普陀区数学(理科)试卷(附答案)

1、高三质量调研数学试卷参考答案及评分标准(PT04)一、填空题（每小题4分，满分56分）：1. 1或3； 2. -4； 3. 理：；文：； 4. ； 5. 理：6；文：1； 6. ； 7. ； 8.理：；文：B；9. ； 10. 60°； 11. ； 12. ；13. 理：3.13；文：10； 14. 理：；文：.二、选择题（每题4分，满分16分）： 题号15161718答案ADBC三、解答题： 19.（满分14分）（文）解：由命题为真，可得;由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到，故两个命题同时为真的实数的取值范围是.（理）解：若命题为真，可得;若命题为真，可知复

2、平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到, 若令集合，集合，可知集合和集合之间互不包含，于是命题和命题之间不存在推出关系.FADCEB20. （文）解法一：联结BD，在中，由余弦定理得 所以.再由正弦定理得.在中，因为，故，所以.解法二：如图，以点B为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，FADCEBxy由条件可得点的坐标为，点的坐标为，故直线的方程为，和圆方程联立得可解得和，即得点的坐标为.于是，得，故向量和的夹角的余弦值为，即.所以，.注：20题理科解答参看文科22题.21. 解：（1）设电视广告播放量为每天次时，该产品的销售量为（，）.由题意，于是当时，（）.所以，该产品每天

3、销售量（件）与电视广告播放量（次/天）的函数关系式为.（2）由题意，有.（）所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.22.（文）解: (1) 由 (1) ， 得 (2)，由 (2)-(1) 得 , 整理得 ，.所以，数列，是以4为公比的等比数列.其中, 所以，. （2）由题意，.当时， 所以，.注：（理科20题续）又当时，. 故综上，当时，；当时，.（3）由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有 ，当时，向量不符合条件；当时，由，而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线

4、的方向向量.解法二：同解法一，由假设可得，当时，由 ，不妨设，即为故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.22.（理）解：（1）设椭圆的标准方程为（），由椭圆定义知焦距，即.又由条件得，故由、可解得，.即椭圆的标准方程为. 且椭圆两个焦点的坐标分别为和.对于变换：，当时，可得设和分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，即的坐标为；又即的坐标为.（2）设是椭圆在变换下的不动点，则当时，有，由点，即，得：，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和.(3) 设是双曲线在变换下的不动点，则由因为，故.不妨设双曲线方程为（），由代入得则有,因为，故当时，方程无解；当时，要使不动点存在，则

5、需，因为，故当时，双曲线在变换下一定有2个不动点，否则不存在不动点.进一步分类可知：（i）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，；此时双曲线在变换下一定有2个不动点；（ii）当，时，即双曲线的焦点在轴上时，.此时双曲线在变换下一定有2个不动点.23. （文）解：（1）（2）基本同理22题（略）（3）由（2）可知，曲线在变换下的不动点需满足.情形一：据题意，不妨设椭圆方程为（），则有.因为，所以恒成立，因此椭圆在变换下的不动点必定存在，且一定有2个不动点.情形二：设双曲线方程为（），则有,因为，故当时，方程无解；当时，故要使不动点存在，则需，因此，当且仅当时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在

6、不动点.进一步分类可知，(i) 当，时，.即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.(ii) 当，时，.即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.23（理）解：（1）由题意，当，时，则有或，.即或，.又因为，故在内的解集为.（2）由题意，的方程为.在该直线上，故.因此， 所以，的值域.又的解为0和，故要使恒成立，只需，而，即，所以的最大值.（3）解：因为，设周期.由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.因此，根据三角函数的图像特征可知，.又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，.（i）当时，进一步要使处取得最小值，则有，；又