必修2辅导-5-直线与直线方程(同步教师版ok)

1、直线与方程课标要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离7.通过学习体验解析几何的基本思想本质，体会用坐标法研究几何问题的基本方法直线的倾斜角和斜率知识要点1.直线的倾斜角：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，

2、轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.倾斜角的范围为.2.直线的斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即.倾斜角是的直线，斜率不存在.3.经过两点的直线的斜率公式：当时，；当时，斜率不存在.:任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是的直线的斜率不存在.斜率随倾斜角的变化规律：倾斜角=0000<<900=900900<<1800斜率k=0k>0，增大，k增大k不存在k<0，增大，k增大可以用斜率来证明三点共线，即若，则三点共线. 题例方法例1.已知直线l过A(-

3、2,(t+)2)、B(2,(t-)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为 解析：直线的斜率，倾斜角为1350.例2. 如果A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上，那么k的值是（ ）。A. -6 B. -7 C. -8 D. -9解析：由kAC=kBC=2得D例3若直线l与两直线y1，x-y-70分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，1），则直线l的斜率是（）A B C D解析：由题意，可设直线l的方程为yk（x1）1，分别与y1，xy70联立解得M（1，1），N（，）.又因为MN的中点是P（1，1），所以由中点坐标公式得k例4.在下列叙述中： 一条直线的倾斜角为，

4、则它的斜率为k=tan； 若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为1350；若A(1，-3)、B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90°；若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点.所有正确命题的序号是_.解析：错，对；5. 若过原点O的直线与连结P(2,2)，Q(6,2)的线段有公共点，求直线的倾斜角和斜率的取值范围解：，如图，当直线绕点逆时针旋转到的过程中，直线的斜率始终为正，且逐渐增大，故直线的斜率的最小值为，直线的斜率的最大值为所以，直线的斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围为巩固练习1.若直线

5、l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是() A.0°,90° B.90°,180° C.(90°,180°) D.0°,180°)答案：C2若直线的倾斜角为，则（ ）.A. B. C. D.不存在答案：C3.斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(1,b)三点，则a、b的值是( )A.a=4,b=0 B.a=4,b=3 C.a=4,b=3 D.a=4,b=3答案：C4.已知三点A（3，1）B（2，K）C（8，11）共线，则K的取值为 答案：-95.已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）

6、A B C 或 D 解析：数形结合，选C直线的方程知识要点1.直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在轴上的截距不垂直于轴两点式，是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式分别是直线在轴上和轴上的非零截距不垂直于轴和轴，不过原点一般式（A、B不同时0）A,B都不为0时，斜率为，在轴上的截距，在轴上的截距为任何直线注意：截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与轴交点的纵坐标，横截距是直线与轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.2.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点间的距离.（2）点到直线的距离公式已知点，直线：，则

7、点到直线的距离.（3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线：和：，则两直线和的距离.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且项的系数必须对应相等.题例方法例1.根据条件写出下列直线方程的一般形式(1)经过点B（2,3），倾斜角1350。_。答案：x+y-5=0(2)倾斜角1500，在y轴上的截距是-2。_。答案：(3)经过两点A（2,5），B（4,3）。_。答案：x+y-7=0(4)过点A（4，-3），并且在两坐标轴上的截距和等于12. _。答案：x-4y-16=0,3x+y-9=0例2若直线yx经过第一、二、三象限，则( )Aab0，bc0 Bab0，bc0 Cab

8、0，bc0 Dab0，bc0答案：A例3已知直线的点斜式方程是，则直线必经过定点_，若直线倾斜角的倾斜角是，则直线在轴上的截距是_答案： ， 例4. 已知在第一象限，若,，求：(1)边所在直线的方程； (2)边和所在直线的方程答案：(1) (2):；:巩固练习1若直线过点(,3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ）Ayx6 B. yx4 C . yx4 D. yx2解析：据直线的点斜式该直线的方程为y-(-3)=tan300(x-),整理即得C。2.若，则直线不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B3.若直线的方程为，则它的截距式方程为_，斜截

9、式方程为_，直线与x轴交与点_，与y轴交与点_答案：,y=6x+3, ,4.在ABC中，已知点A（5，2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.（1）求点C的坐标； （2）求直线MN的方程.解：（1）令C(x,y) 则M（x+5)/2, (y-2）/2） N（x+7）/2，（y+3）/2） 因为 M在Y轴上 N在X轴上， 所以（x+5)/2=0 （y+3）/2=0解得：x=-5 y=-3 所以C（-5，-3）（2）令直线MN的函数解析式为y=kx+b(k不等于0）， 由（1）得：M（0，-5/2） N（1，0）所以b=-5/2且k+b=0 解得：k=5/2，b=-5

10、/2 所以直线MN的方程为y=5/2x-5/2两条直线位置关系知识要点1.两直线位置关系的判定方法（1）利用斜率判定若直线和分别有斜截式方程：和：，则直线的等价条件为.直线与重合的等价条件为.直线与相交的等价条件为；特别地，的等价条件为.若与斜率都不存在，则与平行或重合.若与中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则与垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线：，：，则直线的等价条件为且。直线与重合的等价条件为且。直线与相交的等价条件为；特别地， 的等价条件为.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线：，：，将这两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有惟一解，则与相交，此解就是，交点的坐标

11、；若方程组无解，此时与无公共点，则；若方程组有无数个解，则与重合.5. 直线系问题设直线：和：(1)过与的交点的直线系: （不包括）；(2)与平行的平行线系：(3)与垂直的垂线线系：题例方法例1已知下列命题：（1）直线经过点，直线平行于轴，则；（2）已知，则直线与垂直；（3）过点，的直线与过，的直线平行，则；（4）已知直线的斜率为3，过点，且，则. 其中，正确命题的个数为（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：(1)直线的斜率，因为直线平行于轴，直线的斜率，所以， (2)直线AB的斜率，直线CD的斜率，因为， (3)，直线AB与PQ平行,所以，即，所以， (4)由题意得：直线的斜

12、率为3，即，所以，正确.故选D.例2.若直线与直线的交点在第四象限，则的取值范围是（ ）.AB CD答案：D例3.已知直线的倾斜角为，直线/，且过点A（2，1）和点B（3，a），则a的值为_答案:4例4. 过点P（1，3）且垂直于直线 的直线方程为（ ）A B C D 解析：设2x+y+c=0又过点P（1，3），则2+3+c=0，c=1;即例5求经过两条直线和的交点，且分别与直线(1)平行，(2)垂直的直线方程。解：由，得；与的交点为（1，3）。(1)法1：设与直线平行的直线为 则，c1。所求直线方程为。法2：所求直线的斜率，且经过点（1，3），求直线的方程为，即。(2)法1：设与直线垂直的直

13、线为；则，c7。所求直线方程为。法2：所求直线的斜率，且经过点（1，3），求直线的方程为，即 。巩固练习1.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （ ）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0答案：A2.直线、的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ）A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直答案：D3经过两直线和直线的交点，且经过原点的直线方程是（ ）A. B. C. D.答案：B4.已知点P（-4，2），直线：3x-2y-7=0,求(1)过点P且与平行的直线的方程；(2)过点P且与垂直的直线的方程解：(1)与直线：

14、3x-2y-7=0平行的直线可设为3x-2y+m=0 由直线过点P（-4，2），则m=16;过点P且与平行的直线的方程3x-2y+16=0(2) 与垂直的直线可设为2x+3y+n=0由直线过点P（-4，2），则n=2;过点P且与垂直的直线的方程2x+3y+2=05.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。解：(1)由两点式写方程得 ，即 6x-y+11=0(2)设M的坐标为（），则由中点坐标公式得 故M（1，1） (3)因为直线AB的斜率为kAB=-6 设A

15、B边的高所在直线的斜率为k, 则有所以AB边高所在直线方程为;即x 6y+14=0对称问题知识要点1.中心对称：点关于的对称点为.2.轴对称：点关于的对称点为,则有,求出.题例方法例1.已知直线；(1)求点关于对称的点Q；(2)求关于点（2，3）对称的直线方程(1)解法一：设，则的中点为，代入直线的方程，得，即 直线的斜率，直线垂直于直线， 联立，解得，所以点的坐标为；解法二：过点且与垂直于直线的直线为，联立和，解得，故和的交点，所以求点的坐标，只需求点关于点的对称点即可，设，则，解得，所以点的坐标为.(2)解法一：在直线：上任取两点，分别得到它们关于点的对称点，故所求直线即为直线 ，由两点式

16、可得所求直线的方程为；解法二：由题意可知所求直线与已知直线平行，设所求直线为，在直线：上任取一点，得到它关于点的对称点为把代入，解得，故所求直线方程为，即；解法三：设为所求直线上任意一点，它关于点的对称点为，由题意，点在上，代入有：，化简得例2.求直线：关于直线：对称的直线的方程.解法一：由，解得，所以直线与的交点为，此点也在直线上.在直线：上任取一点，设点关于直线：的对称点为，则有，解得，即，直线经过和两点，由直线的两点式方程，可得所求直线的方程为，即.解法二：设直线上的动点关于直线：的对称点为，则有，解得，在直线：上，则有，化简得即为所求直线的方程.巩固练习1.直线2x+3y-5=0关于直

17、线y=x对称的直线方程为（ ）A.3x+2y-5=0 B.2x-3y-5=0 C.3x+2y+5=0 D.3x-2y-5=0答案：A2.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0答案：D3点关于直线的对称点的坐标是 . 答案：4. 直线关于点对称的直线的方程是 . 答案：目标测试一、选择题1.已知直线L的方程为，则L的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 答案：B2. 已知过点A(2，m)和B(m，4)的直线与直线平行，则m的值为（）A 8 B 0 C 2 D 10 答案：A3

18、. 直线如图所示，则的斜率的大小关系为（ ）A B C D答案：B4. 在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ） A B C D答案：C5.如果AC0,BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：化为截距式,由于AC0,BC0知直线在x,y轴上的截距都是正值，结合图形知选C6.已知点A(1，2)和B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）A B C D 答案：B7若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，斜率分别为，则下列命题（1）若，则斜率； （2）若斜率，则；（3）若，则倾斜角； （4）若倾斜角，则；其

19、中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：C8.两条直线和的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.重合 D.与有关 解析：第一条直线的斜率为k1=-，第二条直线的斜率为k2=>0所以k1k2.选B9.若yax的图象与直线yxa（a0）有两个不同交点，则a的取值范围是（）A0a1Ba1 Ca0且a1Da1解析：数形结合，要使yax的图象与直线yxa（a0）有两个不同的交点，则a1.选B10. 直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是（）Ax2y10B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：直线x2y10与x1的交点为A（1，1），点（1，0）关于x1的对称点

20、为B（3，0）也在所求直线上，所求直线方程为y1（x1），即x2y30。或所求直线与直线x2y10的斜率互为相反数，k亦可得解.11.若点，是关于直线对称的两点，则直线的方程为（ ）.A B C D答案：D12到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合是( )A.直线2x+y2=0 B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y2=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0解析：设此点坐标为（x,y）,则=，整理即得。选D二、填空题13.不论为何实数，直线都通过一定点，此定点坐标是_. 答案：14直线方程为(3a2)xy8=0, 若直线不过第二象限，则a的取值范围是 。解析：直线在

21、y轴上的截距为-8，直线不过第二象限，画图可知，直线的斜率为正或0，即-（3a2）0，所以a。15. 过点的直线的与线段相交，若，的斜率的取值范围是_.答案： 16.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数= . 答案：0三、解答题17在ABC中，BC边上的高所在直线方程为：x2y+1=0，A的平分线所在直线方程为：y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和C的坐标.解：由 A（1，0） ，又KAB=，x轴为A的平分线，故KAC=1，AC：y=(x+1) ，BC边上的高的方程为：x2y+1=0 ，KBC=2 BC：y2=2（x1），即：2x+y4=0 ，由 ，解得C（5，6）。18求点关于直线：的对称点的坐标.解：设，则的中点为，代入直线的方程，得 直线的斜率， 联立，解得，所以点的坐标为.19.