导数生活中的优化举例

1、选修2-2 导数生活中的优化问题举例 命题人：林勇 审题人：林勇 时间：2014-3-15A卷一、选择题（每小题10分，共50分）：1下列不属于优化问题的是()A汽油的使用效率何时最高 B磁盘的最大存储量问题C求某长方体容器的容积 D饮料瓶大小对饮料公司利润的影响2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件3炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值

2、是()A8 B. C1 D84设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D25要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高应为()A. cm B. cm C5 cm D. cm 二、填空题（每小题10分，共30分）：6(2013·杭州调研)某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，则当每件商品的定价为_元时，利润最大7某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(

3、0,4.8%)，则使银行获得最大收益的存款利率为_8某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车_千米处三、解答题（本大题共2小题，共20分）：9如图所示，设铁路AB50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修建公路至C，可使运费由A至C最省10请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角

4、三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值B卷1横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.d，d B.d，d C.d，d D.d，d2将边长为1 m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S

5、的最小值是_3有时可用函数f(x)，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关(1)证明：当x7时，掌握程度的增加量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133，当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科4两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距

6、离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由选修2-2 导数函数的极值参考答案A卷1解析：选C.选项A、B、D中明确提出了问题与求最值有直接的关系，是优化问题而选项C仅要求求出容积，不是优化

7、问题故选C.2解析：选C.令导数yx2810，解得x9，又x0，0x9；令导数yx2810，解得x9，函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，在x9处取极大值，也是最大值，故选C.3解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.4解析：选C.设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2·sin 60°·l，l.S表x2sin 60°3xlx2，S表x，令S表0，即x0，x34V，即x.又当x(0，)时，S表0；当x(，V)时，S表0，当x时，表面积最小

8、5 解析：选D.设圆锥底面半径为r，高为h，则h2r2202，r .圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)令V(4003h2)0，得h，当h时，V0；当h时，V0.h时，V最大，应选D.6解析：利润s(x)(x30)(200x)x2230x6 000，s(x)2x230.由s(x)0，得x115，这时利润最大答案：1157解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)当0x0.032时，y0；当0.032

9、x0.048时，y0.因此，当x0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益答案：3.2%8解析：依题意可设每月土地占用费y1，每月库存货物的运费y2k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数于是由2得k120；由810k2得k2.因此，两项费用之和为y(x0)，y，令y0，得x5，或x5(舍去)当0x5时，y0；当x5时，y0.因此，当x5时，y取得极小值，也是最小值故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小答案：59 解：设M为AB上的一点，且MBx，于是AM上的运费为2(50x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p(x)2(5

10、0x)4(0x50)p(x)2，令p(x)0，解得x1，x2(舍去)当x时，p(x)0；当x时，p(x)0，故当x时，取得最小值即当离点B距离为的点M处修筑公路至C时，可使运费由A到C最省10 解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V>0；当x(20,30)时，V<0，所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比

11、值为.B卷1 解析：选C.如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大y2d2x2，xy2x(d2x2)(0xd)令f(x)x(d2x2)(0xd)求导数，得f(x)d23x2.令f(x)0，解得xd或xd(舍去)当0xd时，f(x)0；当dxd时，f(x)0，当xd时，f(x)取得极大值，也是最大值当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大2解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则S·(0x1)法一：利用导数求函数最小值S(x)·，S(x)··，S(x)0,0x1，x，当x时，S(x)0，递减；当x时，S(x)

12、0，递增；故当x时，S的最小值是.法二：利用函数的方法求最小值令3xt，t(2,3)，则S··，故当，x时，S的最小值是.答案：3解：(1)证明：当x7时，f(x1)f(x)，而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，f(x1)f(x)单调递减，当x7时，掌握程度的增加量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln0.85，整理得e0.05，解得a×620.50×6123(121,127，由此可知，该学科是乙学科4解：(1)如图，由题意知ACBC，ACx km，则BC2400x2，y(0x20)由题意知，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城