东华大学高等数学实验考试大纲带例题和书后习题

1、计算题（6题共60%）：要求熟练使用MATLAB命令解题。第三七章各至少1题。其中带D号共出1题。第三章 （1）用矩阵除法解线性方程组；（ch3.ex2）解线性方程组。>>A=5 1 1 0;1 0 3 1;-1 1 0 5;0 0 2 4;b=1;2;3;-1; x=Ab解线性方程组。>> A=4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3;b=9;-2;1;>> rank(A), rank(A,b) ans =3,ans =3 %相等且为x个数有唯一解；不等无解（最小二乘）；相等不为x个数无穷多解>> x=Ab（2）行列式det、逆inv；(ch3

2、. ex6) p56>>a=4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3;det(a),inv(a),（3）特征值、特征向量eig；（ch3.ex6）>>a=4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3; v,d=eig(a)（4D）线性方程组通解； (ch3.ex3) p58>>a=2,1,-1,1;1,2,1,-1;1,1,2,1;b=1,2,3'>>rref(a,b)（5D）矩阵相似对角化。 P59第四章 （1）用roots求多项式的根；p71>>roots(3 0 -4 0 2 -1)存在高次项，求其所有根，进行验算>&

3、gt;p=zeros(1,24);p(1 17 18 22)=5 -6 8 -5; x=roots(p),polyval(p,x) （2）用fzero解非线性方程；(ch4.ex2) p72 eg4.3>>fun=(x)x*sin(x2-x-1) ; %一定是一元函数fplot(fun,-2,0.1);grid on;>>fzero(fun,)（3）用fsolve解非线性方程组；(ch4.ex5,ex6) p74%方程组在某点或某区域附近的解求解下列方程组在区域内的解>>fun=(x)x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2),x(2)-0

4、.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2);a,b,c=fsolve(fun,0.5 0.5)（4）用fminbnd求一元函数极值； （ch4.ex8）%极小值点，求极大值点fun2=inline(-,str)clear;fun=(x)x2*sin(x2-x-2);fplot(fun,-2 2);grid on; %作图观察x(1)=-2;x(3)=fminbnd(fun,-1,-0.5);x(5)=fminbnd(fun,1,2);fun2=(x)-(x2*sin(x2-x-2); %将fun变号x(2)=fminbnd(fun2,-2,-1);x(4)=fminbnd(fun2,-0

5、.5,0.5);x(6)=2fun=(x)x.2.*sin(x.2-x-2); %注意用数组运算fun(x)（5）用fminsearch求多元函数极值；(ch4.ex8,ex9) p76close;x=-2:0.1:1;y=-7:0.1:1;x,y=meshgrid(x,y);z=y.3/9+3*x.2.*y+9*x.2+y.2+x.*y+9;mesh(x,y,z);grid on;%作图观察, 可看到0 0附近极小值，0 -5附近极大值fun=(x)x(2)3/9+3*x(1)2*x(2)+9*x(1)2+x(2)2+x(1)*x(2)+9;x=fminsearch(fun,0 0)%求极小

6、值fun2=(x)-(x(2)3/9+3*x(1)2*x(2)+9*x(1)2+x(2)2+x(1)*x(2)+9);x=fminsearch(fun2,0 -5)%求极大值（6D）最小二乘拟合polyfit、lsqcurvefit； (ch4.ex10) p76第五章 （1）用diff或gradiet求导数； (ch5.ex4) p91t=0:0.01:1.5;x=log(cos(t);y=cos(t)-t.*sin(t);dydx=gradient(y,x) %这里dydx仅仅是个普通变量名plot(x,dydx) %dydx函数图，作图观察x=-1时，dydx的值约0.9%以下是更精确的

7、编程计算方法x_1,id=min(abs(x-(-1);%找最接近x=-1的点，id为这个点的下标dydx(id)（2）用trapz、quadl或integral求积分；(ch5.ex5) p93Ex5(2)方法一：fun=(x)exp(2*x).*cos(x).3;integral(fun,0,2*pi)方法二用trapz：x=linspace(0,2*pi,100);y=exp(2*x).*cos(x).3;trapz(x,y)（3）用dblquad(二元)或triplequad(三元)求矩形区域重积分；(ch5.ex5(6) p94fun=(r,th)sqrt(1+r.2.*sin(th

8、);dblquad(fun,0,1,0,2*pi)（4D）一般区域重积分quad2d, integral2, integral3；(ch5.ex5(7)p94fun=(x,y)1+x+y.2;%必须用点运算clo=(x)-sqrt(2*x-x.2);dhi=(x)sqrt(2*x-x.2);integral2(fun,0,2,clo,dhi)（5D）函数单调性分析；（6D）曲线长度或曲面面积。(ch5.ex6) p90%先写参数方程x=2*cos(t);y=3*sin(t);%计算x'(t)=-2*sin(t),y'(t)=3*cos(t)%4*sin(t)2+9*cos(t)

9、2=4+5*cos(t)2fun=(t)sqrt(4+5*cos(t).2);quadl(fun,0,2*pi)ans = 15.8654第六章 （1）用ode45求解微分方程；(ch6.ex1(1) p107fun=(x,y)x+y;t,y=ode45(fun,0 1 2 3,1) %注意由于初值为y(0)=1, 0 1 2 3中0不可缺（2）用ode45求解微分方程组；(ch6.ex1(2) p109fun=(t,y)-2*y(1)-3*y(2);2*y(1)+y(2);t,y=ode45(fun,0 10,-2.7;2.8)plot(y(:,1),y(:,2)（3）用ode45求解高阶微

10、分方程；(ch6.ex1(3) p109%高阶导数y''化为一阶(y')'，多变量(y,y')化为单变量x.%令x(1)=y,x(2)=y',化为方程组%x(1)'=x(2),x(2)'=0.01*x(2)2-2*x(1)+sin(t)%初始值x(1)=0,x(2)=1.%运行下列指令clear;close;fun=(t,x)x(2);0.01*x(2)2-2*x(1)+sin(t);%fun表示两个方程的右端，注意第一个x(2)表示x(1)的导函数。t,x=ode45(fun,0 5,0;1);x(end,1)plot(t,x(

11、:,1)（4D）齐次线性常系数微分方程通解；(ch6.ex2)roots(1 10 54 132 137 50)得到 -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i -2.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i%通解A1*exp(-3*t)*cos(4*t)+A2*exp(-3*t)*sin(4*t)+A3*exp(-2*t)+A4*exp(-t)+A5*t*exp(-t)（5D）边值问题求解(bvpinit, bvp5c, deval)；(ch6.ex1(6) p111%令y(1)=x, y(2)=x', 则方程为y&

12、#39;(1)=y(2), y'(2)=-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)/t/tclear;close;sinit=bvpinit(1:0.5:3,2;0) %边值x(1)=1, x(3)=3, 估计x(t)=2, x'(t)=0. odefun=inline('y(2);-2/t*y(2)+(2*y(1)+10*cos(log(t)/t/t','t','y');bcfun=inline('ya(1)-1;yb(1)-3','ya','yb');sol=

13、bvp5c(odefun,bcfun,sinit) t=linspace(1,3,101);y=deval(sol,t);plot(t,y(1,:),sol.x,sol.y(1,:),'o',sinit.x,sinit.y(1,:),'s')legend('解曲线','解点','粗略解')y1=deval(sol,1.5:0.5:2.5);y1(1,:)第七章（1）符号对象syms, vpa, subs；(ch7.ex2) p125syms a;A=1 2;2 a;iA=inv(A),v,d=eig(A)（2）符号

14、函数factor, expand, simple；p129（3）符号极限limit, symsum；(ch7.ex4,ex5) p131syms x y;limit(3x+9x)(1/x),x,inf)s1=limit(log(2*x+exp(-y)/sqrt(x3+y2),x,0,'right');s2=limit(s1,y,0,'right')syms k n x;s1=symsum(k2,k,1,n);s1=simple(s1)s2=symsum(k(-2),k,1,inf);s2=simple(s2)s3=symsum(1/(2*n+1)/(2*x+1)

15、(2*n+1),n,0,inf);s3=simple(s3)（4）符号微积分diff, taylor, int；(ch7.ex6,ex10) p131syms x y z;s=sin(x2*y*z);s=diff(s,x,2);s=diff(s,y,1);s=subs(s,x,y,z,1,1,3)syms x y;f=(x-y)3*sin(x+2*y);Ix=simple(int(f,y,-x,x)（5）符号解方程solve, vpasolve, dsolve；(ch7.ex12,ex13) P135syms x;solve(5*x23-6*x7+8*x6-5*x2)syms a b;sa,sb=vpasolve(a=0.7*sin(a)+0.2*cos(b),b=0.7*cos(a)-0.2*sin(b),a,b,0.5,0.5)三、编程题（10%）：要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M函数编写。主要属于第二章内容，也可结合第三六章计算实验出题。例如（1）极限，级数等；(2)分段函数图；（3）迭代法编程；(