专题09+外接球和内切球问题的处理技巧高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练含解析

1、专题09外接球和内切球问题的处理技巧一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球 心O的位置问题，其中球心的确定是关键.（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外 接球的球心.由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找

2、到.结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.例：直三棱柱ABC - 4（侧棱垂直于底面的棱柱）的各顶点都在同一球面上.若AH = AC = A,A! = 2, NBAC = 90°,则此球的表面积等于 .【答案】:丁【解析】根据题意，可画出如下图形： ZBAC = 90°, . . RC的中点到AC三点的距离相等，记为M,直三棱柱的中点到月:B'C三点的距离相等，记为N,，球的球心为A/N的中点，记为Q,设球的半径为R, = 4B = 4A= 2,，R = S = 4开足，此球的表面积S = 12tt.【掌握练习】1、一个正

3、四棱柱的各个顶点都在一个直径为左m的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm '.【答案】,.一【解析】，正四棱柱的表面积为,那么这个三棱柱的设正四棱柱的高为卬由长方体与球相接的性质知4 = 1 + I + 贝此=此S = 2xlxl + 4xlx/2 = (2 + 42)(cm2)322、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是1-体积是.【答案】 z 77【解析】4,32设球的半径为R,则3 3 ，则A=2,/2 O. j£/1则三棱柱的高是 4,设底面边长为 * 6, 口 = 4/3,(4/3)2 4 = 48y/3则

4、三棱柱的体积是二.47r3、已知正方体的外接球的体积是3 ,则这个正方体的棱长是 .2?3【答案】.【解析】47r q 47rr设正方体的外接球半径为 磨，正方体棱长为q，则3= 3 ,2/3. t = 1.= 2r = 2. . a = 3 .4、如图，已知球O的面上有四点A、0C,D, D>LL平面总RC,AB_LEC,D4则球。的表面积为【解析】把几何体看成长方体一部分，由于 EhLL平面4UC,因此。为球的直径CD =弋通+注+甯-2焉，.半径为四，因此球的表面积47r5、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为2=127r的眦图8y/2TT【答案】3【解析】三视

5、图复原的几何体如图,它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，它的外接球J就是扩展为长方体的外接球J 它的直径是26,册志的体积是：铲6、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3,体积为6,则这个球的表面积是【答案】167r 【解析】 正四棱锥的高为3,体积为5,易知底面面积为6,底面边长为 灰.正四棱锥P 一的外接球的球心在它的高 FO上，记为。,PO = AO = R, P5 = 3,OO1 =3-R,在母AAOiO中，=等"=8，由勾股定理2 = 3 + （3-喈得丑=2.所以，球的表面积S = 167r.AB（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球

6、的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长 方体的途径与方法.途彳5 1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、 四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.途彳5 2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途彳5 3:若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.途彳5 4:若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.例：棱长为 6的正四面体的外接球半径为 .逛【答案】一【解析】记正四面体校长为外外接球半径为月，正四面体扩展为正方体用它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直

7、径，得到4 ,因此中本题中4【掌握练习】伯怏图【答案】507r【解析】根据几何体的三视图，得,该几何体是顶点与长方体的顶点重合的三棱键81 一同如图所示F长方体的长为5,宽为工高为3 j，该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，该球的直径为2五=KI2 = S2 + 43 + 32 = 50，外接球的表面积是 S = 4tt# = ttI2 = 50tt .故答案为：50tt.2、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积为 第视图【答案】327r【解析】 由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同,如图所

8、示：由底面底边长为4,高为2,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为：丁 =2，由棱柱高为4,可得球心距为2,故外接球半径为：R =+ 22 = 2,5,故外接球的表面积S = 4灯铸=32门故答案为；327T .3、已知正三棱锥F-,点只也* , C都在半径为g的球面上，若尸也况尸C两两互相垂直到截面正c的距离为【解析】将该三棱锥补成正方体，如图所示，则0在正方体的对角线 尸。的中点，设G是*iBC的重心，则00 一平面岛二班,则口 = 2 ,所以0G =|PA4、在三棱锥 V 一中，面 面VA = AC = 2,ZVAC = 120°, EA1BC,则三棱锥V 一再的外接

9、球的表面积是【答案】167r【解析】将三棱锥炉一 AEC扩展成一个三棱柱,则球心是上下底面外心为N连线的中点，在工中,AM = L Z.OAM = 60。，。总=2,即三棱锥口 - 4BC的外接球的半径为2,，三棱锥V ABC的外接球的表面积S = 4tt/?2 = 16限故答案为：1&T.（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心 01的连线垂直于截面圆及球心 。与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.例：一个棱长为1的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为【解析】设正方体的棱长为1,正方体的体对角线的长为即球的直径为 /W,-工一S = 4/ x= 3r，球的表面

10、积为：-2故答案为：33r.【掌握练习】1、三棱锥 产一ABC 中，PA = AB = BC = 2, PB = AC = 22 , FC = 2代,则三棱锥产一启UC的外接球的表面积为 .【答案】二-【解析】* AP = 2, AC = 2x/2. PC = 273.'.AP2 + AC2 = PC2?二 APAC是RA* ；PB = 2 BC =2.PC = 2 依，&FBC是 Rt&.，取 FC中点 O,则有 OF = OO = OA = OB = V3 ,。为三棱锥 产一启BC的外接球的球心，半径为 v3.三棱锥产一 ABC的外接球的表面积为4斤丑2 = 127

11、r.故答案为：二一.2、在半径为2的球面上有不同的四点 4 B、C, D若AR = AC = AD = 2,则平面BCD被球所截面 图形.的面积为.【答案】；.【解析】解：过点工向面BCD作垂线，垂足为A，则M是外心，而外接球球心。位于上，如图所示，设乂BCD 所在截面圆半径为T,* 川=QE| = R=2 = 14Hl . /_BAO = 60。,在舟中，r = 2siii600 = V5 ,.S = 7TT2 = 37T.、内切球问题这个球是这个多面若一个多面体的各.面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体, 体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心

12、到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半 径的通用做法。32,那么这个三棱柱例1： 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是的体积是.48y3【解析】4 732设球的半径为此 则3M 3 ,则R = 2,则三棱柱的高是4,设底面边长为小 6 =* (473)2 - 4 = 483典E棱柱的体积是4 1'例2:若正四棱锥P-5方CD的底面边长及高均为2,刚此四棱锥内切球的表面积为TT【解析】根据题意得正四棱锥的底面

13、面积为 4, 一个侧面面积为 修，设球的半径为 R,则由等体积法得, 3（4VS + 4）R= §x4x2t冗=一j 一，所以球的表面积为2（3 峋盯.【掌握练习】2串布，则三棱锥 尸一幺5。的内切球的体积为1、已知三棱锥 尸一幺EC的所有棱长都相等，现沿 FA PB, PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为心3r【答案】2【解析】三棱链尸-展开后为一等边三角形，设边长为明则：.a = 6四,二三接锥一 ABC棱长为3，2三棱锥F-4£tC的高为2/5设内切球的半径为一则4X 3rx必*"= J"亡x 2/3 . r = T,二三棱锥xbc的板球的体积为4 3 JTF = TF32 .2、在直三棱柱ABC - JiBiCi中，BC±AC,AC = 12, BC = 5 ,若一个球和它的各个面都相切 则该三棱柱的表面积为 【答案】180【解析】AC = 12, BC = 5, BC±AC, AB = 13.设棱柱的内切球的半球为 “则况于4EC的内切圆为球5+12-13 2X2-51 -2-21.，棱柱的高为2r = 4.，棱柱的表面积