用面积法证明几何题

1、精选优质文档-倾情为你奉上编号 学士学位论文用面积法证明几何题学生姓名： 阿娜尔古丽·约麦尔 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2008- 3班 指导教师： 迪丽拜尔老师 完成日期：2013 年 5 月 3 日专心-专注-专业摘要面积是几何学的起源，它是几何中的重要内容。面积法是利用图形的面积关系建立一个或几个面积的关系式通过推理演算，以达到题目的一种方法。而且面积法也是数学解题中的重要方法。用面积法解几何题时常常需要将三角形面积之比转化为线段之比。有些问题用面积法来解决，往往可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果。通过对三角形的面积公式的了解，为证

2、明几何题打下基础；整理了三角形面积公式证明几何题的几种分类和一些典型例题，描述了三角形，四边形等面积公式证明几何题的方法。用面积法证几何题不仅提供了一种证题的方法，而且还是一种经常用到的解题技巧，能够起到事半功倍的效果。关键词：面积法 ；证明题；求比值 ；线段 目录引言面积法是指从三角形，四边形等的面积出发，利用几何图形中的边，角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程。用面积比来证明几何问题比较广泛使用的，利用传统的方法解决一些几何问题甚至有些复杂的难题，但利用面积比解决一些几何问题，可以使你认为比较难解，甚至感觉无从下手的问题都能够轻易得到证明。1.面积法证几何题常用的性质：等

3、（同）底，等（同）高的两个三角形的面。例题1：求证：等腰三角形两腰上的高相等。已知：如图1，中，,分别是上的高。求证： 证明：为的高,又:两个三角形等（同）底（高），则它们面积的比等于其高（底）的比。例题2：如图2，为内任意一点，三边，的高分别为，且到，的距离分别为，。求证：分析：连接,容易看出，分别是两个等底三角形的高之比，于是可将之比转化为面积之比，使命题得证。证明：因为 那么 又因为，,同理，因此，:证明三角形内角平分线的性质.例题3：如图3，已知是的角平分线求证：分析：如果用面积法通过等底同高三角形面积相等，及共角定理就很容易得证。证明：如图 又因与互补，既得 2.常用定理等底三角形面

4、积之比等于其高之比；等高三角形面积之比等于其底之比。例题4：如图4，直角梯形中, 求：解： , , 相似三角形面积的比等于相似比的平方。例题5：如图所示，在中，DEBC, 求：解： DEBC , 若两个三角形有一个角对应相等，则这两个三角形面积之比等于夹此角两边乘积之比。例题6：已知如图6，是的边上的两点，。求证：。证明：，而（AQ 是两个三角形的公高） （1） 又又。而.。所以得3.应用面积法解题的理论依据1.等积定理：两个全等三角形的面积相等。等底，等高的两个三角形或四边形的面积相等。两个等积三角形，若它们的底相等，则它们的高相等；若它们的高相等，则它们的底相等。整个图形的面积等于其各部分

5、面积之和。2.面积比定理：两个三角形面积之比，等于它们的底，高之积得比。等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比。相似三角形（多边形）面积之比等于它们对应边的平方比。3.面积公式： 其中，。是三角形三边长，是三角形的高，是三角形内切圆的半径，是三角形的一个角。应用面积法解题一般可不添加或少添辅助线，证法简洁，直观，易于接受和掌握。运用三角形面积公式证明某些几何题，有时往往比其他方法思路更清晰。现举例说明如下。3.1证线段相等或不等例7  从的顶点C作C的平分线交AB与D，求证：证明：如图7,由定理有：但,即所以3.2证明面积成比例数列问题例8  如图8，已知梯形

6、两对角线交与一点.求证： 证明：1与2互补，故又因2与3互补，又于, ,3.3证明线段成比例例9：从圆的内接四边形的边上一点作,且与相交于点.求证：证明：如图，四点共圆，则 又已知共圆，则 有共角定理有： 同理.即有 又又 得 又共边比例定理知， 3.4.证明三角形面积相等问题例10  已知是等腰三角形，是底边上的任意一点，求证： 证明：易证 即又 3.5证明与圆有关的比例线段关系问题例11  如图11，的顶点作外接圆的切线交与.求证：证明：,，与互补 , 又 将上面4式相乘有 3.6求线段的比值例12 如图12，在中，,是的中点，交边与，求比

7、值 解：在中, , 1=2，又3=4.又共角和共边比例定理有；总结在一些难度更大的题目中, 有时要多次应用面积或配合其它代数技巧和几何基本知识才能解决问题。有些问题用面积法来解决，往往可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果。通过上面的例题, 可以看出面积与面积、面积与线段的互相转化是面积法解题的重要手段。灵活运用知识要点, 巧妙进行等积变换是面积法解题的关解。参考文献【1】数学教学研究 甘肃省数学会 （2527）J【2】 姚高峰, 吴忆明 现代中国风景园林规划与旅游开发 地理学与国土研究, 1999 (1) （13- 16）【3】 几何学 马忠林 编 吉林市：吉林人民出版社（）【4】初等几何变换 左铨如，季素月 编（）【5】初等几何研究 朱德祥，朱维宗 编（6483）【6】 几何基础 傅章秀 北京市：北京师范大学出版社 （8693，）【7】高中数学 选修 丛书主编：王后雄 （13）致谢 在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢他的帮助，在