数学建模课程与学生创新能力的培养

1、第20卷第4期2000年10月数学理论与应用MATH EMATICAL THEORY AND APPLICATIONSOct.2000数学建模课程与学生创新能力的培养X郑洲顺李学顺蔡海涛(中南大学,长沙410083摘要本文阐述了面对新世纪的挑战,培养学生创新能力的必要性,及数学建模课程与创新能力培养的关系.提出了通过数学建模课程培养学生创新能力的一些方法.关键词数学建模创新能力数学素质为了适应21世纪的新形势、面对新世纪知识经济的挑战,我国高等教育十多年来从教育思想的转变到教学内容、教学方法、教学手段的改革等方面都已经取得了可喜的成果.但是随着人类社会从工业经济时代进入知识经济时代,高等教育怎

2、样适应知识经济的发展,为21世纪培养高质量的具有创新能力的人才,仍然是一个值得认真思考和探索的问题.一、培养学生的创新能力是时代发展的需要二、数学建模与创新能力数学建模就是用数学的思想、方法和手段辅以计算机等现代化设备对实际问题进行抽象和合理假设、创造性地建立数学模型加以求解,再返回到实际中去解释、分析实际问题,验证、修改、并逐步完善数学模型,为人们解决实际问题提供科学依据和手段的过程.数学建模是一种数学的思考方法,是解决实际问题强力的工具,是沟通现实世界与数学世界的桥梁.数学建模是对现象和过程进行合理的抽象和量化,然后利用数学公式进行模拟和验证、应用计算机进行数值计算和模拟的一种方法,也是数

3、学应用于科学和社会最基本的途径,是创新人才所必备的数学素质的重要方面.X收稿日期:2000年1月由于计算机技术和计算可视化技术的发展,数学的应用已经渗透到现代生活的各个方面.从某种意义来讲,创新能力就是运用数学知识、数学思想、数学方法及计算机等当代高科技手段去解决各种实际问题的能力.它需要建立数学模型、选择方法、使用软件、进行数据处理,也需要提出新的思路、新的理论,在此基础上也可以产生新技术、新产品.数学建模能力的培养和训练不仅可以使学生进行严谨地逻辑思维、而且能更深刻地激发学生直觉思维和形象思维,使学生对实际问题的感受和领悟更加细致、敏锐,从而进一步增强学生的应用能力和创新能力.三、在数学建

4、模课程中培养学生的创新能力下面用一个实例来说明我们的一些具体做法.假设你计划用1000辆自行车在某城市开三家出租店分别记为1店、2店、3店.为了方便顾客,顾客可以从这三家出租店的任一家租车,还车时可以还到任意一家去.经过调查和分析已得出租还车的概率情况如下表:还车店租车店1231析.为了解决每个店应建多少个车位的问题,须清楚各店车辆的流动情况,分析出各店需停放车辆的最大数.我们将学生每三人分一组,三人分别考虑每辆最先存放在1店、2店、3店的车可能流动情况.这里仅介绍对一辆最先存放在2店的车的流动情况的讨论过程:(1将实际问题进行抽象简化、用数学语言描述,设x(i1,x(i2,x(i3分别表示第

5、i次观察时该车在1店、2店、3店的概率,用向量X(i=(x(i1,x(i2,x(i3T表示第i次观察时该车在1店、2店、3店的概率状态,则最初的状态为X(0=(0,1,0T.将上表中租还车的概率情况用矩阵于是容易得出:X(1=PX(0=(0.3,0.2,0.5T,X(i=PX(i-1.(2对用数学语言描述的关系进行求解、试算讨论,根据这一迭代公式,学生自己编程序用计算机计算,对计算的结果进行分析学生容易发现:对于i>11的X(i取到小数点后三位为止都等于X(11=(0. 577,0.230,0.213T,且随着i的增大稳定现象越来越明显,即向量序列X(i的极限存在.并且他们发现三人的结果

6、都一样,于是以任意的X(0代入计算,结论也是一样,仅只是计算的次数不同.这说明该极限只与P有关,而与X(0无关,记该极限为X.若能求出这一极限X,则上面的问题便能得到解决了.对X(i=PX(i-1两边取极限得:X=PX,即(I-PX =0.解这个齐次线性方程组得其通解为X=k(34/13,14/13,1T,又因x1+x2+x3=1,从而得出X=(34/61,14/61,13/61T U(0.577,0230,0.213T(取到小数点后三位为止.(3用求解的结果解释实际问题、给出实际问题解决方案,所得的结论表明在这一实际问题中,最先存放在任一店的任意一辆自行车最后回到1店的概率为01577、回到

7、2店的概率为01230、回到3店的概率为01213,即每辆自行车最后分别回到1店、2店、3店的概率与其初始存放店无关.因此,无论最先存放在哪个店的车经过一段时间后需要修理寻找的顺序都是1店y2店y3店.若计划用1000辆自行车出租,则1店至少要有可存放558辆自行车的店堂;2店至少要有可存放230辆自行车的店堂;3店至少要有可存放213辆自行车的店堂.(4对解题过程进行推广,就这一实际问题提出一序进一步探讨的问题,如这一实例是否具有一般性?能否将上面的结论进行推广?等等,让学生讨论;并给出与上面实际问题类似一些实际问题让学生解决.然后和学生一起共同探讨矩阵P的特点和性质,引导学生学习了解马尔可

8、夫(Markov过程的基本知识;让学生通过查询资料和文献主动、迅速地学习和理解相关的新知识和经验.在这一教学过程中,自始至终都是以解决实际问题为目的、以实践为中心、以学生为中心、师生共同探讨的方式进行,在数学建模课程中,我们强调师生要象前人创造知识那样去思考,去再发现问题,在解决问题的各种学习实践活动中尽力提出有新意的见解和方法,在积累知识的同时注意培养和发展创新能力.四、数学建模课程能培养学生的创新能力和综合素质首先,数学建模课程是通过大量生动有趣的实例激发学生兴趣和热情,引导学生不断地获取新知识、使用新方法和新技术,在分析问题、获取知识、提出思路和解决问题的过程中培养学生的创新意识和创造能

9、力.其次,由于数学建模课程的教学是以培养学生分析、解决实际问题的能力为目的.通过生动有趣的典型实例,以学生为中心、以实践为中心、师生共同探讨解决问题的方法或方案, 6数学理论与应用第20卷这种教学方式彻底改变了以教师、教材为中心的传统应试教育的教学方式.在数学建模的教学过程中,师生要象前人创造知识那样去思考,去再发现问题,在解决问题的各种学习实践活动中尽力提出有新意的见解和方法,在积累知识的同时注意培养和发展创新能力.再次,通过数学建模竞赛的训练,数学建模课程的教学的实践已证明,在数学建模课程中可是学生创新能力的下列方面得到培养和提高:(1洞察能力,即善于从实际工作者提供的原型中抓住其数学本质的能力.(2双向翻译能力,即把实际问题抽象、简化为数学问题的能力和把由数学方法推导或计算得到的结果用于解释、分析实际问题的能力.(3新知识的摄取与应用能力.数学建模课程联系实际领域宽广、实际案例丰富,通常在教科书及参考文献中是无例可循的.这样就能训练学生通过资料查询、文献检索等手段了解问题的背景和实际意义,迅速获取相关的新知识和经验,并将所获得的新知识和经验创造性地用于解决实际问题的能力.(4团结协作的能力.数学建模过程相当于进行一次