高等代数张禾瑞矩阵

1、第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。2. 了解几种特殊矩阵的性质。教学内容：5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F是一个数域。用F的元素aij作成的一个m 行n 列矩阵 A= 叫做F上一个矩阵。A 也简记作（aij）。为了指明 A的行数和列数，有时也把它记作Amn或（aij ）mn。 一个 m行n列矩阵简称为一个m*n矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n阶正方阵，或n阶矩阵。 F上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。以下提到矩阵时，都

2、指的是数域F上的矩阵。我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。先引入前两种运算。2 矩阵的线性运算定义 1 数域F的数 a 与F上一个m*n 矩阵A=(aij) 的乘法aA指的是m*n 矩阵（aaij） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(aij)，B=(bij) 的和A+B指的是m*n 矩阵（aij+bij）。注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(aij )，我们就把矩阵（- aij），叫做A 的负矩阵，记作A。3 矩阵线性运输的规律A+B=

3、B+A；(A+B)+C=A+(B+C)；0+A=A；A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab；(a+b)A=Aa+Ba ；a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F中的任意数。利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：AB=A+（B）。于是有A+B=CA=CB。由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4 乘法定义 3 数域F 上的m*n矩阵A=(aij)与n*p矩阵B=(bij) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I行第j列（I=1,2,，m; j=1,2, p） 的元素cij等于A的第I行的元素与B的第j列的对应元素

4、的乘积的和： cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj。 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子: =.5 矩阵乘法的运算规律：对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如： .矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 p¹ m时 AmnBnp有意义，但BnpAmn没有意义。其次，AmnBnp 和BnmAmn虽然有意义，但是当m¹n时，头一个乘积是m阶矩阵而第二个是n阶矩阵，它们不相等。最后，AnnBnn和BnnAnn虽然都是n阶矩阵，但它们也未必相等。 例如

5、但是距阵乘法满足结合律: (AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np, C=(cij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(uij), BC=V=(vij).由距阵乘法知, = , ,因此(AB)C=UC的第I行第j列的元素是 (1) 另一方面, A(BC)=AV 的第I行第 j列的元素是(2) 由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质.我们把主对角线上(从左上角到右下角

6、的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是0的n阶正距阵1 0 00 1 00 0 1叫做n阶单位距阵 ，记作In,有时简记作I.In显然有以下性质：InAnp=Anp; AmnIn=Amn.距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律： a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r个距阵A1,A2, Ar,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我

7、们可以把因子任意结合，而乘积A1A2A r有完全确定的意义。特别，一个n阶正方阵A的r 次方（r 是正整数）有意义 我们再约定 A0=I这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。设 f(x)=a0+a1+amxm是Fx中有确定的意义，它仍然是F 上的一个n阶正方阵，我们将它记作f(x): f(A)=a0I+a1A+amAm.如果f(x), g(x)Fx,而A 是一个 n阶距阵，令 u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x) 于是有 u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5 距阵的转置 定义4 设m*n距阵 a11 a12 a1n A= a21 a22

8、a2n am1 am2   amn把A的行变为俩所得到的n×m距阵 a11 a21 am1A= a12 a22 am2 a1n a2n amn 叫A 的转置距阵的转置规律a) (A)=A,b) (A+B)=A+Bc) (AB)=BAd) (aA)=aA 我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A= , B= 首先容易看出,(AB)和BA都是pm矩阵.其次,位于(AB)的第i行第j列的元素就是位于AB的第j行第i列的元素,因而等于 aj1b1i+aj2b2i+ajnbni. 位于BA的第i行第j列的元素等于B的第i行的元素与A的第j列的对应元素的乘积之和,因而等于B的第i列

9、的元素与A的第j行的对应元素的乘积之之和: b1iaj1+b2iaj2+bniajn 上面两个式子显然相等,所以(5)成立.等式(4)和(5)显然可以推广到n个矩阵的情形,也就是说,以下等式成立: (A1+A2+An)=A1+A2+An , (A1A2An)=AnAn-1A2A15.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 教学目的： 1 掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。2 掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。教学内容：1 逆矩阵的定义： 令 A是数域F上的一个n阶矩阵。若是存在F上n阶矩阵B，使得 AB=BA=I，那么A叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。

10、若是矩阵A可逆，那么A的逆矩阵由A唯一决定。事实上，设B和C都是A的逆矩阵： AB=BA=I，AC=CA=I。那么 B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C。2 逆矩阵的性质：我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用A-1来表示。我们有以下简单的事实：可逆矩阵A的逆矩A-1也可逆，并且 （A-1）-1=A这由算式 AA-1=A-1A=I可以直接推出。两个可逆矩阵A和B的乘积AB也可逆，并且 （AB）-1=B-1A-1这是因为 （AB）(B-1A-1)=（B-1A-1）(AB)=I一般，m个可逆矩阵A1，A2，Am的乘积A1A2Am也可逆，并且（A1A2Am）-1=Am-1 A2-1

11、A1-1可逆矩阵A的转置A也可逆，并且 （A）-1=（A-1）这是因为求等式 AA-1=A-1A=I中三个相等的矩阵的转置，得 （A-1）A=A(A-1)=I=I一个n阶矩阵未必可逆。例如，令 a11 a12 A= 0 0 而B是任意一个2阶矩阵。那么乘积AB的第二行的元素都是零，因此不存在二阶矩阵B，使AB=I，从而A不是可逆矩阵。3 初等变换首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵： i列 j列 1 1 0 1 i 行 1 Pij = 1 1 0 j行 1 1 i 列 1 1 Di(k) = k i行

12、1 1 i列 j列 1 1 k i 行 Tij(k) = 1 j行 1 这里没有注明的元素在主对角线上的都是1，在其它位置的都是零。通过验算容易看出：交换一个m×n矩阵A的第和第i 和第j行或第i和第j 列，相当于把A左乘以m阶矩阵Pij或右乘以n阶矩阵Pij；把A的第i行或列乘以数k，相当于把A左乘以m阶的Di(k)，或右乘以n阶的Di(k)；把A的第j行乘以数k后加到第i行相当于把A左乘以m阶的Tij(k),把A的第j列乘以数k后加到第i列相当于把A右乘以n阶的Tij(-k)初等变换都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等变换。因为容易验证： P-1ij=Pij ; Di(k)-1=

13、Di( ), Tij(k)-1=Tij(-k)现在容易证明以下引理 5.2.1 设对正方阵A施行一个初等变换后，得到矩阵A，那么A可逆的充分且必要条件是 可逆。证 我们只就行初等变换来证明这个引理，列初等变换的情形可以完全类似地证明。设是通过对A施行一个行初等变换而得到的。那么存在一个对应的初等矩阵E，使得（1） =EA由于初等矩阵E是可逆的，（1）式说明，当A可逆时，是两个可逆矩阵的乘积。因为也可逆。另一方面，用E的逆矩阵E-1左乘（1）式的两端，得（2） E-1=E-1EA=IA=A因为E-1也可逆，由（2）式得，当可逆时，A也可逆。引理说明，矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换

14、而有所改变。由定理4.1.2，给了任意一个m×n 矩阵A，总可以通过行初等变换和交换两列的初等变换，把A化为以下的一个矩阵： 1 0 0 c1,r+1 c1n 0 1   0 c2,r+1 c2n （3） 0 0 1 cr,r+1 crn 00 00 继续对 （3）施行第三种列初等变换，显然可以把cij都化为零，因此，我们有定理 一个m×n 矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。 = 这里Ir 是r 阶单位矩阵，Ost表示s×t的零矩阵、r等于A的秩。 特别，当A是一个n阶矩阵时，上面的矩阵是一个对角矩阵（即主对角线以外的元素都是0的矩阵）。根

15、据引理5.2.1，n阶矩阵A是否可逆，决定于是否可逆。然而对角矩阵是否可逆很容易看出。当等于单位矩阵I时，可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当不等于I时，至少有一个元素全是零的行，因而右乘以任意一个n阶矩阵B，所得的乘积B中也至少有一个元素 全是零的行，所以不可逆。这样，n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵I 。4 矩阵可逆的条件：定理 n阶矩A可逆，当且它可以写成初等矩阵的乘积。证 A可以通过初等变换化为单位矩阵I，就是说，I可以通过初等变换化为A，也就是说，存在初等矩阵E1,Es,Es+1,Et，使 A=E1EsIEs+1Et =E1EsEs+1Et 定理 5.2.4 n阶

16、矩阵A可逆当且仅当A的秩等于n。证 A可以通过初等变换化为单位矩阵I。就是说，A的秩等于n。 我们把n阶矩阵 A= 的唯一的n阶子式 a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 叫做矩阵A的行列式，记作|A|。我们知道，A的秩等于n的充分且必要条件是 |A|0。于是由定理5.2.4得 定理 5.2.5 n 阶矩阵A可逆，当且仅当它的行列式 |A|0我们常需要求出一个可逆矩的逆矩阵来。现在给出两种求逆矩阵的方法。第一种还是要用到初等变换。先说明以下事实：一个n阶可逆矩阵A可以通过行初等变换化为单位矩阵I。事实上，根据定理5.2.4，|A|0。因此A的第一列至少有一个元

17、素不等于零。我们显然可以通过行初等变换把A化为 这里A1是一个n-1阶矩阵。行列式|A1|显然等于矩阵（4）的行列式，而后者与|A|最多差一个不等于零的因子，因此|A1|0，从而A1的第一列至少有一个元素不等于零。于是通过行初等变换可由（4）得到 这里A2是一个n-2阶矩阵。这样下去，最后我们得到单位矩阵I。但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵，因此给了一个可逆矩阵A，可以找到一些初等矩E1，E2，Es，使（5） EsE2E1A=I用A-1右乘这个等式的两端，得（6） EsE2E1I=A-1比较矩式（5）和（6）。5 求矩阵的方法：在通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I

18、时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵A-1。例 1 求矩阵 A= 的逆矩阵。我们写下A，并把单位矩阵I写在A的右边： , 我们施行行初等变换把A化为I。第二种求逆矩阵的方法是从行列式的性质得来的。设n阶矩阵 A= 那么以下等式成立： ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn= a1iA1j+a2iA2j+aniAnj = 这里Ast是行列式|A|中元素ast 的代数余子式，由此容易看出，若是令 = 那么 (7) AA*=A*A= 我们把矩阵A*叫做矩阵A的伴随矩阵。当A是可逆矩时，由定理5.2.5，|A|0，因此由（7）得 A=A=I 这就是说（8） A-1 = A* 这样，我

19、们得到了一个求逆矩阵的公式。利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面。例如，我们可以应用它来给出克莱姆规则的另一种推导法。考虑线性方程组 a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2 an1x1+an2x2+ +annxn=bn利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成 (9) = , 这里（aij）=A是方程组的系数矩阵。当方程组的行列式|A|0时，系数矩阵A可逆，用A的逆矩阵A-1左乘（9）式的两端，那么由（8）式得 = 由此，对i=1,2,n,有= =(b1A1i+b2A2i+bnAni) 这正是克莱姆规则给出的方

20、程组的解。最后我们研究一下矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。我们将要得出两个有用的结论。先看矩阵乘积的行列式。首先证明引理 5.2.6 一个n阶矩A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵 = ,并且|A|=|=d1d2dn证 如果A的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零。于是再通过适当的第三种初等变换可以把A化为 .如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么A已经具有（10）的形式。对A1进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A化为对角矩阵。根据行列式的性质，我们有 |A|=|=d1d2dn 设A，B是任意两个n阶矩阵。那么 |AB|

21、=|A|B|证 先看一个特殊情形，即A是一个对角矩阵的情形。设 A = . 令B=（bij），容易看出 AB = 因此由行列式的性质得|AB|= =|A|B|现在看一般情形，由引理5.2.6，可以通过第三种初等变换把A化为一个对角矩阵，并且|A|=|。矩阵A也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出。这就是说，存在Tij(k)型T1,T2,Tq,使 A= T1 TpTp+1 Tq于是AB=（T1 Tp）（Tp+1 TqB）。然而由行列式的性质知道，任意一个n阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变，换句话说，用一些Tij(k)型的初等矩阵乘一个n阶矩阵不改变这个矩阵的行列式。因

22、此，注意到是一个对角矩阵，我们有 |AB|= |T1 TpTp+1 TqB| = |Tp+1 TqB| = |Tp+1 TqB| = |B| = |A|B| . 由这个定理显然可以得出，对于m个n阶矩阵A1，A2，Am来说，总有 |A1A2Am|=|A1|A2|Am| 6 关于矩阵乘积的秩 两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。特别，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩。证 设A是一个 m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，并且秩A=r。由定理5.2.2，可以对A施行初等变换将A化为 = . 换句话说 ，存在m阶初等矩阵E1，Ep和n阶初等矩阵Ep+1,Eq,使 E1

23、EpAEp+1Eq= . 于是 = , 这里B=，显然，除前r行外，其余各行的元素都是零，所以秩 r。另一方面，E1EpAB是由AB通行初等变换而得到的，所以它与AB有相同的秩。这样就证明了 秩AB秩A，同理可证秩AB秩B。如果A，B中有一个，例如A是可逆矩阵。那么一方面，秩AB秩B；另一方面，由于B=A-1（AB），所以秩B秩AB。因此，秩AB=秩B。这个定理也很容易推广到任意m个矩阵的乘积的情形。任意m个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。5.3 矩 阵 的 分 块教学目的：1、掌握矩阵运算的分块技巧。教学内容：设A 是一个矩阵。 我们在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成 若干小块。例如

24、 ，设A是一个4*3矩阵 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A= a31 a32 a33 a41 a42 a44我们可以如下地把它分成四块： a11 a12 a13 a21 a22 a23A= a31 a32 a33 a41 a42 a44 用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵。 上面的分块矩阵A是由以下四个矩阵组成的： a11 , a12 a13 A11= a21 A12= a22 a23 a31 , a23 a33A21= a41 A22= a42 a43 我们可以把A 简单地写成： A= A11 A12 A21 A22给了一个矩阵，可以有各种不同的分块方法。例如，我们也可以把上面的矩阵A 分成两块： a11 a12 a13 A= a21 a22 a23 a31 a32 a33