第1讲图形的对称、平移、旋转和位似

1、第八章 图形的变化第1讲 图形的对称、平移、旋转和位似知识梳理知识梳理一、图形的轴对称与轴对称图形一、图形的轴对称与轴对称图形1 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形它能与另一个图形 ，就说这两，就说这两个图形关于这条直线个图形关于这条直线 ，这条直，这条直线叫做对称轴线叫做对称轴重合重合 对称对称 2 2 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相的部分能够互相 ，这个图形就叫，这个图形就叫做做 ，这条直线就是它的对称轴，这条直线就是它的对称轴 如线段、等边三角形、等腰梯形等都是轴对如线段、等边三角

2、形、等腰梯形等都是轴对 称图形称图形轴对称图形轴对称图形 重合重合3 轴对称的基本性质轴对称的基本性质（1）如果两个图形关于某如果两个图形关于某直线直线对称，对称， 那么对称轴是任何一对对应点所连线那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的段的 ； （2）关于某直线对称的两个图形关于某直线对称的两个图形 全等全等垂直平分线垂直平分线二、图形的平移二、图形的平移1在平面内，把一个图形沿着某一直线方向在平面内，把一个图形沿着某一直线方向移动，得到一个新的图形，图形的这种移移动，得到一个新的图形，图形的这种移动叫做平移变换，简称动叫做平移变换，简称 平移平移2 2平移的基本性质平移的基本性质（1 1）图

3、形平移不改变图形的形状和大小，即平移图形平移不改变图形的形状和大小，即平移前、后的图形前、后的图形 ；（2 2） 对应点的连线对应点的连线 （或在同一或在同一直线上直线上）特别提醒特别提醒：平移由平移的方向和平移的距离两个平移由平移的方向和平移的距离两个要素决定要素决定 全等全等平行且相等平行且相等三、图形的旋转三、图形的旋转1把一个平面图形绕着平面内某个点转动一个角把一个平面图形绕着平面内某个点转动一个角 度，叫做图形度，叫做图形 旋转旋转2 2旋转旋转的基本性质的基本性质（1 1）对应点到旋转中心的距离对应点到旋转中心的距离 ；（2 2）对应点与旋转中心所连线的夹角等于对应点与旋转中心所连

4、线的夹角等于 ；（3）旋转前、后的图形旋转前、后的图形 相等相等旋转角旋转角全等全等 四、四、中心中心对称与对称与中心中心对称图形对称图形1 1把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转 ，如，如果它能与另一个图形果它能与另一个图形 ，那么就说这，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称两个图形关于这个点对称或中心对称180重合重合2 2 把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转 ，如，如果旋转后的图形与原来的图形果旋转后的图形与原来的图形 ，那么这，那么这个图形叫做中心对称图形个图形叫做中心对称图形如如：平行四边形、矩形、平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形菱形都是

5、中心对称图形180重合重合3 3中心对称的性质中心对称的性质（1 1）中心对称的两个图形是中心对称的两个图形是 图形；图形；（2）中心对称的两个图形，对称点的连线都经中心对称的两个图形，对称点的连线都经 过过 ，并且被，并且被 所平分所平分 对称中心对称中心全等全等对称中心对称中心五、关于平移、坐标轴、原点对称的坐标五、关于平移、坐标轴、原点对称的坐标1 1 在平面直角坐标系中，将点在平面直角坐标系中，将点（x x，y y）向右（或向向右（或向左左）平移个平移个a a单位长度，可以得到对应点单位长度，可以得到对应点（x x+ +a a，y y）（或或（ ， ）；）； 将点将点（x x，y y）

6、向上（或向下）平移个向上（或向下）平移个b b单位长度，可以单位长度，可以得到对应点得到对应点（x x，y y+ +b b）（）（或或（ ， ）x-ayxy-b2 2 点点（x x，y y）关于关于x x轴对称的点坐标为轴对称的点坐标为（ ， ）；）； 点点（x x，y y）关于关于y y轴对称的点坐标为轴对称的点坐标为（ ， ）3 3 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ， 即点即点（x x，y y）关于原点的对称点为关于原点的对称点为 （-x，-y） x-y-xy相反相反六、图形的位似六、图形的位似1 1 两个位似的图形一定是两个位似的图形一定是 图形

7、，图形， 但两个相似图形不一定是位似图形但两个相似图形不一定是位似图形 位似比也是位似比也是 比比相似相似 相似相似 2位似图形的性质位似图形的性质： 两个位似图形上的每一对对应点都与位似中心两个位似图形上的每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似中心的距离之比等于位似似比比 课堂精讲课堂精讲考点考点1：图形的轴对称与轴对称图形：图形的轴对称与轴对称图形例例1（2012广东广东）如图，在矩形纸片如图，在矩形纸片ABCD中，中，AB= 6，BC = 8把把BCD沿对角线沿对角线BD 折叠，使点折叠，使

8、点C落在落在C处，处， BC交交AD于点于点G；E， F分别是分别是CD和和BD上的点，线段上的点，线段EF交交AD于点于点H，把把FDE沿沿EF折叠，使点折叠，使点D落在落在A处，点处，点D恰好恰好与点与点A重合重合（1）求证：）求证：ABG CDG；（2）求）求tanABG的值；的值；（3）求求EF的长的长 （1）求证：）求证：ABG CDG；（2）求）求tanABG的值；的值；（3）求求EF的长的长（1 1）证明：证明：四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，C C= = BADBAD =90=90，ABAB = = CDCD，由图形的折叠性质，得由图形的折叠性质，得CD CD =

9、=C C D D， C C = = CC = 90 = 90， BADBAD= = CC，ABAB = = CDCD，又又AGBAGB= =CGDCGD，ABGABGCDGCDG（AASAAS）（2 2）解解：设设AGAG为为x x，ABGABGCDGCDG，AD=AD=8 8，AG=xAG=x，BGBG = = DGDG = = AD AD AGAG = 8 = 8 x x，在在 Rt Rt ABGABG 中，有中，有 BG 2 =AG 2 +AB 2，ABAB = 6 = 6， （8 8x x）2 2= =x x2 2+6+62 2，解得，解得 ， tantanABGABG= = 47x2

10、47ABAG （3 3）由图形的折叠性质，得由图形的折叠性质，得EHDEHD=90=90，DHDH= = AHAH= 4= 4，AB/EFAB/EF，DHFDHFDABDAB， ， 即即 ， HFHF=3=3，又又ABGABGCDGCDG，ABG=ABG=HDEHDE， tan tan ABG ABG = tan = tan HDEHDE = = ， 即即 = = ， EF EF = = EHEH + + HFHF = = ADDHABHF216HFHDEH2474EH67EH625367 【举一反三举一反三】1如图是一个风筝的图案，它是以如图是一个风筝的图案，它是以直线直线AF为对称轴的轴对

11、称图形，下列结论中不一为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是定成立的是（ ）A ABD ACDB AF垂直平分垂直平分EGC直线直线BG，CE的交点在的交点在AF上上 DDEG是等边三角形是等边三角形 D考点考点2 2；图形变化图形变化平移平移例例2 2在如图所示的单位正方形网格中，在如图所示的单位正方形网格中，ABCABC经过平经过平移后得到移后得到A A1 1B B1 1C C1 1，已知在，已知在ACAC上一点上一点P P（2.2.4 4，2 2）平平移后的对应点为移后的对应点为P P1 1，点，点P P1 1绕点绕点O O逆时针旋转逆时针旋转180180，得到对应点得到对应点P

12、 P2 2，则，则P P2 2点的坐标为点的坐标为（ ）A A（1.41.4， 1 1）B B（1.51.5，2 2）C C（1.61.6，1 1）D D（2.42.4，1 1）C【举一反三举一反三】2（2015 大连大连）在平面直角坐标系在平面直角坐标系中，将点（中，将点（2，3）向上平移向上平移1个单位，所得到的点个单位，所得到的点的坐标是的坐标是（） A （1，3）B （2，2）C （2，4）D （3，3） C 3如图所示，一块边长为如图所示，一块边长为8米的正方形土地，上面米的正方形土地，上面各修了横竖两条道路，宽都是各修了横竖两条道路，宽都是2米，空白的部分米，空白的部分种上种上各种

13、花草，请利用平移的知识求出种花各种花草，请利用平移的知识求出种花草的面积草的面积解：由平移，可把种花草的面积看成是如图边长为解：由平移，可把种花草的面积看成是如图边长为4米的正米的正方形的面积，方形的面积， 种花草的面积为种花草的面积为44 = 16 （米米2）考点考点3 3：图形变化：图形变化旋转旋转例例3 3如图，在如图，在ABCABC中，中，CABCAB=75=75，在同一平面，在同一平面内，将内，将ABCABC绕点绕点A A旋转到旋转到 ABCABC的位置，使得的位置，使得CCCC/ABAB，则，则BAB BAB = =（ ）A A 3030B B 3535C C 4040D D 50

14、50A A 【举一反三举一反三】4（2015孝感孝感）如图，正方形如图，正方形OABC的两边的两边OA，OC分别在分别在x轴、轴、y轴上，点轴上，点D（5，3）在边在边AB 上，以上，以C为中心，把为中心，把CDB旋转旋转90，则，则旋转后点旋转后点D的对应点的对应点D的坐标是的坐标是（ ）A（2，10）B（2，0）C（2，10）或（或（2，0） D （10，2）或（或（2，0）C5（2015兰州兰州）如图，在如图，在ABC中，中，ACB =90，ABC= 30，AB=2将将ABC绕直角顶点绕直角顶点C逆逆时针旋转时针旋转60得得 ABC，则点则点B转过的路径长转过的路径长为为（ ）A B C

15、 D 33332B考点考点4：轴对称图形、中心对称图形：轴对称图形、中心对称图形例例4下列图形下列图形：平行四边形平行四边形；菱形菱形；圆圆；梯形梯形；等腰三角形等腰三角形；直角三角形直角三角形；国旗国旗上的五角上的五角星星这些图形中既是轴对称图形又是中这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有心对称图形的有（ ）A 1种种B 2种种C 3种种D 4种种B 【举一反三举一反三】6（2015 莆田莆田）下列图形中，是轴对称图下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是形，但不是中心对称图形的是（） A B C D B考点考点5：位似：位似例例5在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点E（4，2），），F（ 2，