直接证明与间接证明练习题

1、2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1 .综合法 是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的 证明方法。2 .分析法 是从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的 充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条 件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。3 .反证法 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法;它是一种间接的证明方 法.反证法法证明一个命题的一般步骤： 假设命题的结论不

2、成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1 :对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足以下三条：对任意的 x 0,1 ,总有 f(x) 0 ; f(1) 1 ;若 X1 0,X2 0,X1 X2 1 ,都有f (X1 X2) f(X1)f(X2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数g(x) 2X 1 (x 0,1)是否为理想函数，并予以证明；解析：(1)取 X1 X2 0 可得 f(0) f (0) f(0)f(0) 0.又由条件f(0) 0

3、,故f(0) 0.(2)显然g(x) 2X 1在0 , 1满足条件g(x) 0;也满足条件g(1) 1 .若X1 0 , X2 0 , X1 X2 1,则g(X1X2)g(X1)g(X2)2X1X21(2X11)(2X21)2X1 X2 2X1 2X2 1 (2X2 1)(2X1 1) 0 ,即满足条件， 故g(x)理想函数.注：紧扣定义，证明函数g(x) 2X 1(X 0,1)满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题14例2:已知：0 a 1 ,求证：1 9.a 1 a一、一 14证明：: 0 a 1.要证1 9,a 1 a去分母后需要证：(1a) +4a9a (1a),移项合并同类项，即需

4、要证：9a26a+10,2即要证；3a 10 (1)而(1)式显然成立，原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3 :已知f(x) ax 2(a 1),证明方程f(x) 0没有负数根x 1X0x02解析：假设x。是f(x) 0的负数根，则 0且x。1且a 二 7x0Ix0x0 20 a 107 1 ,斛得一 x0 2这与x0 0矛盾，x 12故方程f(x) 0没有负数根注：(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难, 适宜用反证法0即 “正难则反；(2)反证法步骤：假设结论不成立一推出矛 盾一假设不成立，。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程a

5、x2 bx c 0(a 0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是().A、假设a,b,c都是偶数B、假设a,b,c都不是偶数C、假设a,b,c中至多有一个偶数D、假设a,b,c中至多有两个偶数答案；B2 .若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案：B3 .已知a,a2a3 0, 则使得(1 dx)2 1 (i 1,2,3)都成立的x取值范围是 (B )A. (0, -)B (0, -)C.aiai(0, -)D. (0,-)a3a32,2.提小；(1aix)1 g (0, 一)，由x a

6、aiaa2a302a122a2a3得出结论填空题f(x)4x4x 21“1001)答案：5002f(1001)1000f ()=10015 .如图，在平面直角坐标系xoy中，设二角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0, p)在线段AO上的一点(异于端点)，这里a,b,c, p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F ,某同学已正确求得直线OE的方程为1 1 b c方程：_()x - - y 0oP a答案：1 1 c b口1 y 0 ,请你完成直线OF的P a12 34 5 67 8 9 106 .将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排

7、列的规律，第n行(n 3)从左向右的第3个数为答案：n2 n 202解答题7 .若a b c d 0且a d b c,求证：d a Jb 品解析要证而 解析假设a b(1 )a (1 )b 0,(a b),则a,b不平行,0,因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10 .已知a、b、c成等差数列且公差d 0,求证：1、1、1不可能成等差数 a b c列解析a、b、c成等差数列， 2b a c假设 l、1、1成等差数列，则2 1 1 (a c)2 4ac (a c)2 0, a c a b cb a c从而d 0与d 0矛盾， 工、1、1不可能成等差数列a b c11 .已知 f(x) In

8、x 证明：f (1 x) x (x 1)解析即证：ln(x 1) x 01x设 k(x) ln( x 1) x,则 k(x) 1 .x 1 x 1当xC (-1, 0)时，k (x)0,，k(x)为单调递增函数；当xC (0, oo)时，k (x)0,k(x)为单调递减函数；x=0为k(x)的极大值点，.k(x)k(0)=0.即 ln(x 1) x 0f(1 x) x (x 1)12.已知函数 y |x| 1, y Jx2 2x 2 t , y 1(x 1-t) (x 0)的最小值恰 2 x好是方程x3 ax2 bx c 0的三个根，其中0 t 1.求证：a2 2b 3;解析三个函数的最小值依

9、次为1 , Gt , VT-t ,由 f (1) 0 ,得c a b 1,一、 32,32,f (x) x ax bx c x ax bx (a b 1)(x 1)x2 (a 1)x (a b 1),故方程 x2 (a 1)x (a b 1) 0 的两根是 71t , St .故 GT 7T7 (a 1) , VT7 a b 1. (VT7 VT7)2 (a 1)2,即 2 2(a b 1) (a 1)2a2 2b 3 .改变后直接证明与间接证明1 .用反证法证明命题：若整系数方程ax2 bx c 0（a 0）有有理根，那么a,b,c中 至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设a,b

10、,c都是偶数B、假设a,b,c都不是偶数C、假设a,b,c中至多有一个偶数D、假设a,b,c中至多有两个偶数2 .若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定4x3.右 f (x)4x2f (1001)1000f ()=10010且 a d b c,求证：声 Ja Jb Vc5 .在锐角三角形 ABC中，求证：sin A sinB sinC cosA cosB cosC6 .设a,b为非零向量，且a,b不平行，求证a b, a b不平行7 .已知a、b、c成等差数列且公差d 0,求证：1、1、1不可能成等差数列 a b c8 .对于定义域为0,1的函数f (x),如果同时满足以下三