第二章弹性力学基础知识

1、1第二章第二章 弹性力学基础知识弹性力学基础知识2 -研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。弹性力学 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：3材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。 结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。研究对象4 ：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件; 并在边界条件下求解上述方程，得出

2、较精确的解答。弹力研究方法 在研究方法上，弹力和材力也有区别： 5 材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。 因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。6 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。 弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：地位7 任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素,从而建立计算模型,并归纳为学科的基

3、本假定。为什么要提出基本假定？2.1弹性力学的基本假定弹性力学的基本假定8（1）连续性-假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。弹性力学中的五个基本假定。 关于材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：9 （2）完全弹性 - 假定物体是,因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。a.完全弹性外力取消，变形恢复，无 残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。10（3）均匀性-假定物体由同种材料组成。 因此， E、等与位置 无关。（4）各向同性-假定物体各向同性。因此， E、等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。由（3）,（4）知E、等为常数),(zyx11

4、（5）小变形假定-假定位移和形变为很小。b. , 1. 变形状态假定：例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.a.位移物体尺寸, 例：梁的挠度v梁高h.12 小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。,),(),(),(32 第三节 弹性力学中的基本假定 变形状态假定 2),(13 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。14152.2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念： 外力、应力、形变、位移外

5、力、应力、形变、位移1. 外力：外力：体力、面力体力、面力(1) 体力体力VQ 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力。上所受的外力。VVQFlim0 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYX符号：符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等正负号：正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。16(2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力。上的外力。SQSSQFlim0 面力分布集度（矢量）面力分布

6、集度（矢量）xyzOijkXYZkjiFZYXX Y Z 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2 =1Pa (帕帕)1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕兆帕)正负号：正负号： 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。X Y Z符号：符号：17x)(zOy例：表示出下图中正的体力和面力x)(zOyXYXYXXYY182. 应力应力A内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)AAQslim0(1) P点的内力面分布集度点的内力面

7、分布集度(2) 应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向Q由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量QPn(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位：单位：与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的),(zyx),(zyx19(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyx

8、y,z面的应力：面的应力：zyzxz,20用矩阵表示：用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。xyyxxyzyyz剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义应力符号的意义(P8)xzzx第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定的规定(P8)正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxz

9、yxyyzzzyzxyxyyzzzyzx21与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：规定使得单元体顺时的剪应力规定使得单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。yxxy在用应力莫尔圆时必须按材料力学的规定求解问题在用应力莫尔圆时必须按材料力学的规定求解问题xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx22yyxxyxyxxyxy)(zOxy例：正的应力23 在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。应力与面力)(zOxyxfyfxyyfxfxxxy24材力：以拉为正材力：顺时针向为正xxxxyy)(zO)(zO弹力与材力 相比，正应力符号

10、，相同 切应力符号，不同253. 形变形变形变形变 物体形状物体形状的的改变改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用正（线）应变用正（线）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：正应变：正应变： 伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；剪应变：剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负；以

11、直角变小时为正，变大时为负；26(2) 一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变的邻域内线段与线段间夹角的改变xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；应变无量纲；4. 位移位移 注：注：一点的位移一点的位移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即;),(zyxxx),(zyxxyxyxyzOSwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mm272

12、8思考题1. 试画出平面问题正负 y 面上正的应力和正的面力 。2.试画出C点正的位移。xyzOC)(zOxy29前面的主要内容：前面的主要内容：外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。基本假定：基本假定：（1） 连续性假定；连续性假定；（2） 完全弹性假定；完全弹性假定；（3） 均匀性假定；均匀性假定；（4） 各向同性假定；各向同性假定；（5）小变形假定。）小变形假定。（注意：应力正负号规定注意：应力正负号规定）（了解这些假定的作用）（了解这些假定的作用）基本概念：基本概念：30弹性力学问题：弹性力学问题：已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性、约已知外力、物体的形状和大小（边

13、界）、材料特性、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。束条件等，求解应力、应变、位移分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。31问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xzyzxyzyx,xzyzxyzyx,wvu,需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系

14、：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变与应力间的关系。形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；2.3弹性力学的基本方程与求解弹性力学的基本方程与求解32一一 平衡微分方程平衡微分方程 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。系。33 在物体内的

15、任意一点在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。 一一 平衡微分方程平衡微分方程oxyzzzdzzzyzydzzzxzxdzzyydyyyzyzdyyyxyxdyyxxyxzzzyzxyyzyxxxdxxxyxydxxxzxzdxxeeBPCAdxdydz35首先，以连接六面体前后两面中心的直线首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出为矩轴，列出力矩的平衡方程力矩的平衡方程ee0eeMoxyzzzdzzzyzydzzzxzxdzzyydyyyzyzdyyyxyxdyyzzyzxyy

16、zyxeeBPCAdxdydz3602222yzzyyzyzzyzydydydzdzdy dxdzdxdzdz dxdydxdyyz整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得yzzy同样可以得出同样可以得出,xyyxzxxz剪应力互等定理oxyzzzdzzzyzydzzzxzxdzzyydyyyzyzdyyyxyxdyyzzyzxyyzyxeeBPCAdxdydz37列出列出x轴方向的力的平衡方程轴方向的力的平衡方程0 xF BoxyzzxzxdzzyxyxdyyxzxyxxxdxxPCAcdxdydzyxxxxyxdx dydzdydzdy dzdxxyzxyxzxdzdxdz dxdyz

17、0zxdxdyXdxdydz化简，除以化简，除以dxdydz，得，得0Xzyxzxyxx38000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的可以得出与之相似的两个方程两个方程,三个方程共同组成空间问题的平衡方程。三个方程共同组成空间问题的平衡方程。0yF 0zF 39二. 几何方程第二节有关力学基本概念描述已知第二节有关力学基本概念描述已知: :* *在载荷作用下在载荷作用下, ,物体的形状和位置要发生变化物体的形状和位置要发生变化, ,* *用用应变应变来度量一点来度量一点

18、形状的改变形状的改变; ; 用用位移位移来度量一点来度量一点位置的改变位置的改变. . 如已知物体中每一点的位移如已知物体中每一点的位移, ,则受载物体的位置则受载物体的位置和形状均可确定和形状均可确定. .即位移与应变之间存在一定的关即位移与应变之间存在一定的关系系. . 描述描述位移与应变之间关系位移与应变之间关系的方程称为的方程称为几何方程几何方程40 研究在研究在oxy平面平面内投影的变形，内投影的变形，PABCABCPPA=dxPB=dyPC=dz二. 几何方程xyOz41二二 几何方程几何方程一点的形变一点的形变线段的线段的伸长或缩短；伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；

19、xyOP考察考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。42xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy43

20、xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关系，是间的关系，是弹性力学的基本方程之一。弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确定不能确定u、v。xyyx,xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角减小为正，增大为负。以两线段夹角减小为正，增大为负。44 同样方法研究另外两平面同样方法研究另外

21、两平面yoz和和zox上投影线元的变形可得上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西西(Cauchy)方程方程xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz空间问题的几何方程空间问题的几何方程变形协调方程变形协调方程 应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。-从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。-从物理上

22、看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 第1式对y求两阶偏导第2式对x求两阶偏导2322yxuyx2322xyuxy两式相加：23232222xyuyxuxyyxxvyuyx2将第4式代入得：yxxyxyyx22222 同理：xzzxzxxz22222zyyzyzzy22222yxxyxyyx22222变形协调方程48xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 000yxxzxxyyzyyz

23、xzzXxyzYxyzZxyz49三三 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（力学中的广义虎克（Hooke）定律。）定律。（2-13）其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。为侧向收缩系数，又称泊松比。zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxEEEEEE)1 (

24、 2),(1)1 ( 2),(1)1 ( 2),(150弹性力学问题的基本方程弹性力学问题的基本方程zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxEEEEEE)1 ( 2),(1)1 ( 2),(1)1 ( 2),(1xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz51 严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空 间的受力状态，属于空间问题。然而，对于某些特定的问间的受力状态，属于空间问题。然而，对于某些特定的问题，根据物体结构和受力情况可以简化为平面问题来处理。

25、平题，根据物体结构和受力情况可以简化为平面问题来处理。平面问题一般可以分为两类，一类是面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题平面应力问题，另一类，另一类是是平面应变问题平面应变问题。521. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 等厚度薄板等厚度薄板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。方向不变化

26、。53xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面如图选取坐标系，以板的中面为为xy 平面，垂直于中面的任一直线平面，垂直于中面的任一直线为为 z 轴。轴。由于板面上不受力，根据应力由于板面上不受力，根据应力边界条件方程：边界条件方程：02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变轴方向不变0z0zx0zy得：得：zxyzxyzyx、物体内一点的应力状态：物体内一点的应力状态：0z0zy0zx0z0zy54结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxy

27、xyxxyxyxy说明：应变分量、位移分量也仅为说明：应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。注意：注意：0 xzzx000zyx00yzzyxy0zx0z0zy物理方程物理方程空间应变空间应变552. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且的尺寸大得多，且沿长度方向几何形沿长度方向几何形状和尺寸不变化。状和尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z

28、方向不变方向不变化。化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。btat ,水坝水坝tab56(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，仅为方向都不变化，仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝tab因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平

29、面位移问题0z0yzzy0 xzzxzuxwzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx,0z0yzzy0 xzzx0z0yzzy57水坝水坝),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。结论：结论：5859 如图所示三种情形，是否都属

30、平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题60 xyyztba水水坝坝滚滚柱柱61PBAC取微小的六面体取微小的六面体PABC（P点附近点附近），），dxPAdyPB Z 方向取一个单位长度。方向取一个单位长度。设设PA、PB面的应力为：面的应力为：yxxyyx,体力：体力： X ，Y222)(! 21dxxdxxxyxyxyxyxyxyxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdyyyxyxd

31、xxxxBC面：面：dxxxyxydyyyy 注：注： 这里用了小变形假定，以变形前这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。的尺寸代替变形后尺寸。对于平面问题对于平面问题, ,分析平衡方程分析平衡方程62由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理PBACxyxyxyxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy630 xF11)(dydydxxxxx1

32、1)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0YxyxyyPBACxyxyxyxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy64平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（

33、2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、（钢、石料、混凝土等）；石料、混凝土等）；PBACxyxyxyxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy65xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvyuxvyvxuxyyx平面问题的几何方程：平面问题的几何方程：yxxyxyyx22222平面问题的变形协调方程：平面问题的变形协调方程：66（1）

34、平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中（2-15） 注：注：(1) 0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式0zxyzzxyxyxyyyxxGEE14211xyxyxyyyxxGEE521122)1 (2EG平面问题的物理方程平面问题的物理方程)(1yxzzE)(1zyxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-13）xyxyG167（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-16） 注：注：(2) 平面应变问题平面应变问题

35、 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：)1(12xyyE由式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得)(1yxzzE)(1zyxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1（2-13）)(yxz0zxyzz(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但0z)(yxz（3）两类平面问题物理方程的转换）两类平面问题物理方程的转换：)1(12yxxExyxyE)1 (2（2-16） )1(12xyyE)(1xyyExyxyE)1 (2 （2-15）)(1yxxE69试判断下列应变分量是否可能成为弹性体中的形变试判断下列应变分量是否可能成为弹性体中的形变;, 0;,;,2223Cxy

36、CxyBxAyDyCByAxyxyyxxyyxxyyx70回顾回顾:弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）几何方程：）几何方程：yuxvyvxuxyyx（3）物理方程）物理方程(平面应力平面应力)：未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。xyxyxyyyxxGEE14211.22222yxxyxyyx71边界条件：边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。x

37、yOqPuSSuSSS边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界表示边界S上的位移分量，上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：件可表达为：vu,vvuuss（2-17） 说明：说明：,0时当 vu称为固定位移边界。称为固定位移边界。（2）应力边界）应力边界72 在力边界上取微小体元dxdy1(平面问题)并考察它的平衡问题, 如图所示。（2）应力边界条件）应力边界条件XY

38、73由微小体元的x方向合力平衡，有 这里，ds为边界上斜边的长度，边界外法线n的方向余弦为l = dy/ds，m = dx/ds，则上式简化为 01d1d1dsXxyxyxXmlxyxXY74xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 的边界的边界 应力边界应力边界YX ,根据边界上面力与应力的平衡，可推出：根据边界上面力与应力的平衡，可推出：YlmXmlsxysysxysx)()()()(式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。轴的方向余弦。如：如： 垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的

39、边界：轴的边界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,75（3）混合边界问题）混合边界问题(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：76 例1:如图设在垂直于x轴的某一边界有连杆支承，写出边界条件。 解：在x方向上有连杆支承，则在x方向上有(位移边界条件)，而在y方向上有面力为0，代入应力边界条件方程有，得（应力边界条件）。0Ysxy 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力

40、边界条件0 uusYlmXmlsxysysxysx)()()()(770sx0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件例例2 2：如图设垂直于：如图设垂直于x x轴的某一边界是轴的某一边界是齿槽边，写出边界条件。齿槽边，写出边界条件。解：在解：在x x方向有已知面力，代入应力边方向有已知面力，代入应力边界条件，得（应力边界条件）；在界条件，得（应力边界条件）；在y y方方向有位移边界条件向有位移边界条件( (位移边界条件位移边界条件) )。YlmXmlsxysysxysx)()()()(78例例1如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(

41、x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxNYlmXmlsxysysxysx)()()()(79例例2 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力

42、边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossinxyyx0sincosxyx804 4、空间问题边界条件、空间问题边界条件( (应力应力, ,位移位移) ),uu vv ww位移位移: :应力应力: :81xyxyxyyyxxGEE14211回顾回顾:（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2）几何方程：）几何方程：yuxvyvxuxyyx（3）物理方程）物理方程(平面应力平面应力)：结论：结论：

43、在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（2）应力边界）应力边界)1(12yxxExyxyE)1(2)1(12xyyE82两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题几何特征几何特征;应力应力特征特征几何特征几何特征受力特征受力特征yxxyyx,平面应变问题平面应变问题受力特征受力特征;应变特征。应变特征。yxxyyx,前面的主要内容：前面的主要内容：外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。基本假定：基本假定：（1） 连续性假定；连续性假定；（2） 完全弹性假定；

44、完全弹性假定；（3） 均匀性假定；均匀性假定；（4） 各向同性假定；各向同性假定；（5）小变形假定。）小变形假定。（注意：应力正负号规定注意：应力正负号规定）（了解这些假定的作用）（了解这些假定的作用）基本概念：基本概念：（两类平面问题中基本方程的异同）（两类平面问题中基本方程的异同）基本方程：基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；边界条件（位移、应力）。平衡方程、几何方程、物理方程；边界条件（位移、应力）。832.6 弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法）按位移求解（位移法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界

45、条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。与形变分量。（2）按应力求解（力法）按应力求解（力法）以应力分量以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分位移分量以部分位移分量 和部分应力分量和部分应力分量 为基本未知函数，将，为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。并求出这些未知量，再求出其余未知量

46、。84一一 按位移求解平面问题按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）（2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,852. 按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物

47、理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-19）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）00YyxXyxyxyyxx86（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,应力边界条件：应力边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得Yyuxvlxuyv

48、mEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）（2-17）87（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,（2-17）应力边界条件：应力边界条件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）式（式（2-20）、（）、（2-17）、（）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程）构成按位移求解问题的基本方程说明：说明： 对平面应

49、变问题，只需将式中的对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。88二二 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1. 形变协调方程（相容方程）形变协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程， 从形变、形从形变、形变与应力的关系建立补充方程。变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,变换：变换：

50、yxxyxyyx22222（2-22） 形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。xyyx,892.形变协调方程的应力表示形变协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：将物理方程代入相容方程，得：yxxyxyyx22222（2-22）yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）0Yyxyyx0

51、Xyxxyx（2-2）（a）xXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yYyyxyxy222（b）90将将 (b) 代入代入 (a) ，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222将将 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(（2-23）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1（2-24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）当体力

52、当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx（2-25）913.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（2-23）（3）边界条件：）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）（2-24）（平面应变情形）yYxXyxyx11)(222292例例下面给出平面应力问题（

53、单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx解解（a）（b）（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）03322xyxy033 yy 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a）不是一组可能）不是一组可能的应力场。的应力场。93例例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,