-1)6=6k+2a-3，kN* 由题设知，bn=187n-1当a为奇数时，a2k+1为奇数，而b

16、n为偶数，所以bn不是数列a2k+1中的项，bn只可能是数列a2k中的项若b1=18是数列a2k中的第kn项，由18=6k-2a+6得a=3k0-6，取k0=3，得a=3，此时a2k=6k，由bn=a2k，得187n-1=6k，k=37n-1N*，从而bn是数列an中的第67n-1项n-1（注：考生取满足a=3kn-6，knN*的任一奇数，说明bn是数列an中的第67（2007重庆理21） +2a-2项即可） 3三、求数列的前n项和【基础自测】1. 在等差数列an和bn中，a1=25，b1=75，a100+b100=100，则数列an+bn的前100项和为（ D ）A. 0 B. 100 C.

17、 1000 D. 100002.已知数列an的通项公式an=,且它的前n项和Sn1, 则n的值为( C )A.98 B.99 C.100 D.1013. 已知数列an满足a1+2a2+3a3+L+nan=n(n+1)(2n+1),则该数列的前n项和为( B )A. 2n(n+1) B. 3n(n+1) C.n(n+2) D. n(n+3)4.(1002-992)+(982-972)+L+(22-12)=5.1111+L+= n/2n+1 . 133557(2n-1)(2n+1)2f(n)+n(nNg),且f(1)=2,则f(20)=( D ) 26.设f(n+1)=A.95 B.97 C.10

18、5 D.1927.数列an的前n和为Sn=3n-2n2(nNg),当n2时有(C )A. Snna1nan B. SnnanSnnan D. na1Snnan22228.若an是等比数列,前n项和Sn=2n-1,则a1+a2+a3+L+an=( D )A.(2-1)9.1+3n2 nB.(2-1) C.4-1 D.(4-1) 13n213n111+5+(2n-1)+n=2+1+1/2n . 48222n-110.数列1,1+2,1+2+2,L,1+2+2+L+2,L的前99项和为（ A ）A.2-101 B. 2-101 C. 2【题例分析】 1009912100-99 D. 299-99例1

19、 求数列11,103,1005,10007,的前n项和Sn.解:11=10+1,103=102+3,1005=103+5,10007=104+7n原数列11,103,1005,10007,的和就是等比数列10与等差数列2n-1的和. 10(1-10n)10(10n-1)2+n=+n2 Sn=1-109点评:这种方法就是裂项求和,把特殊数列转化为等比数列和等差数列求和.1前n项和Sn. 2n1111 解：Sn=1+2+3+LLLL+nn 2482111111Sn=1+2+3+L+(n-1)n+nn+1 248162211(1-n)111111-n ,两式相减得：Sn=+LL+n-nn+1=122

20、48222n+11-21n1nSn=2(1-n-n+1)=2-n-1-n 2222例2 求数列n点评: 以上这种方法就是错位相减法,它适合于一个等差数列和一个等比数列对应项之积组成的数列求和.例3求数列6666,LL,LL前n项和Sn. 122334n(n+1)解：设数列的通项为bn，则bn=611=6(-) n(n+1)nn+1Sn=b1+b2+LL+bn11111=6(1-)+(-)+LL+(-) 223nn+11=6(1-) n+16n= n+1点评:这种方法就是拆项相消法,它适合于形如1的数列求和,其中an是公差为d(d0)的等angan+1差数列.拆项的方法是: 1111=(-) a

21、ngan+1danan+1例4求数列111,LL,LL前n项和Sn. 1+21+2+31+2+LL+(n+1)1 1+2+LL+(n+1) 解：Qan=2 (n+1)(n+2)11-) n+1n+2111111-) Sn=2(-)+(-)+LL+(2334n+1n+211=2(-) 2n+2n= n+2=2(点评:对于没有给出通项公式的数列求和,应先归纳出其通项公式,再分析通项,从而找到求和的方案.【巩固训练】1 设Sn=1+2+3+L+n,nN,求f(n)=解:Sn=1+2+3+L+n *Sn的最大值. (n+32)Sn+1n(n+1)(n+1)(n+2),Sn+1= 22n(n+1)Snf

22、(n)= =(n+1)(n+2)(n+32)Sn+1(n+32)2Sn=n=n2+34n+641 64n+34n64在(0,8上是减函数,在8,+)上是增函数, n641n=8时n+取得最小值16,即f(n)取得最大值为. n5064点评:本题关键在于利用基本函数x+的单调性. xn+2. 设f(x)=a1x+a2x+a3x+L+anx,nN,若f(1)=n,求数列an的通项公式,若记23n*21bn=2an求数列bn的前n项和,求f() 2由f(1)=a1+a2+a3+L+an=n2,得Sn=n2,易得an=2n-1.a由bn=2n得bn=22n-1即bn=2g4n-1,Sn=g(4-1).

23、 n231111111f()=+3()2+5()3+L+(2n-1)()n由错位相减法得Sn=3-()n-2-(2n-1)g()n 22222223.(2007陕西文20)已知实数列an是等比数列,其中a7=1,且a4,45+1,a5成等差数列. ()求数列an的通项公式;()数列an的前n项和记为Sn,证明: Sn,128(n=1,2,3,).解：（）设等比数列an的公比为q(qR)，由a7=a1q6=1，得a1=q-6，从而a4=a1q3=q-3，a5=a1q4=q-2，a6=a1q5=q-1 因为a4，a5+1，a6成等差数列，所以a4+a6=2(a5+1)，即q-3+q-1=2(q-2+1)，q-1(q-2+1)=2(q-2+1) 11所以q=故an=a1qn-1=q-6gqn-1=6422n-1 1n641-nn2a1(1-q)1（）Sn=1281-1，且6Sn=(an+1)(an+2),nN*（1）求an的通项公式；（2）设数列bn满足an(2bn-1)=1，并记Tn为bn的前n项和，求证： 3Tn+1log2(an+3),nN* （）解：由a1=S1=1(a1+1)(a1+2)