数值分析实验报告

1、实 验 报 告学 院： 电子与信息工程学院 专 业： 电子与通信工程专业 班 级： 数值分析七班 学 生：目录：实验一：高斯消元法解方程组实验二：高斯赛德尔迭代法实验三：牛顿插值法实验四：最小二乘法来求拟合函数实验五：Romberg法解数值积分实验六：Newton法解非线性方程的解实验一：高斯消元法解方程1、实验目的：1掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤；2培养编程与上机调试能力；2、实验原理：高斯消元法 第一步：设a11(1)0，记 ,将式（11）中第i个方程减去第1个方程以 ，完成第一次消元，得（11）的通解方程组 其中。方程组（12）简记为 。第二步：设 ，记 。将式（12）中第i个方程

2、减去第2个方程乘以 ，完成第二次消元。第k步：设第k-1次消元完成后得到方程组（11）的同解方程组为 按上述作法，完成n-1次消元后，方程组（11）化成同解的上三角形方程组简记为3、实验内容：编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组。 4、实验程序及结果分析：用高斯消元法解线性方程组AX=b的MATLAB程序输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息.function RA,RB,n,X=gaus(A,b)B=A b; n=length(b); RA=rank(A); R

3、B=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA=RB if RA=ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endend b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n)

4、; for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)/A(q,q); endelse disp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend编写高斯消元法MATLAB文件如下：clear>> A=2 6 -4;1 4 -5;6 -1 18;>> b=4;3;2;>> RA,RB,N,X=gaus(A,b)请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA = 3RB = 3N = 3X = 1.3333 0 -0.3333 通过实验我掌握了消元法解方程的一些

5、基本算法以及用matlab实现矩阵的几种基本计算。是我们初步了解了计算机中线性方程的解法。对MATLAB软件有了更深的了解。实验二：高斯赛德尔迭代法1、实验目的掌握高斯赛德尔的原理和应用，学会用MATLAB实现高斯赛德尔迭代法解方程组，并且与雅克比迭代法进行比较。2、实验原理对于方程组不妨设，将方程组变形为其中。记方程组简记为，上述过程称为雅克比迭代法。如方程组化为此时，上述迭代为高斯赛德尔迭代法。3、实验内容求解方程组4、实验程序及结果分析function EX1() a=input('请输入系数矩阵a：'); b=input('请输入矩阵b:'); N=in

6、put('请输入最大迭代次数N：'); esp=input('请输入近似解的误差限：'); if any(diag(a)=0 error('系数矩阵错误，迭代终止！') end D=diag(diag(a); X0=zeros(size(b); x1=0; x2=0; x3=0; X1=x1;x2;x3; h=inv(D)*b;B=inv(D)*(D-a);B1=triu(B); B2=tril(B); k=1; fprintf('高斯-赛德尔迭代法 n'); fprintf('第0次迭代得：') disp(X1&

7、#39;);while k<=N x1=h(1,1)+B1(1,:)*X0; X1=x1;x2;x3; x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1; X1=x1;x2;x3; x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1; X1=x1;x2;x3; if norm(X1-X0,inf)<esp fprintf('已满足误差限。 ') break end X0=X1;fprintf('第%2d次迭代得：',k)disp(X1'); k=k+1; end fprintf('满足误差限的高斯-赛德尔迭代近似解为：')

8、 disp(X1'); fprintf('雅可比迭代法 '); t=0; Y0=zeros(size(b); while t<=N Y1=h+B*Y0; if norm(Y1-Y0,inf)<esp fprintf('满足误差限 n') breakend Y0=Y1; fprintf('第%2d次迭代得：',t) disp(Y1'); t=t+1; end fprintf('满足误差限的雅可比迭代近似解为：') disp(Y1'); fprintf('用高斯-赛德尔迭代法迭代次数为 %d

9、次n用雅克比迭代法迭代次数为%d次n',k-1,t-1)实验结果实验结果表明，用高斯赛德尔迭代法解方程组比雅克比迭代法效果好，迭代4次所得到的的结果与雅克比迭代法迭代6次所得结果相仿。实验三：牛顿插值法1、实验目的：1.掌握牛顿插值法的基本思想和计算步骤；2.理解牛顿插值法的基本原理和特点；3.掌握牛顿插值法的Matlab程序实现方法；2、实验原理：牛顿插值法差商表3、实验内容：已知函数f(x)=cos x的函数表如下：xi0.00.10.20.30.4f(xi)1.000000.995000.980070.955340.92106求f(x)的四次Newton插值多项式，并计算f(0.

10、048)的近似值。4、实验程序及结果分析function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else disp('x和y的维数不相等！'); return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1;

11、 if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,'t',x0); else f = collect(f); %将插值多项式展开 f = vpa(f, 6); end endend实验结果>> x=0,0.1,0.2,0.3,0.4x = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000>> format long;y=1,0.99500,0.98007,0.95534,0.92106y = 1.000000000000000 0.995000000000000 0.980070000000000 0.955340000

12、000000 0.921060000000000>> f=Newton(x,y)f =0.05*t4 - 0.00833333*t3 - 0.4975*t2 - 0.000216667*t + 1.0>> f=Newton(x,y,0.048)f =35143653349446043306931303/35184372088832000000000000=0.998842703经过计算，运行结果基本达到了预期的结果。经过此次实验基本上理解了牛顿插值法的过程。实验四：用最小二乘法来求拟合函数1、实验目的：熟悉最小二乘法来求拟合函数原理和基本思想，并能用MATLAB实现2、

13、实验原理：数据拟合的最小二乘问题是：根据给定的数据组（xi，yi）（i=1，2，n），选取近似函数形式，及给定函数类H，求函数（x）H，使得i=1ni2=i=1nyi-(xi)2为最小，即：i=1nyi-(xi)2=minHi=1nyi-(xi)2这种求近似函数的方法称为数据拟合的最小二乘法，函数x称为这组数据的最小二乘函数。通常取H为一些比较简单函数的集合，如低次多项式，指数函数等等。3、实验内容：已知一组实验数据如下：123424682112840试用最小二乘法求一次拟合多项式，并将拟合曲线画出来4、实验程序及结果分析程序：functiona,b=yichi(x,y)plot(x,y,&#

14、39;r+') n=length(x);x0=0;y0=0;c0=0;d0=0;for i=1:n; x0=x(i)+x0; y0=y(i)+y0; c0=x(i)*x(i)+c0; d0=x(i)*y(i)+d0;enda,b=solve('a*n+b*x0=y0','a*x0+b*c0=d0','a,b');a=subs(a);b=subs(b);hold onX=2:0.01:8;Y=b*X+a;plot(X,Y)调用函数：>> x=2 4 6 8;y=2 11 28 40;>> a,b=yichi(x,y)

15、运行结果：a = -12.5000 b = 6.5500拟合图像：通过本实验对用MATLAB进行拟合，有了全面的认识和深化，使认识更加深刻。实验五：Romberg法解数值积分1、实验目的熟悉数值积分原理和基本思想，并能用MATLAB实现。2、实验原理数值求积的基本思想是通过积分中值定理将积分转化为函数的四则运算。利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式、Romberg公式间的关系，可构造出由梯形公式计算Romberg公式的方法。对于积分，将积分区间划分为n等分，分点，则相应的复化梯形公式为：Simpson公式与复化梯形公式关系：Cotes公式与Simpson公式关系：Romberg公式

16、与Cotes公式关系：3、实验内容求函数积分，精度为四、实验程序及结果分析4、实验程序及结果分析function quad,R=bbc(f,a,b,eps)h=b-a;R(1,1)=h/2*(feval(f,a)+feval(f,b);wc=2;n=1;i=0;while wc<eps i=i+1; s=0; h=h/2; while x<b x=a+h/2; s=s+feval(f,x); x=x+h end R(i+1,1)=R(i,1)/2+h*s; for j=1:i R(i+1,j+1)=R(i+1,j)+(R(i+1,j)-R(i,j)/(4j-1); end wc=a

17、bs(T2-T1);endj=i;quad=R(i+1,j+1);在命令窗口输入：function f=f1(x)f=sin(x)/x>> f=f1;a=10-100;b=1;>> quad,R=bbc(f,a,b,0.5e-6);运行结果：通过本次实验，理解并掌握了Romberg法对方程的积分过程，并对多学的理论知识进行验证。实验六：Newton法解非线性方程的解1、实验目的熟悉Newton法解非线性方程的解的原理和基本思想，并能用MATLAB实现。2、实验原理将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想。设在零点邻近一阶连

18、续可微，且，当充分接近时，由Taylor公式有以方程近似方程其解重复以上过程，得迭代公式Newton法也是一种不动点迭代，其迭代函数为3、实验内容求下列方程的非零根4、实验程序及结果分析采用牛顿法对该非线性方程进行求解，而本函数f(x)为奇函数，为了使得牛顿迭代公式初始值比较靠近该方程的非零根，应该确定该方程非零根的大概范围。故首先用Matlab画图指令画出该函数的曲线图。 因注意到513-0.6651x>0，则可知|x|<771.3126.故有以下绘图代码：>> x=-770:770>> y=log(513+0.6651*x)./(513-0.6651*x)-x/(1400*0.0918);>> plot(x,y)>> grid得出函数图如下：由上图可以很明显看出，原方程有一个零根，两个关于原点对称的非零实根。由图估测原方程的正实根的x坐标值在770附近。并且经验证f(770)=1.0771>0，而f(760)= -1.0055<0。所