数学与应用数学专业】毕业论文 文献综述 开题报告】几类三阶常微分方程的通解公式

1、【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】几类三阶常微分方程的通解公式 20_ _届本科毕业论文几类三阶常微分方程的通解公式 摘要：本文在总结已有文献的根底上，首先简单介绍了常微分方程的概念、开展和研究意义，然后研究了三类三阶变系数的常微分方程的求解，通过寻求适当的变量替换，我们将这些方程转化为常系数的常微分方程求解并获得其通解公式。最后结合具体的三阶变系数的常微分方程的模型，将本文的理论结果进行了应用，从而完善了常微分方程的可解类型。关键词：线性常微分方程；通解；三阶；变系数General Solution Formulas of Several Classes of Third

2、-order Ordinary Differential EquationsAbstract: First, on the basis of summarizing existing references, this article simply introduces the definition, development and research significance of ordinary differential equation. Then, the methods of solving three classes of third-order ordinary different

3、ial equations with varying coefficients are studied. By using some variable displace, we solve these equations which can be transformed into third-order linear ordinary differential equations with constant coefficients, and the formulas of general solutions of this equations are given. Finally, we g

4、ive the models of third-order ordinary differential equations with variable coefficients to illustrate the effectiveness of the theoretic conclusions in this paper .Our results complete the corresponding ones in the literature. Key words: Linear ordinary differential equations; General solution; Thi

5、rd-order; Variable coefficient目 录1 绪 论12 三类三阶常微分方程的通解公式53 应用举例124 结束语17致 谢18参考文献191 绪 论在大量的实际问题中的一些运动过程，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比拟容易建立这些变量和它们的导数间的关系式，这个关系式就是常微分方程。我国常微分方程领域的著名数学家秦元勋曾经说过：“常微分方程，是一个有长期历史，而又正在不断开展的学科；是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科；是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支效劳的学科；是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际效

6、劳的学科。我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般阶常微分方程具有形式。 1 如果方程 1 的左端为及，的一次有理整式，那么称 1 为阶线性微分方程。不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程。如果函数代入方程 1 后，能使它变为恒等式，那么称函数为方程 1 的解。并且我们把含有个独立的任意常数，的解称为阶方程 1 的通解。常微分方程是数学专业的重要根底课程。可以说它对先修课程及后续课程起着承前启后的作用，是数学科学理论中必不可少的一个重

7、要环节。常微分方程属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的根底学科，其自身也在不断开展中，学好常微分方程根本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。同时常微分方程也是理论联系实际的重要数学分支之一，也是自然科学和其他技术科学的重要工具课程。赛蒙斯 Simmons300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏。这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大局部思想和理论的根源1。而在整个数学大厦中占据着重要位置的常微分方程，它的开展之路并非一路平坦。常微分方程是在微积分概念出现后即已出现的，我们可

8、以将常微分方程的研究分为以下几个阶段2。开展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解时代。莱布尼茨 LeibnizBernoulli、里卡蒂Riccati微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔Liouville于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西Cauchy初值问题的提出，常微分方程从“求通解转向“求定解时代。首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性、唯一性等解的性质的研究。其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如贝塞

9、尔Bessel函数、勒让德Legendre多项式等，这促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近似方法的研究。19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题转向“求所有解的新时代。首先，庞加莱Poincare创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态。由于希尔伯特Hilbert提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的开展。另一方面李雅普诺夫Lyapunov提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程

10、解的趋向问题，在天文，物理及工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联、美国受到极大重视。同时，伯克霍夫Birkhoff在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺德Arnold、斯梅尔Smale等大数学家的参与而得到蓬勃开展。除定性、稳定性和动力系统理论外，还有非线性振动理论、摄动与奇异摄动理论及变换群理论在20世纪也得到迅速开展。20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的开展迎来了新的时期，从“求所有解转入“求特殊解时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程，如混沌解、奇异吸引子及孤立子等。科技和数学界的重大发现是混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立

11、子直接与微分方程有关。洛伦茨在20世纪60年代发现了称为Lorenz方程的常微分方程，初始敏感的特性导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论3。孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解，但它们往往对应用于可积的哈密顿系统的常微分方程，从而引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研究热潮。微分方程的理论逐步完善，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的根本规律，只要列出相应的微分方程，有解方程的方法求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数

12、取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。Euler方程上。虽然已经知道不是所有的高阶微分方程都能求出其解，但仍然有些微分方程可以解出方程的解。因此，研究特殊的解法一直是人们研究的方向，比方文献13-15中所述的几类方程。尽管如此，仍然有可求解的方程没有找到通解公式，例如以下几类三阶线性微分方程通解问题仍需进一步研究： 1 三阶变系数线性非齐次微分方程：， 2 其中该方程的一个预解函数和一组预解常数、； 2 一般的三阶线性微分方程：， 3 其中，及都是所考虑区间的连续函数； 3 一类三阶变系数的常微分方程：， 4 其中为上的二阶连续可微函数，与为上的连续函数。显然这

13、些方程是同一类变系数的三阶线性微分方程，但由于其系数函数满足的条件不一样，从而也是不同类型的三类方程。我们知道，变系数的常微分方程的求解往往是借助于适当的变量替换，在这些方程的系数函数满足适当条件时将其转化为常系数的微分方程来求解，本文将利用数学分析的技巧，寻求适当的变量替换，在系数函数满足适当条件下，将上述方程 2 - 4 转化为常系数的方程来求解，并给出其通解公式，以期完善和丰富常微分方程的可解类型。2 三类三阶常微分方程的通解公式首先给出方程 2 的通解公式，我们先来看一个具体的例子，形如如下的三阶变系数线性非齐次微分方程： ， 5 其中，都是的连续函数，且二次可微，；、为实常数。我们来

14、证明：方程 5 经自变量变换可化为三阶常系数线性微分方程，事实上，作变换：， 6 将自变量换成，我们有，将，代入方程 5 ，经整理后便得到以为自变量的三阶常系数线性非齐次微分方程。 7 在求出这个方程的通解后，把换成即得原方程 5 的通解。熟知的三阶Euler方程是方程 5 当时的特殊情况，其中换成，换成，换成。对于一般的三阶线性微分方程 2 ，如果能由方程组 8 确定出函数及常数、，那么可以用上述方法求出方程 2 的解。我们不妨称方程组 8 为微分方程 2 的预解方程，满足预解方程 8 的一个函数及一组常数、分别称为微分方程 2 的预解函数和预解常数。那么，上述结果可总结成如下定理：定理1

15、如果三阶线性微分方程 2 的一个预解函数和一组预解常数、，那么方程 2 可经自变量变换 6 化为三阶常系数线性微分方程 7 ，可用特征方程的方法得到其通解。在许多情况下，往往用“比拟视察法就可以确定出微分方程 2 的预解函数及预解常数、来，即先比拟预解方程组 8 中的第三式定出和，再代入其中的第一式定出，最后代入第二式就定出，因此这方法是可行的。所以一般三阶线性微分方程 2 可通过确定其预解 8 就能将该方程化为常系数微分方程来求解，从而可用特征方程的方法得到其通解。其次考虑方程 3 的求解，在方程 3 中，其中，及都是所考虑区间的连续函数，没有普遍的解法，但是当方程 3 系数满足一定的条件时

16、，这类方程的通解是可求的，经整理，我们可以得到如下定理：定理2 对于方程 3 当系数满足，时，可化为常系数线性方程， 9 其中为常数。然后可用常数变易法得到其通解证明 引入变量为常数，那么有，将，及代入方程 3 得。整理得 。 10 将，代入 10 即得方程 9 。注1：为任一常数。当时，所作变换同文献16，时，表示变换不唯一。要得到方程 3 的解，可先求方程 9 的通解，求方程 9 的通解，只要求出方程 9 对应的齐线性微分方程 11 的通解，再利用常数变易法，便可求得方程 9 的通解。很显然，方程 11 的通解为，其中，及均为任意常数。 令：是方程 9 的解，代入 9 有，化简得，解得，那

17、么是方程 9 的解，从而得到方程 3 的解为 12 又由于，及均为任意常数，是彼此独立的。故 12 也是方程 3 的通解。推论 对方程 3 ，当系数满足定理2条件及时，方程 3 的通解为。证明 将代入方程 12 便可得到方程 3 的通解为。最后，对于三阶变系数的常微分方程 4 ，在通过适当的变量替换，也可以求出该方程的通解公式。为了行文方便，我们记 ，。并得到结论如下：定理3 假设，都为常数，且，为代数方程的三个根。那么 1 当，为互不相同时，方程 4 的通解为； 2 当时，方程 4 的通解为； 3 当时，方程 4 的通解为，其中，为常数。证明 令 ， 13 于是 ， ， 14 ， 15 将

18、13 - 15 代入 4 ，我们有 ， 16 进而有 。 17 由条件可知，方程 17 可化为三阶常系数的线性常微分方程。 18 由，为方程 18 的特征方程的三个根，当，为互不相同时，容易得到方程 18 的通解为，从而可得方程 4 的通解为，其中，为常数。即定理3的结论 1 成立。同理可证定理3的结论 2 和 3 成立。定理3证完。定理4 假设存在常数，使，且，为欧拉方程，的根本解组。那么方程 4 的通解为，其中，为常数。证明 由定理4的条件， 结合 13 - 17 式可将方程 4 化为 ， 19 进而可将方程 4 化为欧拉方程。 20 由文献9，容易求得欧拉方程 20 的根本解组，不妨设其

19、为，从而可得方程 4 的通解为，其中，为常数。定理4证完。3 应用举例例1 求解微分方程。解：将方程改写成，预解方程组为：，比拟 23 式两端计有，代入 21 式得，再代入第 21 式求得，于是所给方程是 5 型方程，故作自变量变换，所给方程就化为以为自变量的三阶常系数非齐次方程。 24 对应的齐次方程的特征方程为即，它有三重特征根，因此设方程 24 有特解，这里，为待定常数，把它代入方程 24 ，得到，。故，从而方程 24 的通解为。回到原来的自变量，即得原方程的通解为。例2 求方程在内的通解。解：将方程改写成，其预解方程组为：，由 27 显然有，。将代入 25 得。最后将，代入 26 得，

20、所以所给方程是 5 型方程。于是籍自变量变换即，可将所给方程化为以为自变量的三阶常系数线性方程。 28 它对应的齐次方程的特征方程的三个根为，由此应设方程 28 的一个特解为，其中常数、待定，把它代入方程 28 ，得。由此推知，故，。所以原方程的通解为例3 求方程在域内的通解。解：将方程改写成：。预解方程组为：，注意到，故从 31 定出，比拟 29 式的两端显然计有，再代入 30 式得出，于是此方程属 5 型方程。作自变量变换，那么所给方程化为以为自变量的三阶常系数非齐次方程， 32 对应的齐次方程的特征方程有三个单根0，1，2，所以方程 32 的特解应设为，其中常数，待定。将其代入 32 ，

21、得。由此推知，故方程 32 的通解为。回到原来的自变量，即得原方程的通解为。例4 。解：因为，显然满足定理2的条件，故由定理2得该方程的通解为。例5 。解：显然，为常数，而且，满足推论条件，那么由推论可得通解为。例6 解：显然，而且，满足推论条件，那么由推论可得通解为。例7 求解三阶变系数的线性常微分方程。 33 解：由方程 33 ，显然有，容易直接算得，且代数方程的根为 0，从而由定理3的结论 3 可知，方程 33 的通解为，为常数。注2：由定理4将三阶变系数的线性常微分方程转化为常系数的线性常微分方程求解方法的关键是利用变量替换，不难看出，对一般的阶变系数的线性常微分方程，在系数函数满足适

22、当的条件下，也可以利用变量替换，将其转化为阶常系数的线性常微分方程来求解。 4 结束语本文主要是对几类三阶常微分方程通解公式的研究，给出了微分方程的定义、开展过程和三类三阶常微分方程的通解公式及其相关证明，提高了对常微分方程相关理论知识的认识，也领会到了求解三阶微分方程的理论意义和实际意义，在今后的工作和学习中我将进一步加强对三阶常微分方程通解公式以及相关理论知识的研究和学习。 参考文献1 美赛蒙斯GF微分方程M张理京译北京人民教育出版社19812 中国大百科全书?数学M北京中国大百科全书出版社19883 杨文萍张超译连冠华Smale S在里约热内卢的海滩上发现了马蹄数学译林1999， 2 ：

23、114-1224 周坚赵士银三阶常系数线性微分方程特解的简单求法J西华大学学报自然科学版2021，11 6 5 虞继敏郑继明关中博变系数三阶线性微分方程的一种解法J高等数学研究2021，5 03 6 赵奎奇关于线性微分方程的刘维尔公式组J大学数学2004，20 6 ：102-1047 V.A.II in，E.I.Moiseev，Nonlcal boundary value problem of the second kind for a Sturm-Liouville operator in the differential and finite difference aspectsJ，Dif

24、ferential Equations，1987 7 ：803-8108 王高雄周之铭朱思铭王寿松常微分方程M 北京高等教育出版社1983：107-1219 丁同仁李承治常微分方程教程M北京高等教育出版社199810E.卡姆克常微分方程手册M北京科学出版社198611张学元关于常微分方程解法的一点评注J数学的实践与认识1992 3 ：19-2612张学元变系数二阶线性微分方程的一个新的可解类型J大学数学2003 1 ：96-9813汤光宋彭红英复常变系数三阶线性齐次微分方程的通解公式J安顺师专学报自然科学版19882 14张衡三阶线性常微分方程可积的充分必要条件J石河子大学学报自然科学版200

25、3，9 03 15李世云一类三阶变系数线性常微分方程的可积性J文山师范高等专科学校学报2005， 04 16汤光宋常微分方程专题研究M武汉华中理工大学出版社1995文献综述几类三阶常微分方程的通解公式 一、前言局部数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程数学的其他分支的新开展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的开展产生了深刻的影响，这些问

26、题都可以化为求常微分方程的解微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的根本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。1，2 ，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。二、主题局部有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文1 设有三阶常系数非齐次线性微分方程 1 对应的齐次方程的特征方程记为 2 假设令，且为微分方程 1 的解, 其中为多项式函数, 那么需满足以下恒等式定理2 设有三阶常系数非齐次线性微分方程 1 ,那么方程 1 的特

27、解形式可写为,其中且 1 当不是特征根时, 那么且多项式的系数满足 2 当是单特征根时, 那么且多项式的系数满足 3 当是二重特征根时, 那么且多项式的系数满足 4 当是三重特征根时, 那么且多项式的系数满足其中,；而。文献4-5通过将高阶微分方程转化为微分方程组，并结合二阶微分方程组的刘维尔公式，获得了三阶微分方程的通解公式，其主要结果如下：对于有解的三阶变系数齐次线性微分方程，通过变量代换可以转化为微分方程组该方程组的前两项构成新的二元方程组，再由刘维尔公式及必要的积分运算,最终可得出方程的通解。文献6-10在原有教材的根底上研究了一类三阶常系数非其次线性微分方程特解的简便公式，而且利用该

28、公式可容易地在计算机上编程计算。其主要结果如下：定理3 设有三阶常系数非齐次线性微分方程 3 及对应的齐次微分方程的特征方程，设，记， ，那么 1 当不是特征方程的根时，令，那么方程 3 有特解； 4 2 当是特征方程的单根时，令，那么方程 3 有特解 ； 5 3 当是特征方程的二重根时，令，那么方程 3 有特解； 6 4 当是特征方程的三重根时，令，那么方程 3 有特解。 7 文献11给出了复常系数线性齐次徽分方程的通解公式，并利用变量替换的方法，给出了一类复变系数线性齐次微分方程的通解公式。复系数三阶线性齐次微分方程 8这里的特征方程为 *令，那么*化为 其中，那么可求得的根，从而得到方程

29、*的根，再应用三阶齐次线性微分方程解的结构定理，文献11获得了如下结果：定理4 复系数三阶线性齐次微分方程 9其中，那么1 当为实数1a且时，方程9的通解为b且时，方程9的通解为2且时，方程9的通解为2且时，方程9的通解为2 当为虚数时，方程9的通解为，为任意复常数。定理5 三阶复变系数线性齐次微分方程 10其中，且那么1 当为实数1a且时，方程10的通解为b且时，方程10的通解为2且时，方程10的通解为2且时，方程10的通解为2 当为虚数时，方程10的通解为，其中，为任意复常数。文献12论证三阶线性常微分方程可积的两个充分必要条件。 众所周知，n阶线性常微分方程; 11在一般情况下是不可积的

30、。考虑三阶线性方程 12其中。方程， 13式13中，。记 ,。文献12获得了如下结果： 定理6 方程12经过变换, 化成方程13的充分必要条件是。 14式14中，。考虑三阶线性方程， 15 式15中。 对方程15和变换，记，定理7 对于，方程13经过自变量变换化成方程15的充分必要条件是文献13论述了一类三阶变系数线性常微分方程当满足条件和时,可用初等积分法求其通解,并推出了求解公式。为了表达方便,记三阶线性常微分方程为: 16 其中都在内连续。由文献14知,方程 16 的通解是存在的。文献13获得了如下结果：定理8 记，在三阶线性常微分方程16中,假设都在可导, ,且,那么可用初等积分法求此

31、方程的通解。推论 假设D和E都在可导, ,那么方程的通解为:其中, , ,文献15受文献13启发，探讨了一类可用初等积分法求解的n 阶变系数线性非齐次微分方程, 其解法可不需要考虑齐次方程通解的求解，直接去寻求相应方法的通解。其主要结果如下：在讨论了一类四阶、五阶变系数线性常微分方程的可积性,进而给出了方程 17 在条件下的初等积分法,并推出了其求解公式为 文献16中作者指出积分因子在常微分方程的重要地位，并指出如何快速的找出积分因子，以及如何用积分因子求解。积分因子法是一个非常有用的方法，它可以快速解答微分方程。三、总结局部 常微分方程是伴随着微积分的产生和开展而成长起来的一门历史悠久的学科

32、。从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成局部，常微分方程每一步进展都离不开其它数学分支的支援。这一古老的学科，由于应用领域的不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的开展至今仍充满生机和活力，当前许多数学前沿的研究热点都离不开常微分方程。2 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松1 常微分方程M . 北京: 高等教育出版社, 1983: 107, 110, 102, 1213 周坚,赵士银.三阶常系数线性微分方程特解的简单

33、求法J.西华大学学报 自然科学版 , 2021年11月6期4 虞继敏, 郑继明, 关中博. 变系数三阶线性微分方程的一种解法J.高等数学研究,2021年5月03期.5 赵奎奇. 关于线性微分方程的刘维尔公式组J.大学数学,2004 , 20 6 :102 - 104.6 杨瑞,王志伟.求一类三阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便公式J.郑州经济管理干部学院学报,2002年12月04期7 中山大学数学系常微分方程组. 常微分方程 M . 北京:人民教育出版社,1978 :114 119.8 同济大学数学教研室. 高等数学 下 第四版 M . 北京:高等教育出版社,1996 :377 392.9

34、何兰. 一类微分方程特解的简易求法 J . 河南教育学院学报 自然科学版 ,1998 , 4 :29 31.10杨瑞. 一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解研究 J . 河南科学,2000 , 4 :339 343.11汤光宋,彭红英. 复常变系数三阶线性齐次微分方程的通解公式J. 安顺师专学报自然科学版1988年第2期。12 张衡. 三阶线性常微分方程可积的充分必要条件J.石河子大学学报 自然科学版 ,2003年9月03期.13李世云. 一类三阶变系数线性常微分方程的可积性J;文山师范高等专科学校学报;2005年04期, 郭俊. n 阶变系数线性常微分方程的可积性J.喀什师范学院学报,

35、2021.06:00416 Martin Gould, Edward Hurst. Integrating Factors M. London:Springer London. 2021.开题报告几类三阶常微分方程的通解公式 一、选题的背景、意义 常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和开展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的开展密切相关 常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反响过程稳定性的研究等等，这些问题都可以1，2，或者化为研究解的性质的问题。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面