数学归纳法的变式及应用（课堂PPT）

1、1数学归纳法的几种变式及其数学归纳法的几种变式及其应用应用专业：专业： 数学与应用数学数学与应用数学姓名：姓名： 导师：导师：2目录目录1.引言引言2.数学归纳法数学归纳法3.数学归纳法的变式数学归纳法的变式4.数学归纳法和反证法的关系数学归纳法和反证法的关系5.关于数学归纳法的若干说明关于数学归纳法的若干说明6.总结总结31.引言引言 数学归纳法是一种完全归纳法。它数学归纳法是一种完全归纳法。它是一种常用于证明与正整数集有关命题是一种常用于证明与正整数集有关命题的重要论证方法，在几何证明和代数证的重要论证方法，在几何证明和代数证明中都有着广泛的应用。明中都有着广泛的应用。42.数学归纳法数学

2、归纳法第一类数学归纳法（数学归纳法）第一类数学归纳法（数学归纳法）第一类数学归纳法的基本形式为：第一类数学归纳法的基本形式为：设设 是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题，如果的命题，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假设假设 成立，则成立，则 也成立；也成立； p k1p k p n那么，那么， 对任意自然数对任意自然数n都成立。都成立。5第二类数学归纳法第二类数学归纳法 第二类数学归纳法又称串值归纳法，它的基第二类数学归纳法又称串值归纳法，它的基本形式为：本形式为：设设 是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题，如果的命题，如果 p n(1) 成立；成立； 1p(2) 假设假

3、设 对于所有适合对于所有适合nk的正整的正整数数n成立，则成立，则 也成立；也成立； p n p k那么，那么， 对任意自然数对任意自然数n都成立。都成立。 p n6例例2.3.2 证明可以仅用证明可以仅用4分和分和5分邮票来组成分邮票来组成等于和超过等于和超过12分的每种邮资。分的每种邮资。12 , 13 , 14 ,15pppp(1) 当当n=12,13,14,15时，命题时，命题 为真。为真。票加上票加上1个个4分邮票就可以了。分邮票就可以了。为了组成为了组成n+1分邮资，用组成分邮资，用组成n-3分邮资的邮分邮资的邮即可以用即可以用4分和分和5分邮票来组成分邮票来组成k（ ）分邮分邮资

4、。资。(2) 对于任意自然数对于任意自然数n 15,假定命题假定命题 为真为真 p n15kn7两类数学归纳法是等价的两类数学归纳法是等价的 第一数学归纳法和第二数学归第一数学归纳法和第二数学归纳法是等价的，即用第一数学归纳纳法是等价的，即用第一数学归纳法证明的法证明的 可以用第二数学归纳可以用第二数学归纳法证明，反之亦然。法证明，反之亦然。 p n83.数学归纳法的变式数学归纳法的变式 1 跳跃归纳法跳跃归纳法跳跃归纳法的基本形式为：跳跃归纳法的基本形式为：那么，那么， 对任意自然数都成立。对任意自然数都成立。 p n数数k+l正确；正确；(2) 假设对于自然数假设对于自然数k正确，就能推出

5、命题对自然正确，就能推出命题对自然(1) 成立；成立； 12ppp l、设设 是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题，如果的命题，如果 p n9反归纳法的基本形式为：反归纳法的基本形式为：设设 是一个关于自然数是一个关于自然数n的命题，如果的命题，如果(1) 对无穷多个自然数成立；对无穷多个自然数成立；(2) 假设假设 对于自然数对于自然数k正确，就能推出正确，就能推出命题对自然数命题对自然数k-1正确；正确；那么，那么， 对任意自然数对任意自然数n都成立。都成立。 p n p n p n p n2 反归纳法（倒推归纳法）反归纳法（倒推归纳法）10例例 求证求证n个正实数的算术平均值大于或等

6、个正实数的算术平均值大于或等于这于这n个数的几何平均值，即个数的几何平均值，即nnnaaanaaa2121证明：证明：(1)当当n=2时，时， 因此命题因此命题对对n=2正确。正确。当当n=4时，时， 因此命题对因此命题对n=4正确。正确。同理可推出命题对同理可推出命题对都正确（都正确（s为任意自然数）。为任意自然数）。 21212aaaa224341234121234()()()224aaaaaaaaa a a a342 , 2 , , 2snnn11 (2)设命题对设命题对n=k正确，令正确，令则则 由归纳假设命题对由归纳假设命题对n=k正确，正确，所以所以所以所以即即1,121121ka

7、aaskaaaskkkkksaaaskkk11211121111211S()kkkkkkkaaasa aask11121Skkka aa11211211kkkaaakaaa12 命题对命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。知，命题对一切自然数成立。 第一类数学归纳法的关键是：由第一类数学归纳法的关键是：由 成立往后推出成立往后推出 也成立；而反归纳法也成立；而反归纳法的关键恰是：由的关键恰是：由 成立往前推出成立往前推出 成成立。立。 p k1p k p k1p k 13双归纳法的基本形式为：双归纳法的基本形式为：设命题设命题P与两个独立的自然数

8、对与两个独立的自然数对m与与n有有关，若关，若(1) 命题命题P对对m=1与与n=1是正确的；是正确的；(2) 从命题对自然数对从命题对自然数对（m,n）正确就能推正确就能推出该命题对自然数对出该命题对自然数对（m+1,n）正确，和对正确，和对自然数对自然数对（m,n+1）也正确；也正确；则命题则命题P对一切自然数对对一切自然数对（m,n）都正确。都正确。3 双归纳法（二元归纳法）双归纳法（二元归纳法）14跷跷板归纳法的基本形式为：跷跷板归纳法的基本形式为：有两个命题有两个命题 , 如果如果(1) 正确；正确；(2) 假设假设 正确，那么正确，那么 也是正确的；也是正确的；(3) 假设假设 正

9、确，那么正确，那么 也是正确的；也是正确的；那么，对于任意自然数那么，对于任意自然数n, 命题命题 都是正都是正确的。确的。,nnA B1A1kAkAkBkB,nnA B4 跷跷板归纳法与螺旋式上升归纳法跷跷板归纳法与螺旋式上升归纳法15例例 已知数列已知数列1，3，7，12，19，27，37，48，61设设 为其第为其第n项，项， 为其前为其前n项的和，其中项的和，其中 求证：求证：nSna22213 ,311llalal l2221211431 , 431 .22llSlllSlll证明：令证明：令 为为 ； 为为 为为nA22114312nSnnnnB2214312nSnnn(1) ，

10、即即 是正确的。是正确的。11S 1A16(2) 假设假设那么那么即，假设即，假设 是正确的，那么是正确的，那么 也正确。也正确。22114312kSkkk222221211431343122kkkSSakkkkkkkkAkB即，假设即，假设 是正确的，则是正确的，则 也正确。也正确。kB1kA(3) 假设假设 ，那么，那么2214312kSkkk 22212212322114313114316122211149721 4521 41311222kkkSSakkkk kkkkk kkkkkkkkkk 因此，因此， 对任何自然数都是正确的。对任何自然数都是正确的。,nnA B17说明：作为说明：

11、作为“跷跷板归纳法跷跷板归纳法”的推广，还的推广，还可能要使用若干结论螺旋式上升的证明方可能要使用若干结论螺旋式上升的证明方法，这种方法的基本形式为：法，这种方法的基本形式为：有五个命题有五个命题 ，如果，如果(1) 是正确的；是正确的；(2) 那么，这五个命题都是正确的。那么，这五个命题都是正确的。,nnnnnA B CD E1A1, , , , kkkkkkkkkkABBCCDDEEA18 数学归纳法和反证法的关系数学归纳法和反证法的关系 凡是用数学归纳法证明的命题凡是用数学归纳法证明的命题 都可以用反证法来证明，因而数学归纳都可以用反证法来证明，因而数学归纳法在使用上可以用反证法来代替，

12、反之法在使用上可以用反证法来代替，反之不然。不然。 p n19 每一种形式的数学归纳法都有两个步每一种形式的数学归纳法都有两个步骤，第一步是验证步骤，第二步是归纳步骤，第一步是验证步骤，第二步是归纳步骤。这两步相辅相成，缺一不可。骤。这两步相辅相成，缺一不可。 下面这个例子就是很好的说明。下面这个例子就是很好的说明。5.关于数学归纳法的若干说明关于数学归纳法的若干说明20例例 二项式二项式 曾引起数学家们的极大曾引起数学家们的极大兴趣，最使数学家们感性趣的是把它分解兴趣，最使数学家们感性趣的是把它分解为具有整系数因子的乘积。为具有整系数因子的乘积。1nx 对许许多多特殊对许许多多特殊n的值，考

13、查的值，考查 的分解式。数学家们发现：在分解式中，的分解式。数学家们发现：在分解式中，x的各次幂的所有系数的绝对值都不超的各次幂的所有系数的绝对值都不超过过1。实际上，。实际上，1nx 2123242543262211,111 ,111 ,1111 ,111 ,11111 ,xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2248474643424039363534333231282624222017161514413127519862221.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 这表明它不具有所说的性质。这表明它不具有所说的性质。所有次数小于所有次数小于105的二项式都具有所说的性的二项式都具有所说的性质，但当质，但当n=105时，时， 的一个分解因子的一个分解因子是是1051x23 许多证明起来比较复杂的数学命题许多证明