数学建模模型

1、超市员工安排及运营问题摘要在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有着显着的不同，从而主管单位在不同的时段雇佣工作人员的人数往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量减少劳务开支是管理者必须思考的决策问题。本文我院某校内超市员工安排问题为例，据已给定的各个时间段所需的服务员人数和两个班次与休息时间安排表、职员工资及其他给定的限制，建立整数规划优化模型，得出最优安排，使得既满足超市对职工的需要，又使超市的劳务开支最少。另外本文进一步讨论在已有班次的基础上，对增加更多的班次后的人员安排及劳务支出的变化，以便此超市根据最少的劳务开支做出最优选择。由问题给出的时间和班次安排表，在8：0017：

2、00和12：0021：00中每隔一个小时安排吃饭时间，根据班次安排的人数列出线性不等式，根据月支出来列出目标函数，然后设计线性规划模型，用LINGO.8解出人数和最优劳务支出。由此解决了本问题要讨论的最少人数和最优劳务支出。关键词：优化设计，劳务开支，临时员工安排。一 问题重述在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段雇佣的临时职工数量往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就我院校内某超市临时员工的班次安排问题建立一

3、个数学模型来进行优化设计，使其既满足超市的营业需要，又能够使超市的劳务开支最少。超市的营业时间为11：00到22：OO，根据学生的购买情况，以一小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1。此超市员工由临时工和正式员工构成，正式职工两名，主要负责管理工作，每天需要工作8小时，临时工若干名，每天工作4小时。已知一名正式员工11：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时,工作、休息时间安排如表2。又知临时工每小时工资为4元。序号 时间区 最少需求人数1 11：0012：00 92 12：0013：00 93

4、13：0014：00 94 14：0015：00 35 15：0016：00 36 16：0017: 00 37 17: 0018: 00 68 18: 0019: 00 129 19: 0020: 00 1210 20: 0021: 00 711 21: 0022: 00 7表2班次 工作时间 休息时间1 11：0020：00 12：0013：002 13：0022：00 17：0018：00二符号说明符号说明如下：Min表示公司劳务开支的最少值；Xi表示在第i时段该超市使用的临时工人数，i=1，2，,11；三问题假设（1）以一小时为一时段，假设一小时内的任意时刻所需人数都要大于等于这一时段

5、的最少需求人数。（2）工作人员的工资每小时与他所在工作时段无关，与他的表现好坏等无关。（3）假设正式员工在工作时段里不会中途退出。（4）每个临时员工可在任一时段开始时上班，但要求必须连续工作4小时。四.问题分析11 问题1分析该问题中超市安排了二个班次来分配正式员工，目标是在满足超市需求的前提下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。 综合表一表二：班次(i)工作时间段最少需求员工总数固定员工数最少需求临时员工数111：0012：00918212：0013：00918313：00

6、14：00927414：0015：00321515：0016：00322616：0017：00321717：0018：00625818：0019：0012210919：0020：00122101020：0021：007161121：0022：0071612 模型建立因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为：Min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)在11：0012：00时间段内，只有Y1个人在工作，得：y1=8 在12：0013：00时间段内，有Y1+Y2个人在工作，得：y1+y2=8在13：0014：00时间段内，有Y1+Y2+Y3个

7、人在工作，得：y1+y2+y3=7在14：0015：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4个人在工作，得：y1+y2+y3+y4=1在15：0016：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5个人在工作，得：y2+y3+y4+y5=2在16：0017：00时间段内，Y1+Y2个人已下班，有Y3+Y4+Y5+Y6个人在工作，得：y3+y4+y5+y6=1在17：0018：00时间段内，Y1+Y2+Y3个人已下班，有Y4+Y5+Y6+Y7个人在工作，得：y4+y5+y6+y7=5在18：0019：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4个人已下班，有Y5+Y6+Y7+Y8个人在工作，得：y

8、5+y6+y7+y8=10在19：0020：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5个人已下班，得：y6+y7+y8+y9=10 在20：0021：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6个人已下班，得：y7+y8+y9+y10=6在21：0022：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5 +Y6 +Y7个人已下班，得：y8+y9+10y+y11=6由以上分析可构成一个整数线性规划模型，即：目标函数为：Min 16*( y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+ y9+y10+y11)整数现性方程的约束条件为：y1=8 y1+y2=8y1+y2+y3=7y1+y2+y3+y4

9、=1y2+y3+y4+y5=2y3+y4+y5+y6=1y4+y5+y6+y7=5y5+y6+y7+y8=10y6+y7+y8+y9=10y7+y8+y9+y10=6y8+y9+10y+y11=6 y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10，y11均为整数且均大于零。 1.3 模型求解将上述的整数线性规划模型输入LINGO 8.0，：Model:min=16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);y1=8;y1+y2=8;y1+y2+y3=7;y1+y2+y3+y4=1;y2+y3+y4+y5=2;y3+y4+y5+y6=1;y7+y6+y

10、4+y5=5;y5+y6+y7+y8=10;y9+y6+y7+y8=10;y10+y9+y8+y7=6;y11+y10+y9+y8=6;gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);gin(y6);gin(y7);gin(y8);gin(y9);gin(y10);gin(y11);end求解可以得到最优解如下Global optimal solution found at iteration: 7Objective value: 320.0000Variable Value Reduced CostX1 8.000000 16.00000X2 0.000000

11、 16.00000X3 0.000000 16.00000X4 0.000000 16.00000X5 2.000000 16.00000X6 4.000000 16.00000X7 0.000000 16.00000X8 6.000000 16.00000X9 0.000000 16.00000X10 0.000000 16.00000X11 0.000000 16.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 320.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 1.000000 0.0000005

12、 7.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 5.000000 0.0000008 1.000000 0.0000009 2.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 0.000000 0.000000临时工班次安排如下表班次(i)工作时间段最少需求员工总数固定员工数最少需求临时员工数新增临时工人数111：0012：009188212：0013：009180313：0014：009270414：0015：003210515：0016：003222616：0017：003214717：001

13、8：006250818：0019：00122106919：0020：001221001020：0021：0071601121：0022：007160由此可知，原题目中当第1班次上班的临时工作人员人数为8，第5班次上班的临时工作人员人数为2，第6班次上班的临时工作人员人数为4，第8班次上班的临时工作人员人数为6，第2、3、4、7、9、10、11班次不安排临时工上班时，我们可以得出此超市的开支最少，最少值为320元。二符号说明Xi表示在第i时段该超市使用连续工作3小时的临时工人数，i=1，2，,11；Yi表示在第i时段该超市使用连续工作4小时的临时工人数，i=1，2，,11； Min表示超市劳务开

14、支的最少值；2.1 问题2分析现 临时工每班工作可以为3小时，也可以为4小时，：目标仍然是：在满足超市需求的下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。 综合表一表二：班次(i)工作时间段最少需求员工总数固定员工数最少需求临时员工数XiYi111：0012：00918X1Y1212：0013：00918X2Y2313：0014：00927X3Y3414：0015：00321X4Y4515：0016：00312X5Y5616：0017：00321X6Y6717：0018：00615X

15、7Y7818：0019：0012210X8Y8919：0020：0012210X9Y91020：0021：00716X10Y101121：0022：00716X11Y11 22 模型建立因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为：min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);在11：0012：00时间段内，只有Y1+X1工作，得：y1+x1=8;在12：0013：00时间段内，有Y1+Y2+ X1+X2个人在工作，得：y1+y2+x1+x2=8;在13：0014：0

16、0时间段内，有Y1+Y2+Y3+ X1+X2+X3个人在工作，得：y1+y2+y3+x1+x2+x3=7;在14：0015：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4+ X2+X3+X4个人在工作，得：y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4=1;在15：0016：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5+X3+X4+X5个人在工作，得： y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5=2;在16：0017：00时间段内，有Y3+Y4+Y5+Y6+X5+X6+X4个人在工作，得：y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4=1;在17：0018：00时间段内，有Y4+Y5+Y6+Y7+X7+X

17、6+X5个人在工作，得：y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5=5;在18：0019：00时间段内，有Y5+Y6+Y7+Y8+X7+X6+X8个人在工作，得：y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8=10;在19：0020：00时间段内，仍有Y9+ Y8+Y7+ Y6+X7+ X9+X8个人在工作，得：y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8=10; 在20：0021：00时间段内，仍有Y10+Y9+Y8+Y7+X10+X9+X8个人在工作，得：y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8=6;在21：0022：00时间段内，得：y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9=6;由以上分

18、析可构成一个整数线性规划模型，即：目标函数为：min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);整数现性方程的约束条件为：y1+x1=8;y1+y2+x1+x2=8;y1+y2+y3+x1+x2+x3=7;y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4=1;y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5=2;y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4=1;y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5=5;y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8=10;y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8=1

19、0;y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8=6;y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9=6;x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11均为整数且均大于零。, 2.3 模型求解将下面的模型输入LINGO 8.0，：Medol:min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);y1+x1=8;y1+y2+x1+x2=8;y1+y2+y3+x1+x2+x3=7;y1+y2+

20、y3+y4+x2+x3+x4=1;y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5=2;y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4=1;y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5=5;y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8=10;y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8=10;y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8=6;y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9=6;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);gin(x8);gin(x9);gin(x10);gin(x11);gin(y1);gin(y2);gin(y3);

21、gin(y4);gin(y5);gin(y6);gin(y7);gin(y8);gin(y9);gin(y10);gin(y11);end求解可以得到最优解如下Global optimal solution found at iteration: 11 Objective value: 264.0000 Variable Value Reduced Cost X1 8.000000 12.00000 X2 0.000000 12.00000 X3 1.000000 12.00000 X4 0.000000 12.00000 X5 1.000000 12.00000 X6 0.000000 12

22、.00000 X7 4.000000 12.00000 X8 0.000000 12.00000 X9 0.000000 12.00000 X10 0.000000 12.00000 X11 0.000000 12.00000 Y1 0.000000 16.00000 Y2 0.000000 16.00000 Y3 0.000000 16.00000 Y4 0.000000 16.00000 Y5 0.000000 16.00000 Y6 0.000000 16.00000 Y7 0.000000 16.00000 Y8 6.000000 16.00000 Y9 0.000000 16.00000 Y10 0.000000 16.00000 Y11 0.000000 16.0000