三角形问题中的数学思想方法

1、三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转 化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用一、分类讨论思想由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面（所有不同情况）才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求

2、三角形各边白长.分析:要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为 15cm,哪一段为6cm,故需分类讨论.解:设腰长为xcm,底边为ycm,即AB=x ,则AD=CD= x BC=y a-12'右x+ x=6时，则y+ x=15.八1221/D由 x+ x=6 得 x=4.把 x=4 代入 y+ x=15 得 y=13./ 因为4+4<13,所以不能构成三角形.B C图1 若x+，x=15时，则y+x=6.22由 x+ 1 x=15 得 x=10.把 x=10 代入 y+ x=15 得 y=1. 2210+1>10符合题意，所以

3、三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.例2已知非直角三角形 ABC中，/ A=45° ,高BD和CE所在直线交于 H,求/ BHC 的度数.图2分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论解:当 ABC为锐角三角形时（图2）. BD、CE 是4ABC 的高， / A=45 , . . / ADB= / BEH=90在4ABD 中， Z ABD=180 90 45 =45°. / BHC > BHE 的外角， . / BHC=90 +45° =135° .当 ABC为钝角三

4、角形时（图3） H是 ABC两条高所在直线的交点/ A=45 ,，/ABD=180 90 45 =45°.在 RtABEH 中，Z BHC=180 90 45 =45°.，/BHC的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的例 3 如图 4,求/ A+ /B+/C+/D+/E+/F+/G 的度数.可根据四边形和三角形的内角分析:观察图形可得，

5、图由一个四边形和一个三角形构成, 和定理求度数之和.解:因为/ A + ZC+Z E=180° ,又因为/ B+/D+/F+ Z G=360 ,所以/ A+ / B+ / C+Z D+ / E+Z F+ / G=540 .剖析：例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想EDC的方程.例 4 如图 5,在 A

6、BC 中，/ B = /C, / 1 = /2, / BAD=40 .求/ EDC.分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于/解:设/ EDC=x.因为/ 1是4DEC的外角，所以/ 1=x+/C.又因为/ 1 = 72,所以/ 2=x+/C.又因为/ 2ABD的外角，所以/ ADC=/B+/BAD.所以 / B+ / BAD = Z 2+x ,即/ B+40° = / C+2x.因为/ B = ZC,所以 2x=40° ,解得 x=20° .事剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书

7、写简便， 也易于表明角与角之间的关系四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌 生的问题转化为熟悉的问题来解 .这种解题思想叫转化思想.例5如图6,求五角星各顶角之和.分析：因为/ A、/ B、/ C、/ D、/ E较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解.解:因为/ 1=/C+/E, /2=/B+/D,又因为/ 1 + Z2+ ZA=180° ,所以/ A+ZB+ZC+ZD+ZE=180° .点拨:此题还可以连接 CD求解.当我们求多个角之和不能

8、直接计算时，应考虑转化为三 角形求解.五、数形结合思想例6如图7,在 ABC中，已知 AD是角平分线，/ B=60° , / C=45 ,求/ ADB和/ ADC的度数.分析:在 ABD 中，/ ADB 是一个内角，它等于 180 -Z B-Z BAD ,故求出/ BAD 即可求出/ ADB的度数，这由已知条件不难求得；同理可求出/ ADC的度数.解:在 ABC中， . /B=60°,/C=45 , / B+/C+/BAC=180 ,，/BAC=180 /B /C=180 60 45 =75°.1 一 一 一又 AD 是角平分线，/ BAD= / DAC= / B

9、AC=37.52在4ABD中，Z ADB=180 -Z B-Z BAD=180 60° 37.5 =82.5 °.同理/ ADC=180 -Z C- / DAC=180 -45 -37.5 =97.5 °.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分 .在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能 打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是 24cm,腰长是底边长的 2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长 =腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的 2倍，可设一腰长的长为xcm,可列方程为

10、x+2x+2x=24,解之即可.解：(1)设底边长xcm,则腰长为2xcmx+2 x+2 x=24x =4.8. .腰长=2x=2>4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形 ABC中，/ A=45° ,高BD和CE所在直线交于 H,求/ BHC的度 数.分析：三角形的形状不同， 高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论 .解：. ABC为斜三角形，.ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形,(1) 当 ABC为锐角三角形时(如图 1)

11、,. BD、CE 是ABC 的高，/ A=45 ,，/ADB= Z BEH=90 ,/ ABD=90 -45 =45° ,/ BHC= / ABH+ / BEH=45 +90° =135°.(2) 当4ABC为钝角三角形时(如图 2),H为 ABC的两条高所在直线的交点，/A=45°,/ ABD=90 -45 =45° ,在 RtAEBH 中，/ BHC= 90 -Z ABD=90 -45 =45°.综上所述，/ BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分

12、类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误三、转化的数学思想方法：例3、如图3,已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E,请你求出/ A+/B+/C+/ D+ / E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关,我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：1 是 CEM 的外角，/ 1 = /C+/E,/2是BDN 的外角，1 = /B+/D.在4AMN中，由三角形内角和定理，得/ A+ / 1 + Z 2=180° ,. A+ /B+ / C+Z D+Z E=180° .解法二：如图4,连结 CD,在 BOE和 COD中，/ 5=7 6, / 3+Z4+ Z6=Z B+ / E+ Z 5=180° ,3+/4=/B+ / E.在 AACD 中，/ A+/ACE+/ ADC=180 ,.Z A+ Z ACE+ / ADC