九年级数学竞赛第06讲二次函数

1、第六讲 二次函数二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它及一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键1二次函数的图像及其性质例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线及直线y=x-4恰好有一个交点，求p，q的值(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q

2、个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)及(4，9)，求p，q的值(3)把抛物线y=ax2bxc向左平移三个单位，向下平移两个单位析式 解 (1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x-p)2于是方程2(x-p)2=x-4有两个相同的根，即方程2x2-(4p+1)x+2p24=0的判别式=(4p+1)2-4·2·(2p24)=0，抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2-q于是方程2x2-q=x-4有两个相同的根，即=1-4·2(4-q)=0，(2)把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2q

3、于是，由题设得解得p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位解得h=3，k=2原二次函数为说明 将抛物线y=ax2bxc向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x-p)2b(x-p)c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(xp)2b(xp)c；向上平移q个单位，得到y=ax2bxcq；向下平移q个单位，得到y=ax2bxc-q例2 已知抛物线y=ax2bxc的一段图像如图37所示(1)确定a，b，c的符号；(2)求abc的取值范围解 (1)由于抛物线开口向上，所以a0又抛物线经过点(0，-1)，合a0便知b0所以a0，b0，c0(2)记f(x)=ax2bxc由图像及(

4、1)知所以a+bc=a(a-1)-1=2(a-1)，-2abc0例3 已知抛物线y=ax2-(ac)x+c(其中ac)不经过第二象限(1)判断这条抛物线的顶点A(x0，y0)所在的象限，并说明理由；(2)若经过这条抛物线顶点A(x0，y0)的直线y=-x+k及抛物线的另一解 (1)因为若a0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2-(ac)x+c的图像不经过第二象限时，必有a0又当x=0时，y=c，即抛物线及y轴的交点为(0，c)因为抛物线不经过第二象限，所以c0于是所以顶点A(x0，y0)在第一象限B在直线y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1又由于直线y

5、=-x+1经过 -2x2+2x2求二次函数的解析式求二次函数y=ax2bxc(a0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c一般地有如下几种情况：(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为ya(x-h)2k，再结合其他条件求出a(3)已知抛物线及x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，

6、此时的抛物线可设为y=a(x-x1)(x-x2)，再结合其他条件求出a例4 设二次函数f(x)=ax2bxc满足条件：f(0)=2，f(1)=-1，解 由f(0)=2，f(1)1，得即c=2，b=-(a3)因此所求的二次函数是yax2-(a3)x2由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2-(a3)x2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为于是因此所求的二次函数表达式为例5 设二次函数f(x)=ax2bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值分析 当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)a(x-3)210，且a0解 因为

7、抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像及x轴交点的横坐标分别是1，5因此，二次函数又可写成f(x)=a(x-1)(x-5)的形式，从而a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)，所以例6 如图38，已知二次函数y=ax2bxc(a0，b0)的图像及x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b2ac=0(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y=xk的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求ABC的面积解 (1)因二次函数的图像及x轴只有一个公共点，故b2-4ac0，而b+2ac=0，所以b22b=0，b=-2(因为b0)点B的坐

8、标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得所以 1a2c2=4a2因为ac=1，所以4a2=2，练习六1填空：(1)将抛物线y=2(x-1)2+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为_(2)已知y=x2pxq的图像及x轴只有一个公共点(-1，0)，则(p，q)=_(3)已知二次函数y=a(x-h)2k的图像经过原点，最小值为-8，且形(4)二次函数y=ax2bxc的图像过点A(-1，0)，B(-3，2)，且它及x轴的两个交点间的距离为4，则它的解析式为_(5)已知二次函数y=x2-4xm8的图像及一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=_，k=_(6)关于自变量x的二次函数y=-x2(2m2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整数，它的图像及x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为_2设抛物线y=x22axb及x轴有两个不同交点(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；(2)通过(1)中所得曲线及x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式3已知抛物线y=ax2bxc及x轴交于A，B两点，顶点为C(2)若ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值；(3)若b2-4ac=12，试判断ABC的形状4有两个关于x的二次函数C1：