双曲线的几何性质 (2)

1、2.3.2双曲线的几何性质一、填空题1已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是_2双曲线与椭圆1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为yx，则双曲线方程为_3关于双曲线1与k(k>0且k1)有下列结论：有相同的顶点；有相同的焦点；有相同的离心率；有相同的渐近线其中正确结论的序号是_4设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程是3x2y0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点若PF13，则PF2的值为_5双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为_6过点P

2、(1，)的直线l与双曲线1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于_7以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_8F1、F2是双曲线1的左、右焦点，P是双曲线左支上的点，已知PF1、PF2、F1F2依次成等差数列，且公差大于0，则F1PF2_.9.如图，F1和F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_二、解答题10已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x3与双曲线交

3、于M、N两点，求证：F1MF2M.11已知双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，试求该双曲线离心率的取值范围12已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围答案1解析：由双曲线方程，判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的一个焦点为(，0)，双曲线的一个焦点为(，0) 所以m28n2.又因为双曲线渐近线方程为y±·x，把m28n2，即|m|2|

4、n|代入，得y±x.答案：y±x2答案：y2x2243解析：双曲线1与k(k>0且k1)显然有共同的渐近线±0.双曲线1的实半轴长a4，虚半轴长b3，所以半焦距c5，双曲线k可化为1，故实半轴长a44，虚半轴长b33，所以半焦距c55.故两个双曲线的焦点、顶点都不相同，、都错而前者的离心率e，后者的离心率ee，所以离心率相同，所以正确答案：4解析：双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，.b3，a2.又|PF1PF2|2a4，|3PF2|4.PF27或PF21(舍去)答案：75解析：如图，由题知MF1F230°，MF2x轴，MF12MF2.MF1MF2

5、2a，MF22a，又F1F22c.cot30°，e.答案：6解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线yx平行，所以a1或，解得a1或a2.即实半轴长等于1或2.答案：1或27解析：由双曲线方程1，知其右焦点的坐标为(5,0)，渐近线方程为4x±3y0，所以所求圆的半径为4，故所求圆的方程为(x5)2y242.答案：(x5)2y2168解析：由双曲线定义可知PF2PF14，又2PF2PF1F1F2PF114，PF210，PF16.在PF1F2中，由余弦定理可得cosF1PF2，F1PF2120°.答案：120°9解析：连结OA(图略)，

6、F2AB是等边三角形，由双曲线及圆的对称性可知AOF160°，又OAOF1，A点坐标为(，c)，将A点坐标代入双曲线方程，得1，又b2c2a2，由可得e1.答案：110解：(1)由双曲线的离心率为，2，ab，即双曲线为等轴双曲线可设其方程为x2y2(0)由于双曲线过点(4，)，42()2，6.所求双曲线的标准方程为1.(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(2，0)、(2，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，)，kF1M，kF2M .故kF1M·kF2M·1，F1MF2M.11解：PF14PF2，点P在双曲线的右支上，设PF2m，则PF14m，由双曲线的定义，得PF1PF24mm2a，ma.又PF1PF2F1F2，即4mm2c，mc，即ac，e .又e>1，双曲线离心率的取值范围为1<e.12解：(1)设双曲线C的方程为1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，b21.双曲线C的标准方程为y21.(2)由题意得整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线C有两个不同的交点，解得m2>3k21.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，y0kx0m.由题意知