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文档简介

1、 第八节 高斯公式和格林公式的运用1、（空间第一公式）设S为光滑闭曲面，S围成区域为V，在V，S上有二阶连续的偏导数，有连续的偏导数，证明：1) ；2) .2、.V,S条件同上题，函数为V上有连续的二阶偏导数，证明：. 3、V,S条件同上题，函数为V上有连续的二阶偏导数，且.证明：4、 V,S条件同上题，函数为V上有连续的二阶偏导数，且证明：。证明 在第 3题公式中,取，得到，从而，故成立5.（空间第二公式），这里区域V的边界为S，在V+S有二阶连续的偏导数，为S的单位外法线方向.例1. 设是高斯公式中的闭区域，表示的单位外法向量场.求证：（1）；（2）；（3），（此公式称为格林第二公式，非常

2、有用.这三个公式实质上多重积分的分部积分公式.）证明（1）应用高斯公式，得 ；（2）应用高斯公式，得；（3）利用（2）的结果，得，此两式两边分别相减，即得 .例 2. 设在单位圆盘上具有连续的二阶偏导数，且，证明 .证明 取，显然；利用格林公式，并利用条件，得 .例3. 设是上二次连续可微函数，满足，计算积分.解 设，利用格林公式, 并利用条件，得 .例4. 设在单位圆盘上具有连续的一阶偏导数，且，试证 成立 ，其中.证明 取，显然；记，利用格林公式，并利用条件，得，即结论得证.或者利用在极坐标表示下有，即结论得证.例5 设在单位圆盘上具有连续的二阶偏导数，且，证明 .证明 取，显然；利用格林公式，并利用条件，得 .例6、

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