小学奥数教程之-中国剩余定理及余数性质拓展教师版(90)全国通用(含答案)

1、5-5-4. 中国剩余定理及余数性质拓展教学目标1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用知识点拨一、中国剩余定理 中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： “二十三。 ”此类问题我们可以称为“物不知其数 ”类型，又被称为“韩信点兵 ”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3 人一列余1 人、 5 人一列余2 人、 7 人一列余 4 人、 13 人一列余6 人 。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题

2、：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩3 人，则兵有多少？首先我们先求5、 9、 13、 17 之最小公倍数9945 （注：因为5、 9、 13、17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积） ，然后再加3，得 9948（人）。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。（ 2）趣题二我国明朝有位大数学家

3、叫程大位，他在解答“物不知其数 ”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理 ”（ Chinese RemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3 所得的余数用70 乘五树梅花廿一枝，是说除以5 所得的余数用21 乘七子团圆正月半，是说除以7 所得的余数用15 乘除百零五便得知，是说把上面乘得的3 个积加起来，减去105 的

4、倍数，减得差就是所求的数此题的中国剩余定理的解法是：用70 乘3 除所得的余数，21 乘5 除所得的余数，15 乘7 除所得的余数，把这3 个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105 大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求也就是270321215233 ， 233105128 ， 12810523为什么70， 21， 15， 105 有此神奇效用？70， 21， 15， 105 是从何而来？先看70，21，15，105 的性质：70 被3 除余1，被5， 7 整除，所以70a 是一个被3 除余a 而被5 与7 整除的数； 21 是 5 除余 1，被 3 与 7

5、整除的数，因此21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理15c是被 7 除余 c，被 3、 5 整除的数， 105 是 3，5，7 的最小公倍数也就是说，70a21b15c 是被 3 除余a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数了解了 “剩余定理 ”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题

6、目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5， 7后，得到三个余数分别为2，3， 2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3 余 1，并且还是5 和先由 5735 ，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看7 的公倍数。35 除以 3余2，不符合要求，那么就继续看5 和7 的“下一个 ”倍数 35270 是否可以，很显然70 除以3 余 1类似的，我们再构造一个除以5 余最后再构造除以7 余 1，同时又是1，同时又是3 和 7 的公倍数的数字，显然21 可以符合要求。3， 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245k3,5,7233k3,5,7，其中k

7、 是自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，那么我们可以计算27032124523,5,723 得到所求如果加上限制条件 “满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上 3,5,7 即可，即 23+105=128 。例题精讲模块一、余数性质综合【例 1 】一个数除以3 的余数是2，除以 5 的余数是1，则这个数除以15 的余数是【考点】余数性质综合【难度】 1 星【题型】填空【关键词】希望杯，4 年级，初赛，8 题【解析】 除以 3 余 2 的数有： 2、 5、

8、8、 11、14除以 5 余 1 的数有： 1、 6、 11、16、 21观察得到符合条件的答案是11。【答案】11【例2 】有一群猴子正要分56 个桃子每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时又窜来4 只猴子。只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子则最后每只猴子分到桃子_个。【考点】余数性质综合【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分【解析】 56 的约数有： 1、 2、 4、 7、8、 14、 28、 56,55 的约数有： 1、 5、11、55，其中只有11=7+4 ，所以原来有7 只猴，后来有11 只猴，每只猴子分到55 ÷

9、;11=5 个 .【答案】 5【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分【解析】56 的因数有1，2， 4， 7， 8， 14，28， 56，其中只有4 和 8 相差 4，所以最后有猴子8 只，每只猴子分到 56 ÷8 7 个桃子。【答案】 7【例 3 】 一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13余 10，这个数是几？【考点】余数性质

10、综合【难度】 3 星【题型】解答【解析】 根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=13 10=3 ，观察发现这个数加上3 后就能同时被 11 和 13 整除 ,所以 11 、13=143 ，所以这个数是143-3=140 。【答案】140【巩固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5 人，其他人按8 人一组围在外圈；另一种是中间一组8 人，其他人按5 人一组围在外圈。问最多有多少名同学?【考点】 余数性质综合【难度】 3 星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第10 题【解析】 此题实际是一个不足100 的整数，减去5 能被 8 整除，即除以8 余 5，减去 8

11、 能被 5 整除，即除以余 3，求其最大值。13 除以 8 余 5，除以 5 余 3， 8 和 5 的最小公倍数为40，13 2 ×40 93，为满足条件的整数，即最多有93 名同学。5【答案】93【例 4 】5 年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 排多 5 人，问上体育课的同学最少_ 人。【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空【关键词】小数报，初赛【解析】 题意相当于：除以3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这样我们根据总结知道都只能缺 ”，所以都缺1，这样班级人数就是3

12、、 4、 5、 6-1=60-1=59 人。“凑【答案】59【巩固】有一个自然数，除以2 余 1，除以3 余 2，除以是。【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题， 10分【解析】 这个数加 1 能同时被 2 ， 3， 4， 5，6 整除，而4 余 3，除以5 余 4，除以2 ， 3，4，5，6=606 余5，则这个数最小所以这个数最小是60 1=59 。【答案】 59【巩固】 n 除以 2 余 1，除以 3 余 2 ，除以【考点】余数性质综合【难度】 2 星4余 3，除以 5余4，【题型】填空，除以16 余 15 。 n 最小为。【关键词】走美杯

13、，5 年级，决赛，第1题，8分【解析】n 加上 1后变成 116 的公倍数，所以n1 最小为 1695711 13720720 ， n 最小为720719 。【答案】720719【巩固】小朋友们要做一次“动物保护” 宣传活动， 若 1 人拿 3 个动物小玩具， 则最后余下2 个动物小玩具；若 1 人拿 4 个动物小玩具，则最后余下 3 个动物小玩具；若 1 人拿 5 个动物小玩具，则最后余下 4 动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了 _个动物小玩具。【考点】余数性质综合【难度】2 星【题型】填空【关键词】学而思杯，3 年级，第9 题【解析】 那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整

14、除，能同时被3,4,5整除最小整数位60 。所以这次活动小朋友至少拿了59 个玩具。【答案】59【巩固】小朋友们做游戏，若3 人分成一组，则最后余下2 人；若4 人分成一组，则最后余下3 人；若5 人分成一组，则最后余下4 人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。【考点】余数性质综合【难度】2 星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分【解析】 这个数除以3 余2，除以4 余3，除以5 余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、 4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59 人【答案】59【例 5 】一个自然数被7，8， 9 除的余数分别是1，2， 3，并

15、且三个商数的和是570，求这个自然数【考点】余数性质综合【难度】 2 星【题型】解答【解析】 这个数被 7，8，9 除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6 后能被 7，8，9 整除，而 7,8,9504 ，所以这个数加上6 后是 504 的倍数由于这个数被7， 8， 9 除的三个商数的和是570，那么这个数加上 6 后被被 7， 8， 9 除的三个商数的和是570111573 ，而504950485047787989191 ， 5731913 ，所以这个数加上6 等于504 的 3 倍，这个数是504361506 【答案】1506【例6 】数 119 很奇特：当被2 除时，余数为除时，余数

16、为4；当被 6 除时，余数为1；当被 3 除时，余数为2；当被 4 除时，余数为5问：具有这种性质的三位数还有几个？3；当被5【考点】余数性质综合【难度】3 星【题型】解答【解析】 1，2， 3， 4， 5， 660 三位数中60 的倍数15 个所以，除了119 外，还有 15114 （个）【答案】14【巩固】有一批图书总数在1000 本以内， 若按 24 本书包成一捆， 则最后一捆差2 本；若按 28 本书包成一捆，最后一捆还是差2 本书；若按32 本包一捆，则最后一捆是30 本那么这批图书共有本【考点】余数性质综合【难度】 3 星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3 题【解析】由

17、题意可知，这批书如果再多2 本，那么按24本， 28 本， 32 本一捆全书时，都将恰好分成整数本.所以这批书的本数加上2 之后是 24 ， 28 ， 32 的公倍数，而24,28,32672 ，所以这批书的本数是672k2 ( k 是整数 ).由于这批书少于1000 本，所以 k 只能为 1，这批书有670本 .【答案】 670 本【例 7 】某个自然数除以2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是。【考点】余数性质综合【难度】 3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分【解析】 除以 2 余 1，除以 4 余 1，除以5 余 1

18、的最小的数减去1 能被 2、 4、5 整除，所以，所以这个数可以表示为 20n+1,n 是自然数，所以20n+1 中除以 3 余 2 的最小数是 41.【答案】41【例 8 】 一个大于10 的自然数， 除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？【考点】余数性质综合【难度】 4 星【题型】解答【解析】 根据总结， 我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以7 余 8，所以可以看成这个数除以 5、7、 9 的余数都是8，那么它减去 8

19、 之后是 5、 7、 9 的公倍数而 5,7,9315 ，所以这个数最小为315 8323【答案】 323【巩固】一个大于10 的数，除以3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？【考点】余数性质综合【难度】 4 星【题型】解答【解析】 法 一：仔细分析可以发现3215273、 5、 11 除余 7，由于，所以这个数可以看成被3, 5,11165，所以这个数最小是1657172 法二：事实上，如果没有“大于 10 ”这个条件， 7 即可符合条件，所以只需要在7 的基础上加上3、5、11 的最小公倍数，得到172 即为所求的数【答案】172【例 9】a 是一

20、个三位数 .它的百位数字是4， a9 能被 7 整除， a7 能被 9 整除，问 a 是多少？【考点】余数性质综合【难度】 4 星【题型】解答【解析】 a 9 能被7 整除，说明 a97a2能被 7 整除； a 7 能被 9 整除，说明 a 7 9a 2能被 9整除；7963 ，则 63261符合上述两个条件.(因 63261，则 a 可以写成这样的形式：a 63?61).又 a 是一个百位数字是4 的三位数，估算知，a63661439 .【答案】439【例 10 】一个八位数，它被3 除余 1，被 4 除余 2，被 11 恰好整除，已知这个八位数的前6 位是 257633，那么它的后两位数字

21、是_ 。【考点】余数性质综合【难度】4 星【题型】填空【关键词】101 中学，入学测试【解析】 设后面这个两位数为ab，前面数字和为26 除以3 余2，所以补上的两位数数字和要除以3 余2。同理要满足除以4 余2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+ a）,偶数位数字和为（5+6+3+ b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86。【答案】 86模块二、中国剩余定理【例11 】 “民间流传着一则故事韩信点兵 秦朝末年，楚汉相争一次，韩信将1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌他命令士兵3 人一排，结

22、果多出2 名；接着命令士兵5 人一排，结果多出3 名；他又命令士兵7 人一排，结果又多出2 名韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？【考点】中国剩余定理【难度】【分析】 也就是说：一个自然数在3 星1000 和【题型】解答 1100 之间，除以3 余2，除以5 余3，除以7 余2，求符合条件的数方法一：先列出除以再列出除以3 余5 余2 的数： 2，5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，3 的数： 3，8， 13， 18， 23， 28，；这两列数中，首先出现的公共数是8

23、3 与5 的最小公倍数是15两个条件合并成一个就是 815整数，列出这一串数是8，23， 38，再列出除以7 余2 的数2， 9， 16， 23，30，就得出符合题目条件的最小数是23而 3， 5， 7105 ，我们就把题目转化为：求 1000 1100 之间被105 除余23 的数韩信有10510231073 （个）将士方法二：我们先找出被3 除余 2 的数： 2， 5， 8，11， 14， 17，20， 23，26， 29， 32， 35， 38， 41，44；被 5 除余 3 的数： 3， 8， 13，18， 23，28， 33，38， 43，48， 53，58；被 7 除余 2 的数：

24、 2， 9， 16，23， 32，37， 44，51三个条件都符合的最小的数是23，以后的是一次加上3， 5， 7 的公倍数，直到加到和 1100 之间结果是23105101073 具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开1000始做会方便一些方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求233 加上105 的倍数在1000 1100 之间的数通过尝试可以求出这个数是23310581073 【答案】1073【例12 】一个数除以3 余2，除以5 余3，除以7 余 4，问满足条件的最小自然数_.【考点】中国剩余定理【难度】3 星【题型】填空【解析】 方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我

25、们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、 5 的公倍数3、 7 的公倍数5、 7 的公倍数15304521426335701056084140找出除以7 余4 的除以5 余3除以3 余2可以找出分别是：606335可见 60+63+35=158 满足我们的条件， 但不是最小的自然数， 处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53 。方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用 7 的倍数加 4，当 4 被加上两个 7 时得到 18，恰好除以 5 余 3，此时符合后两个条件；再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数

26、加 18，当 18 被加上 1 个 35 个，得到 53，检验符合三个条件 所以所求的最小自然数就是 53.【答案】 53【例 13 】一个自然数在1000 和 1200 之间，且被3 除余【考点】中国剩余定理【难度】 3 星【题型】解答【解析】 方法 1：中国剩余定理1，被5 除余2，被7 除余3，求符合条件的数3、 5 的公倍数3、7 的公倍数5、7 的公倍数15304560214263843570105140找出除以7 余3 的除以5 余2除以3 余1可以找出分别是：454270可见45+42+70=157满足我们的条件， 但不是1000 到 1200 之间的数， 处理方法就是加上最小公

27、倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：10510521102 。方法2：我们先找出被3 除余1 的数：1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25，28， 31，34， 37，40， 43，46， 49，52， ；被 5 除余 2 的数： 2， 7， 12，17， 22，27， 32，37， 42，47， 52，57， ；被 7 除余 3 的数： 3， 10， 17， 24， 31， 38， 45， 52， ；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、 7 的最小公倍数，直到加到1000 和1200 之间结果是 105 1052 1102 方法 3：

28、先列出除以3 余 1 的数： 1， 4， 7， 10， 13， 16， ；再列出除以5 余 2 的数： 2， 7， 12， 17， 22， 27， ；这两列数中，首先出现的公共数是7 3 与 5 的最小公倍数是15两个条件合并成一个就是7 15 整数，列出这一串数是 7， 22， 37，52， ；再列出除以 7 余 3 的数：3， 10， 17， 24， 31， 38， 45， 52， ；就得出符合题目条件的最小数是52事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105 除余 52那么这个数在1000和 1200之间，应该是105 10 52 1102 方法 4：设这个自然数为a ，被 3 除

29、余 1，被 5 除余 2，可以理解为被3除余 3 2 1，被 5除与 52，所以满足前面两个条件的a 15m 7( m 为自然数 )，只需 15m 7除以 7余 3，即 15m 除以 7 余 3，而 15 7 2 1 ，只需 m 除以 7 余 3，m 最小为 3，所以满足三个条件的最小自然数为315752，其后的是一次加上3、5、7 的最小公倍数，直到加到 1000 和 1200 之间结果是 10510521102 【答案】 1102【例 14 】一个数除以3、 5、7、 11 的余数分别是2、3、 4、 5，求符合条件的最小的数【考点】中国剩余定理【难度】 3 星【题型】解答【解析】 法一：

30、将 3、 5、 7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数，如表：3、5、7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找， 但注意到 210 除以 11 余 1，所以 2105 1050被 11 除余 5，由此可知 770693165 10502678 是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去 3、 5、7、 11 的公倍数使得它小于它们的最小公倍数由于3、5、 7、 11 的最小公倍数是 1155，所以 2678 1155 2368 是符合条件的最小值法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3 个余数条件的，比如先求满足除以3、 5、7的余数分别是 2、3、4 的，既可采用中

31、国剩余定理，得到702213154263 是满足前3 个余数条件的，从而其中最小的是263 105 2 53 ；由于 53 除以 11 的余数为 9，105 除以 11 的余数为 6，可知 9 6 3 27 除以 11 的余数为 5，所以 53 105 3368是满足条件的最小数 也可以直接观察发现这个数乘以2 之后除以 3、5、7 的余数分别是4、6、8，也就是除以 3、5、7 的余数都是 1，所以满足前三个条件的数最小为(3571)253 ，后面的步骤与上面的解法相同【答案】 53【例15 】有连续的三个自然数a 、 a1 、 a2 ，它们恰好分别是9、 8、 7 的倍数，求这三个自然数中

32、最小的数至少是多少？【考点】中国剩余定理【难度】 3 星【题型】解答【解析】 法一：由 a1 是数 a 除以8 的倍数，得到a 被 8 除余 7，由 a2 是 7 的倍数，得到a 被 7 除余 5，现在相当于一个9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5.运用中国剩余定理求a (用逐步满足的方法也可以)7 和 8 的公倍数中除以9 余 1 的最小为280； 7 和 9 的公倍数中除以8 余 1 的最小是公倍数中除以7 余 1 的最小是 288，根据中国剩余定理，符合各个余数条件，但4527 不是最小的，还需要减去441；8 和 9 的7、8、9 的公倍数，可知 452778 98495 是

33、满足各个余数条件的最小值，所以a 至少是 495法二：仔细观察，可知由于a 、 a 1、 a 2 恰好分别是 9、8、7 的倍数，那么 a9、 a18 、 a2 7 也分别是 9、8、7 的倍数，即 a9是 9、 8、 7 的公倍数，那么 a 9 的最小值是9 87504，即 a 至少是 504 9 495【答案】 495模块三、余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【例 16 】有一个数，除以3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以12 余几？【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】 3 星【题型】解答【关键词】首师大附中，分班考试【解析】 方法一：除以3 余 2 的数有： 2， 5

34、， 8，11， 14， 17， 20， 23， ；它们除以12 的余数是： 2， 5，8， 11， 2， 5， 8， 11， ；除以 4 余 1 的数有： 1， 5， 9，13， 17，21， 25， 29， ；它们除以12 的余数是： 1， 5，9， 1， 5，9， ；一个数除以12 的余数是唯一的上面两行余数中，只有5 是共同的，因此这个数除以512 的余数是方法二：一个数，除以3 余2，除以4 余1，可以理解为除以3 余 32 ，除以4 余 41，所以这个数减去5 后，既能被3 整除，又能被4 整除，设这个数为a ，则a12m5 ，(m 为自然数)所以这个数除以12 余5【答案】5【例1

35、7 】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个 )，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔他先试着每隔2 孔跳一步， 结果只能跳到B 孔他又试着每隔4 孔跳一步，也只能跳到B 孔最后他每隔6 孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?BA【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】3 星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为 2， 3， 4， ， B 孔的编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔2 孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1， 4

36、， 7，10， 上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3 的倍数加1按题意，小明最后跳到B 孔，因此总孔数是3 的倍数加1同样道理，每隔4 孔跳一步最后跳到B 孔，就意味着总孔数是5 的倍数加1；而每隔6 孔跳一步最后跳回到A 孔，就意味着总孔数是7 的倍数如果将孔数减1，那么得数既是3 的倍数也是5 的倍数， 因而是 15 的倍数这个 15 的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为 a ，则 a 15m 1 （ m 为非零自然数）而且 a 能被 7 整除注意 15 被 7 除余 1，所以 15 6 被 7 除余 6， 15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除我们还可以看出， 15 的其他 (小于的

37、7)倍数加1 都不能被7 整除，而 157105 已经大于100 7 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是15 6191【答案】 91【例 18 】三个连续三位数的和能够被13 整除，且这三个数中最大的数被9 除余 4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是。【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】 3 星【题型】填空【关键词】学而思杯，6 年级【解析】 设中间数是 a ，三个连续自然数的和是中间数的3 倍即 3a ，由 13| 3a 得 13| 3a ，所以中间数能被13 整除，而其中最大的数被9 除余 4，说明中间数被9 除余 3，从 1000 往下试能被13 整除的数为988

38、， 975 ， ，975 符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.【答案】 974【例 19 】某小学的六年级有一百多名学生若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人该年级的人数是【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】 3 星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第6题，5分【解析】 符合第一、第三条条件的最少人数为3 ×7+1=22 人，经检验， 22 也符合第二个条件，所以22 也是符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3 ×5×7=

39、127 。【答案】 127【例 20 】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（）人。【考点】余数性质的拓展应用新中国剩余定理【难度】3 星【题型】填空【关键词】华杯赛决赛第6 题，10分【解析】 根据条件，该数除以3余1，除以 5余 2，除以7 余 1，逐级满足法，令该数为a，则 a÷ 3 .1a÷ 5 .2a÷ 7 .1符合条件 的有1，4， 7， 10， 13，16 .符合条件 的有 2，7， 12 .同时满

40、足 、 的最小值为 7，以后 a=7+15 m 均满足 、 ；现在来看（7+15 m） ÷ 7 ，.1则 15m÷ 7 ，.1则 m 最小取 1，符合，最小的符合的数为a=22 。以后每隔3,5,7105即符合。该年级有100多名学生，为 22+1-5=127 。【答案】 127【例 21 】三个连续的自然数，从小到大依次是4、 7、 9 的倍数，这三个自然数的和最小是【考点】余数性质的拓展应用 新中国剩余定理【难度】 3 星【题型】填空【关键词】 学而思杯， 6 年级， 1 试，第 3 题【解析】 本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、 7、

41、9 整除的数的特征或者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1 和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4 余 1，除以 9 余 8，且能被 7 整除，且这个数的最小可能值这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，也可以采用中国剩余定理来解方法一：逐步满足法除以4余1的数有： 1， 5， 9，13， 17， 21，；除以9余8的数有： 8， 17，26，可见同时满足这两条的数最小为17，由于4,936 ，那么满足除以 4 余 1 且除以9 余 8 的数有： 17， 53， 89， 125， 161，197 其中能被 7整除的数最小为161，所以所求的3 个连续自然数的中间的那个数最小为161，那么它们的和最小为 161 3 483 方法二：代数表示法根据题意， 设这三个数分别为7 k1 、7k 、7k1（ k 是整数），那么 7 k1是 4 的倍数， 7 k1是 9 的倍数，由于 7k 18kk1， 7 k19k2k 1 ，所以 k1 是 4 的倍数， 2k1是 9 的 倍 数 ， 由 k1 是 4 的 倍 数 知 2k 2 是 8 的 倍 数 ， 设 2k 19n ， 那 么2k 2 9n3 8n n3 ，所以 n3 是 8的倍数，