一元高次方程解法

1、2021/3/91一元高次方程的解法特殊的一元高次方程的解法特殊的一元高次方程的解法一般的一般的高次方程及解法高次方程及解法数本数本1202 张银星张银星2021/3/921概念辨析二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 =0（a0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. 这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.是正整数）nbabaxn, 0, 0( 02021/3/93 例（1） （2） 结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n为偶数时，如果ab0，那么方程

2、没有实数根. 016215x164x是正整数）nbabaxn, 0, 0(02021/3/942.概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注注 当常数项不是当常数项不是0时，规定它的次数为时，规定它的次数为0.（2）一般形式：）一般形式： 分析分析 求解的思想方法是求解的思想方法是“降次降次”，通过换元把它转化为一元二次方程，通过换元把它转化为一元二次方程.2例题分析例题分析 例：解下列方程：例：解下列方程： （1） 令令)0(024acbxax014924xx2021/3/95 0,y1y20,y1+y20 原方程有四个实数根. 0,

3、y1y20,y1+y20,y1y20, 原方程有两个实数根. 0 原方程没有实数根. （2） (x+x)-5x-5x=6. （3）(2x-3x+1)+4x-1=6x ; 2021/3/96因式分解法例题. x-2x-4x8=0解 原方程可变形为x(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x-4)=0， (x-2)(x+2)=0所以 x1x22，x3=-2 归纳： 当ad=bc0时，形如axbxcxd=0的方程可这样解决：令，则a=bk,c=dk,于是方程ax+bx+cx+d=0可化为 bkx+bx+dkx+d即 (kx+1)(bx+d)=02021/3/97倒数方程 例.12x4-56x+8

4、9x-56x+12=0.观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由 2021/3/98 解方程(x-2)(x1)(x4)(x+7)=19解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x25x4)=19设则 (y-9)(y+9)=19，即 y-81192021/3/99一般的一般的高次方程及解法高次方程及解法 一、 1判根法 例 解方程x4+2x-9x-2x+8=0 二、常数项约数求根法 例1 解方程x4+2x-4x-5x-6=0 （高代第一章的方法）2021/3/910三

5、、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果a是方程的根，则 也是方程的根；（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法： 如果a x4+bx+cx+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x得：a(x+ )+b(x+ )+e=0,令x+ =y, x+ =y-2,即原方程变为：ay+by+(e-2a

6、)=0, 解得y值，再由x+ =y，解得x的值。例1 解方程2 x4+3x3-16x+3x+2=0a121xx1x121xx12021/3/911四、双二次方程及推广形式求根法 例 (x-6)4+(x-8)4=16 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx+c=0推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的形式 (x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则原方程转化为 (y4+4y+1+4y+2y+4y)+(y4+4y+1-4y+2y-4y)=16 y4+6y=0 , , y=-7 或y=1,y=-7无解；y2=1, y= x-7= x1=8 x2=6 7286xxx161144yy,16112222yy01722yy112021/3/912一元三次求根法 先把方程 化为023dcxbxax03qpxx3323321)3()2(2)3()2(2pqqpqqy33223322)3()2(2)3()2(2pqqpqqy33233223)3()2(2)3()