多维随机变量考试模拟题答案

1、第三章多维随机变量考试模拟题(本卷共100分)、选择题(每题2分共20分)则PXY=0=()A.1B.C.3D.14124解1:PXY=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=5+PX=2,Y=0=1/4+1/6+1/3=3/4解2:PXY=0=1-PXY。0=1-PX=2,Y=5=1-1/4=3/42.设两维随机变量(X,Y)的分布律为下表，则PXY=1=()A.0.4B.0.5C.0.3D.0.2解：PXY=1=PX=-1,Y=-1+P(X=1,Y=1)=0.2+0.1=0.3选C3.已知X,Y的联合概率分布如下所示-102Y001/65/121/31/120011/3001 F(x,y)为其

2、联合分布函数，MF(0,1)=(3A.0B.C.-D.-12641.务牟析：F（0,一）=PX苴0,Y壬一=0+1/6+1/12+0=1/4,（阴影部分概率之和）选D33注意：本题主要看你对离散型分布函数:F(x,y)=PXMx,Yy的理解。4.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为F（x,y）.其联合概率分布为下表X012-10.20.10.1000.3020.100.2则F(0,1)=5. A.0.2B.0.6C.0.7D.0.8解析：同上题一样：F(0,1)=PX0,YM1=0.2+0.1+0+0.3=0.6选B设随机变量X,Y相互独立，其联合分布为1231191823a则有（A.D.

3、33解析：根据离散型分布律性质：全部概率之和为Ua+6=1/3，只有A.B.符合,排除C.D.因为X与Y独立，所以有：PX=1PY=2=PX=1,Y=2即(1/3)(1/9+a)=1/9=a=2/9PX=1PY=3=PX=1,Y=3即(1/3)(1/18+6)=1/18=6=1/9,选B.6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列f(x,y)，则常数c=()C,0x3,0y2f(x,y)、L0其它A.3B.2C.1D.66解析：从密度函数看出X服从二维均匀分布，C应该是(X,Y)矩形区域面积3*2=6的倒数1/6,选C设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=Ae,X，了0则A=(

4、)A.1B.12C.-2D.2-be-be-be解：根据密度函数性质:IIAeeydxdy=Aedxe*dy0000=A(-e0二)(-1ey|0-：)=A(0+1)(0+1/2)=(1/2)A=12注意：二重积分当被积函数可以分离成为x与y的两个函数乘积时，且积分上下限不含积分变量时，一般可以简化为二个单重积分的乘积。设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=0y),0-其：，0y1，则k=()A.1B.1C.1D.24323解析：根据密度函数性质：211122,iik(xy)dxdy=k(xyx)|ody=ooo27. 11kJ(-x4+2y)dy=k(2y+y2)|；=k(2

5、+1)=1nk=1/3选Bo2注意：这里的两重积分，x与y无法分离为x与y函数的乘积，只能在对x积分时把y看成为常数，然后再对y积分，(反之也行)设X,Y独立且同分布，且服从参数p=1/4的o-1分布，则PX=Y=()A.1/16B.5/8C.9/16D.3/16解析：PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1=(3/4)(3/4)+(1/4)(1/4)=5/8，选B当0x1,0y1时，二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=x3y2,则它的密度函数f(x,尸)为()A.6x2yB.6xy2C.6xyD.3x2y2解析：将x看作变量求导(x3y2)=3x2y2,再将y看作变量求导(3

6、x2y2)=2*3x2y=2*3x2y=6x2y，选A、填空题(每题2分共20分)1.设随机变量(X,Y)的联合分布如下，Ma=2/9x12Y1116921a2解析：根据分布律的性质：1/6+1/9+1/2+a=1na=2/90；：x：1,0：y2、回，则X的边缘概率其他密度fx(x)=fx(X)=*”2x0菱x壬10,其它r2 xy.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=02解析：fx(x)=xydy=4y0,其它|2=40=2x022完整的写法为：fx(x)=2x0三x三10,其它其它1.、一一3.设二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)=3(xy),-x-2,0-y-1;则

7、0,其它。x.1解析：根据已知：fx(x)=1,。,当0%x也1时其它1,当0y2fy(y)=20,其它X与Y为相互独立nf(x,y)=(x)fy(y)=*1*2.0，fx(x)=360,5.设两维随机变量(X,Y)的分布律为下表，贝UPY=1=0401200.10.2010.20.20.3解：PY=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=1=0.2+0.2=0.46.设随机变量X,Y相互独立，且PX1=1,PYV1=1,则PX1,Y1=】236解析：X,Y相互独立，所以PX1,Y1=PX1PY1=xl=1236X01P1/43/47、设随机变量X,Y互相独立，且X,Y的分布律分别为Y12P1/3

8、2/3贝UPX+Y=1=1/12解析：X,Y互相独立nPX+Y=1=PX=0,Y=1=PX=0PY=1=(1/4)(1/3)=1/128.设随机变量(X,Y)的概率分布为下表,则PX=Y的概率为3/8012014161811418112p(X=Y=P(X=0,Y=0P(X=1,Y=1=1/41/8=3/89.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列f(x,y)，贝UPXA1=1/20x2,0y1=定义区域面积12122一2角牛1:PXA1=一dxdy=x|1jdy=(_x2)|0=_尺2=_i44-10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为下列f(x,y)，贝UPX1=1/82一10x2,0y

9、2r4f(x,y)VI0其它解析：解1:PX1=1dxdy=1x|052oi4J4112dy=(0.5)y|i=141(2-七8务军析：(1)(计算见表内式子，结果见红字)(2)(边缘分布见“边缘”阴影部分)123Pi,1(1/4)(0/3)=0(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(2/3)=2/121/42(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(0/3)=0(1/4)(2/3)=2/121/43(2/4)(1/3)=2/12(2/4)(1/3)=2/12(2/4)(1/3)=2/121/2P.j1/41/41/2不独立，检验：PX=1,Y=1=0圭PX=1PY=1=(1/4)(1/4)

10、=1/16。2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(8分)2exx0,0壬y1(1) f(x,y)=0l其它求(X,Y)分别关丁X,Y的边缘概率密度fx(x),fy(y)判断X与Y的独立性，说明理由解析：(1)fx(x)=J2exdy=2ex;fy(y)=J2exdx=-ex=100(2)f(x,y)=2eS=fx(x)fy(y)=2e*1,所以X与Y独立.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(16分)Cx2y0三x三1,0y1f(x,y)=0.5,Y0.51111解析：(1)Cx4组数据经检验都满足：PX=x,Y=y=PX=xPY=y,所以X,Y独宜ydxdy=Cx2dxfydy=C1x5

11、.设随机变量X,Y互相独立，且X,Y的分布律分别为（8分）01y20=1c=1,得c=60000326(2)fx(x)=6x2ydy=6x2(-y20)=32121fy(y)=6xydx=6y(x0331、-0)=2yf(x,y)=6x2y=fx(x)fy(y)=3x22y,所以X与Y独宜(4)PX0.5,Y0.5=6Jx2dxJydy=6】x3051y2050.50.53.2.=(1-0.53)(1-0.52)=0.656254.设二维随机变量(X,Y)的分布律为(8分)Y01X、028/10042/100112/10018/100（1）求X,Y的边缘分布判断X与Y的独立性，说明理由解析：（

12、1）先求出边缘分布（如表）01Pi,.028/10042/10070/100112/10018/10030/100P.j40/10060/1001XI01Y12P1/43/4P1/32/3求（1）两维随机变量（X,Y）的分布律（2）随机变量Z=X+Y勺分布律解析：（1）分布律120(1/4)(1/3)=1/12(1/4)(2/3)=2/121(3/4)(1/3)=3/12(3/4)(2/3)=6/12（2）随机变量Z=X+Y的分布Z=X+Y123P1/123/12+2/12=5/126/126.设（X,Y）的分布律为（8分）0120p/15a1/51b1/53/10问（1）a,b为何值时X与Y

13、互相独立?（2）PX+Y=2(5/10)(b+5/10)=3/10,得b=1/10解析：（1）先求出边缘分布（如表）012Pi,.01/15a1/5a+4/151b1/53/10b+5/10P.jb+1/15a+1/55/101由独立的条件(5/10)(a+4/15)=1/5，得a=2/15,本题采用了P(X=1,Y=2和PX=1,Y=2的数据，列出方程求a,b,用其它数据也可以，但可能会比较繁。P(X+Y=2=PX=0,Y=2+P(X=1,Y=1=(1/5)+(1/5)=2/51,11.121/1、x1解析：fx(x)=(xy)dy=；(xy；y)|=；(x二)=；二03323236注意：与上题一样在对y积分时要将x看作常数处