数学建模-淋雨模型

1、淋雨量模型摘要步入雨季，降雨天气逐渐开始在人们的日常生活中频繁出现起来，与此同时，突如其来的雨水也常常带给无准备的人们淋成落汤鸡的窘境。面对骤雨，大多数人在通常情况下会选择快速奔跑以希求淋雨最少。然而这样真的能淋雨最少吗？以此日常情景为背景提出了四个问题，本文运用几何知识、物理知识等方法成功解决了这四个问题，得到了在不同的降雨条件下人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。并针对不同降雨条件给出了淋雨量最少的方法。针对问题一，条件给出：不考虑雨的方向，降雨淋遍全身；确定淋雨量为人体表面积与单位面积降雨量及淋雨时间之积针对问题二，根据已知条件（雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平

2、面内，且与人体的夹角为），对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。并对函数求导分析最小淋雨量对应速度。针对问题三，在雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为的条件下，对雨线的速度分别沿水平、竖直方向正交分解，并综合考虑人的速度与雨线速度的制约关系，建立模型，得出函数模型。并对函数分析最小淋雨量对应速度。以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对函数用Excel作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。针对问题四，综合考虑前三种情况的共同作用，并基于前三种模型进行修正。最后，对所建立的模型和求解方法的方法的优缺点给出了

3、客观的评价，并指出误差所在。关键字：淋雨量雨速大小 雨速方向 跑步速度 路程远近一、 问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，

4、c，d，u，之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。计算=0，=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。计算=30°的总淋雨量.（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？二、 问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。可得：淋雨量（V）=降雨量（）

5、×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t） 时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v） 由 得： 淋雨量（V）=×S×d/v三、 模型假设（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、 定义与符号说明 淋雨量 V 降雨量 人体淋雨面积S 淋浴时间 t 跑步距离 d 跑步速度 v 人高 a 人宽 b 人厚 c五、 模型求解（一）、模型建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S2ab+2ac

6、+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V×S×d/v2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)将相关数据代入模型中，可解得：S2.2（）V0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)、模型建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为. ，且 0°<<90°，建立a，b，c，d，u，之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为usin且方向与v相反，故人相对于雨的水平

7、速度为：(usin+v) 则前部单位时间单位面积淋雨量为：（usin+v）/u又因为前部的淋雨面积为：ab，时间为： d/v于是前部淋雨量V2为 ：V2=(ab)(usin+v)/u(d/v)即：V2=abd(usin+v)/(uv) （2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为(cos)，顶部面积为(bc) ，淋雨时间为(d/v) ，于是顶部淋雨量为：V1=bcdcos/v 由可算得总淋雨量 :V=V1+V2=bcdcos/v+abd(usin+v)/(uv)由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人

8、的夹角（）两者有关。对函数V（v）求导，得：显然：V'<0， 所以V为v的减函数，V随v增大而减小。 因此，速度v=vm=5m/s ，总淋雨量最小。（）当=0，代入数据，解得：V0.0011527778（m³）1.153（L）（）当=30°，代入数据，解得：V0.0014025(m³)1.403（L）（三）、模型建立及求解：若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）设雨从背部吹来时与人体夹角为， 且0°90°,建立a，b，c，d，u，之间的关系为：（1）、

9、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量 V1 ，它与模型中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V1=bccos(d/v)=bcdcos/vusin-v ，vusin（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：v-usin ，v>usin(usin-v)/u ，vusin 从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：(v-usin)/u ，v>usinV3=abd(usin-v)/u ，vusin可得人背部淋雨量为： V3=abd(v-usin)/u ，v>usin而总淋雨量：V=V1 V3V=bcdcos/v+abd(usin-v)/u ，vusin从

10、而有：V=bcdcos/v+abd(v-usin)/u ，v>usin 化简式得：V=bd(ccos+asin)/v-a /u，vusin V=bd(ccos-asin)/v+a/u，v>usin ，vusinV=(0.2cos+1.5sin)/v-0.375/360，v>usin 代入相关数据化简得：V=(0.2cos-1.5sin)/v+0.375/360由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。（）、 当vusin时，且0°90°，可得：c cosa sin>0对式求导，易知V'<0；所

11、以，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少， 因此，v=usin 总淋雨量最小。（）、当v >u sin时，且0°90°，对式求导，()、当1.5sin0.2 cos<0时，即 ：tan<2/15,即V<0；从而推出，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少，所以，速度v=vm ，总淋雨量最小。 （）、当1.5sin0.2 cos>0时，即 ：tan>2/15,即V>0；从而推出， 总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加，所以，当速度（v）取最小， 即v=u sin 总淋雨量最小。当30°，tan>2/15 ，由

12、模型分析的，当v=u sin=4×1/2=2（m/s） 总淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)四：根据问题3中所求的降雨量然后对式子分别求导可以画出如下的图usin-v ，vusin人相对于雨的水平速度为： v-usin ，v>usin，V3=abd(usin-v)/u ，vusin则人背部淋雨量为： V3=abd(v-usin)/u ，v>usin则人的总淋雨量为V=V1+V2+V3六、 模型分析 （1）在该模型中考虑到雨的方向问题，这个模型跟模型二相似，将模型二与模型三综合起来跟实际的生活就差不多很相似了 。 由这三个模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（2）若雨迎面吹来时，跑得越快越好（3）若雨从背面吹来时，分为两种情况：当tan>c/a时