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1、精选优质文档-倾情为你奉上1. 应用高斯公式计算下列曲面积分：（1），其中S是单位球面的外侧；（2），其中S是立方体表面的外侧；（3），其中S是锥面与平面z=h所围空间区域的表面，方向取外侧；（4），其中S是单位球面的外侧；（5），其中S是单位球面的外侧。分析：记住高斯公式，其中S 取外侧解： （1）因为，所以（2） （3），由柱面坐标变换知 原式（4） （5）：增补平面使之成为一封闭体，并取下侧为正侧， 原式2应用高斯公式计算三重积分 ，其中V由与所确定的空间区域。分析：空间区域V如图：解： 原式3应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1），其中L为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧

2、在曲线的左侧；（2），其中L为所交的椭圆的正向.(3) ,其中L为以为顶点的三角形沿ABCA的方向.分析：斯托克斯公式给出了双侧曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系，即 其中S 的侧与 L 的方向按右手定则解 (1)记L为曲面S:的边界,如图由斯托克斯公式知原式且 同理故原积分=0(2)视L为该椭圆的边界,则 原式=由于曲面上任一点处的发向量 中的，从而由定义知，因此，原式=0.(3) 4.求下列全微分的原函数:(1);(2)分析：（1）因为，而，所以在内是某一函数的全微分解： (1) 因,故原函数为: (2)分析：因为，而，所以在内是某一函数的全微分。解法1：任取，则，其中为任意常数解法2:由

3、于故原函数为5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值;(1);(2),其中在球面上.分析：要验证线积分与路线无关，只需要验证被积表达式是某二元函数的全微分，即或验证解： (1)因在内有,所以所给曲线积分与路线无关,从而 原积分(2)因在内有所以,所给曲线积分与路线无关,且6.证明：由曲面S所包围的立体V的体积为其中为曲面S的外法线方向余弦。分析：再利用高斯公式证明：故原公式成立.7.证明:若S为封闭曲面,为任何固定方向,则 其中n为曲面S的外法线方向.分析：若为曲面S的外法线方向余弦，有再利用高斯公式证明： 设N和的方向余弦分别是和,则由一.二型曲面积分之间的关系可得=由的方向固定, 都是常数,故,由奥高公式得原式=8.证明公式 .其中s是包围V的曲面,n是s的外法线方向, 分析： 因为而,则由第一.二型曲面积分的关系及奥高公式可得。证明： 故公式成立.9.若L是平面上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求 其中L依正向进行.分

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