第10章-FIR数字滤波器的设计

1、邬霞邬霞 教授教授北京师范大学北京师范大学 信息学院信息学院 电子系电子系OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器数字滤波器 频率采样方法设计频率采样方法设计FIR数字滤波器数字滤波器2OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器数字滤波器 频率采样方法设计频率采样方法设计FIR数字滤波器数字滤波器3OFDM

2、背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法4 4实际选频滤波器的特性实际选频滤波器的特性12sp通带纹波阻带纹波通带截止频率阻带截止频率OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法5 5在滤波器设计中，我们可以通过规定在滤波器设计中，我们可以通过规定（1 1）最大允许的通带纹波；）最大允许的通带纹波；（2 2）最大可允许的阻带纹波；）最大可允许的阻带纹波；（3 3）通带截止频

3、率；）通带截止频率；（4 4）阻带截止频率。）阻带截止频率。实际选频滤波器的特性实际选频滤波器的特性OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法6 6IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性，但相位非线性设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性，但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器：可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次

4、比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多FIR数字滤波器的引入数字滤波器的引入OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法7 FIR数字数字滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 FIR数字滤波器数字滤波器( )01h nnN10( )( )NnnH zh n zOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波

5、器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法8FIR数字滤波器数字滤波器FIR型滤波器的系统函数为：MnnMznhzMhzhhzH01)()() 1 ()0()(FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点优点 ： （1）很容易获得）很容易获得严格的线性相位严格的线性相位，避免被处理的信号，避免被处理的信号 产生相位失真；产生相位失真；（2）极点全部在原点（永远稳定），无稳定）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；性问题；（3）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，的延时，转变为因果序列， 所以因果性总

6、是满足；所以因果性总是满足；（4）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法9FIR数字滤波器数字滤波器缺点：缺点： （1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。OFDM背景背景 OFDM原

7、理原理 OFDM评价评价概述概述_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法10FIR数字滤波器数字滤波器如果希望得到的滤波器的理想频率响应为)(jdeH那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应滤波器的设计就在于寻找一个频率响应10)(NnjnjenheH去逼近去逼近)(jdeH，逼近方法有三种：窗函数设计法（时域逼近）窗函数设计法（时域逼近）频率采样设计法（频域逼近）频率采样设计法（频域逼近）OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 概述概述线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特

8、点 窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器数字滤波器 频率采样方法设计频率采样方法设计FIR数字滤波器数字滤波器11OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法12线性相位的条件线性相位的条件h(n)为实序列时，其频率响应：为实序列时，其频率响应：第二类线性相位第二类线性相位第一类线性相位第一类线性相位即群延时即群延时 是常数是常数线性相位是指线性相位是指 是是 的线性函数的线性函数( )H是幅度特性，可正可负的实函数。是幅度特性，可正可负的实函

9、数。1()()0()( )()( )Njj njjjnH eh n eH eeHe ( )dd ( ) ( ) OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_13线性相位的条件线性相位的条件满足满足第一类线性相位第一类线性相位的的条件条件是：是：h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2偶对称，即偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法1()()0()( )()( )Njj njjjnH eh n eH eeHe OFDM背景背景 OFDM原理原

10、理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_14线性相位的条件线性相位的条件满足满足第二类线性相位第二类线性相位的的条件条件是：是：h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2奇对称，即奇对称，即 h(n)= - h(N-n-1) 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较1()()0()( )()( )Njj njjjnH eh n eH eeHe OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_15线性相位的条件线性相位的条件所以，所以，FIR滤波

11、器的线性相位的条件是：滤波器的线性相位的条件是：( )(1),01h nh NnnN 第一类线性相位第一类线性相位h(n)：偶对称：偶对称N：偶数：偶数h(n)：偶对称：偶对称N：奇数：奇数第二类线性相位第二类线性相位h(n)：奇对称：奇对称N：偶数：偶数h(n)：奇对称：奇对称N：奇数：奇数概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_16线性相位条件证明线性相位条件证明由由系统函数：系统函数：( )(1)01h nh NnnN 1100( )(

12、)(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z 1mNn 令1(1)0( )NNmmzh m z (1)1()NzH z 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_17线性相位条件证明线性相位条件证明(1)1( )()NH zzH z 由(1)1111221201 ( )( )()2( )2NNNnnNNnH zH zzH zzzzh n得112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnj

13、z eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_18线性相位条件证明线性相位条件证明第一类线性相位第一类线性相位第二类线性相位第二类线性相位1( )(1)2N 1( )()22N 112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn ()( )jHe 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价四种线性相位滤波器四种线性相

14、位滤波器 偶对称单位冲激响应h(n) h(N 1 n)相位响应21)(N情况1()o (N 1)情况2N为奇数h(n)0N 1nna(n)21NN为偶数h(n)0nN 1b(n)01 22Nn2/ ) 1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 N为奇数h(n)0nN1C(n)0121NnN为偶数h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位响应情况3()2o 23 N情况42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(N

15、nnndHH()o2奇对称单位冲激响应( )(1)h nh Nn OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价第一类线性相位第一类线性相位h(n)：偶对称：偶对称N：偶数：偶数H(w)：对：对 奇对称奇对称h(n)：偶对称：偶对称N：奇数：奇数H(w)：对：对 偶对称偶对称第二类线性相位第二类线性相位h(n)：奇对称：奇对称N：偶数：偶数H(w)：对：对 偶对称偶对称h(n)：奇对称：奇对称N：奇数：奇数H(w)：对：对 奇对称奇对称OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器22 例：例：N5，h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=

16、-(1/2),h(2)=2, 求幅度函数H()。 解：N为奇数并且h(n)满足偶对称关系，根据式子 得a(0)=h(2)=2，a(1)=2h(3)=-1，a(2)=2h(4)=-1， H()=2-cos-cos2=2-(cos+cos2)概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_23零点位置分布零点位置分布得：得：由由1）若）若 z = zi 是是H(z)的零点，则的零点，则 z = zi-1 也是零点也是零点线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭

17、对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对(1)1( )()NH zzH z ( )0iH z1(1)()( )0NiiiH zzH z 2）h(n)为实数，则零点共轭成对为实数，则零点共轭成对*, 1/iizz即 也是零点概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_24零点位置分布零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布情况情况1：(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两既不在实轴上，也不在单位圆上

18、，则零点是互为倒数的两组共轭对组共轭对概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_25零点位置分布零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布情况情况2：(2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对身，故此时零点是一组共轭对概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背

19、景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_26零点位置分布零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布情况情况3：(3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_27零点位置分布零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布线性相位滤波器的零点位置分布情况情况4：(4) zi既在实轴上

20、又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，能， 或位于或位于z=1， 或位于或位于z=-1概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器_28零点位置分布零点位置分布线性相位滤波器的零点位置的四种分布情况：线性相位滤波器的零点位置的四种分布情况：(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对组共轭对(2) zi不在实轴上，但是在

21、单位圆上，则共轭对的倒数是它们本不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对身，故此时零点是一组共轭对(3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分(4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，能， 或位于或位于z=1， 或位于或位于z=-1概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 概述概述 线性相位线性相

22、位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器数字滤波器 频率采样方法设计频率采样方法设计FIR数字滤波器数字滤波器29OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_30窗函数法原理窗函数法原理概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法 将理想低通滤波器无限长单位冲激响应序列将理想低通滤波器无限长单位冲激响应序列hd(n)截断截断（等效于加矩形窗），用得到的有限长序列（等效于加矩形窗），用得到的有限长序列h(n)逼近理想低逼近理想低通滤波器通滤波器hd(n) 。 OFDM

23、背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_31窗函数法原理窗函数法原理理想低通滤波器的理想低通滤波器的hd(n)特点：特点：概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_32窗函数法原理窗函数法原理用用h(n)逼近逼近hd(n)：有限长序列有限长序列h(n)FIR滤波器滤波器冲激响应冲激响应无限长序列无限长序列hd(n)矩形窗截断矩形窗截断概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OF

24、DM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_33窗函数法原理窗函数法原理设一理想低通滤波器的截止频率为设一理想低通滤波器的截止频率为 ，时延为，时延为 ：C,0,jCjdCeHesin1( )2CCCjj ndnh needn则其单位冲激响应为：则其单位冲激响应为：概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_34窗函数法原理窗函数法原理hd(n)是以是以 为中心的无限长非因果序列。寻找有限长为中心的无限长非因果序列。寻找有限长h(n)逼近逼近hd(n)，h(n)应满足：

25、应满足：（1）h(n)应为偶对称或奇对称以满足线性相位的条件；应为偶对称或奇对称以满足线性相位的条件；（2）h(n)应为因果序列；应为因果序列；加矩形窗加矩形窗( ), 01( )( )( )0,ddNh nnNh nh n Rn 其他1=2N概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价( )NRnOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_36窗函数法原理窗函数法原理( )( )( )dNh nh n Rn因为：因为：所以：所以：12jjjdRH eHeWe【结论

26、结论】（1）FIR数字滤波器的频谱是理想数字滤波器的频谱是理想LPF的频谱与窗函数频的频谱与窗函数频谱的卷积；谱的卷积；（2）采用不同的窗函数，）采用不同的窗函数，FIR数字滤波器的频谱就有不数字滤波器的频谱就有不同的形状；同的形状；概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_37窗函数法原理窗函数法原理( )( )( )dNh nh n Rn因为：因为：所以：所以：12jjjdRH eHeWe【矩形窗的频谱矩形窗的频谱】1120sin2( )2NNjjj njRRnNWe

27、eeWesin2( )2RNW其中：其中：1=2N概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法窗函数的幅度函数窗函数的幅度函数OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价 OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_39窗函数法原理窗函数法原理( )( )( )dNh nh n Rn因为：因为：所以：所以：12jjjdRH eHeWe【理想低通滤波器的频谱理想低通滤波器的频谱】( )jjddHeHe其中：其中：1=2N1,( )0,cdcH理想低通滤波器的幅度函数理想低通滤波器的幅度函数OFDM背景背景 OF

28、DM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_40窗函数法原理窗函数法原理( )( )( )dNh nh n Rn因为：因为：所以：所以：12jjjdRH eHeWe【实际滤波器的频谱实际滤波器的频谱】()1()( )()21( )()2jjjdRjdRH eHeWedeHWd 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_41窗函数法原理窗函数法原理【实际滤波器的频谱实际滤波器的频谱】1()( )()2( )jjdRjH eeHWdHe实际实际FIR滤波器的幅度函数是理想

29、滤波器的幅度函数是理想LPF的幅度函数与窗函数的幅度函数与窗函数的幅度函数的卷积的幅度函数的卷积，其过程如下图所示：，其过程如下图所示：其中：其中：1( )( )()2dRHHWd概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价Hd()occWR()2/ N2/ NoHd()Hd()Hd()H()oooocWR()cWR()N2cN2cWR()N2cN2c0.08950.50.0468c0.08950.04680.5c(a)(b)(c)(d )(e)( f )矩矩形形窗窗的的卷卷积积过过程程1(

30、 )( )()2dRHHWdOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_43加窗处理对滤波器幅频特性的影响加窗处理对滤波器幅频特性的影响hd(n)加矩形窗后，加矩形窗后，H()和原理想低通和原理想低通Hd()有以下差别：有以下差别： (1)在理想特性不连续点在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于宽度，近似等于WR()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N(2)通带和阻带内均产生了起伏震荡的波纹（吉布斯现象）。通带和阻带内均产生了起伏震荡的波纹（吉布斯现象）。通带内增加了肩峰，最大的峰值在通带内增加了肩峰，最大的峰值在c-2/N处。

31、阻带内产生处。阻带内产生了余振，最大的负峰在了余振，最大的负峰在c+2/N处处概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_44对窗函数的要求对窗函数的要求一般希望窗函数满足两项要求：一般希望窗函数满足两项要求： (1)主瓣尽可能地窄，以获得较窄的过渡带主瓣尽可能地窄，以获得较窄的过渡带(2)最大的旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量集中在主瓣最大的旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量集中在主瓣中。这样就可以减小肩峰和余振的幅度。中。这样就可以减小肩峰和余振的幅度。出现问题出现问题：

32、 （1）和（）和（2）不能同时满足！）不能同时满足！解决办法：解决办法： （1）和（）和（2）折中）折中概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_45常用的窗函数常用的窗函数矩形窗矩形窗三角窗三角窗汉宁窗汉宁窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗最优化窗最优化窗概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_46常用的窗函数常用的窗函数010203000.51

33、boxcar-0.500.5-60-40-200010203000.51triang-0.500.5-100-500010203000.51hamming-0.500.5-100-500OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_47常用的窗函数常用的窗函数OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_48常用的窗函数常用的窗函数主瓣宽度和旁瓣高度成反比主瓣宽度和旁瓣高度成反比概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_49

34、窗函数法的设计步骤窗函数法的设计步骤概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_50窗函数法的设计步骤窗函数法的设计步骤概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_51例例1【例例】 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，低通滤波器， 设设N=11,c=0.2rad。sin(0.2 (5)( ),010(5)n

35、h nnn【矩形窗矩形窗】解：解： 用理想低通作为逼近滤波器。用理想低通作为逼近滤波器。sin()( )()cdnh nn1(1)52N概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_52例例1【例例】 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，低通滤波器， 设设N=11,c=0.2rad。解：解： 用理想低通作为逼近滤波器。用理想低通作为逼近滤波器。sin()( )()cdnh nn1(1)52N【汉宁窗汉宁窗】( )( )( ),01

36、02( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_53例例1【例例】 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，低通滤波器， 设设N=11,c=0.2rad。解：解： 用理想低通作为逼近滤波器。用理想低通作为逼近滤波器。sin()( )()cdnh nn1(1)52N【布莱克曼窗布莱克曼窗】11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBl

37、Blh nhnnnnnRn概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_54例例1概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_55例例2例例1.设计低通设计低通 FIR DF, 令归一化截止频令归一化截止频率率 0.125, M10，20，40，用矩形窗截短。用矩形窗截短。结果如右图结果如右图c概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法

38、窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法_56例例2接上例：接上例：M10分别用矩形窗分别用矩形窗和和Hamming 窗窗使用使用Hamming 窗后，窗后，阻带衰减变好，但阻带衰减变好，但过渡带变宽。过渡带变宽。概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价窗函数法窗函数法57优点：优点：1. 无稳定性问题；无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位；容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器；可以设计各种特殊类型的滤波器

39、； 4. 方法特别简单。方法特别简单。缺点：缺点：1. 不易控制边缘频率；不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想；幅频性能不理想； 3. 较长；较长；( )h n改进：改进：1. 使用其它类型的窗函数；使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。改进设计方法。概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 频率采样方法频率采样方法OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价本讲提纲本讲提纲 概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 窗函数法设计窗函数法设计FIR数字滤波器数字滤波器频率采样方法设计频率采样方法设计FIR数字滤

40、波器数字滤波器58OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法59概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较频域采样法就是一种频域设计方法。它的基本思想是使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等于所需的滤波器在这些频率点处的值，在其他频率处的特征按照一定的优化设计则有较好的迫近。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法60概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器

41、比较 设计思想 按频域采样定理FIR数字滤波器的传输函数H(z)和单位脉冲响应h(n)可由它的N个频域采样值H(k)唯一确定。10121)(1)(NkNkjNzekHNzzH)()(,kHIDFTnh)(jdeH若要设计的FIR数字滤波器的频率响应为 ，20从频域出发,对理想频响在 间进行N点的等间隔采样得：1,.1 , 0)(| )()(22NkeHeHkHNkjdNkjdd1,.1 , 0)()(2NkeHkHNkjd令OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法61概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波

42、器比较数字滤波器比较按频域采样定理由Hd(k)求H(z)或h(n)，其流图如下： )()()()(zHkHeHnhdjd)(jeH为使设计的滤波器为线性相位滤波器，滤波器的频率响应 及其频率采样值H(k)必须满足一定的条件。( )0一般而言，给定的理想滤波器的幅度响应只给出了 范围频率采样的幅度值，上式中的k只能取0到N/2 这(N/2+1)点，另外(N/2-1)点(从N/2+1到N-1)则需根据线 性相位的奇偶对称条件求得。下面以偶对称条件下面以偶对称条件h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。为例说明设计公式。OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法62

43、概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较kNjeHkH2)()(H ej()( )02 对 在 等间隔N点采样得H(k) ,k=0,1,N-1 ) 1(21)(N对线性相位滤波器，其相位响应为： )()()(jgjeHeH 幅度响应幅度响应)(nh)()()(kjgekHkH令kNggHkH2)()(则：kNk2)()(,OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法63概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较)(kH

44、g对频率采样的幅度值 有：)()(kNHkHggN N为奇数为奇数 )()(kNHkHgg0)2()2(NHNHgg及N N为偶数为偶数 按线性相位的偶对称条件: )(gH)2()(ggHH若若N N为偶数，为偶数，对对为奇对称为奇对称: : )(gH)2()(ggHH对对为偶对称为偶对称: : 若若N为奇数，为奇数，kNNNkNNNkN1) 1()(1)(kNNkNNk12) 1(21)( ，k =0,1,(N-1)/2按式 对相位进行频率采样得： 2/) 1()(NOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法64概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波

45、器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较NkNjjNkNjNjee) 1() 1() 1(对对N N为偶数为偶数，(N-1)为奇数 取kNNkN1)( ，k=0,1,N/2-1NkNjNkNjNjee) 1() 1() 1(对对N N为奇数为奇数，(N-1)为偶数kNNkN1)( 取 ，k=0,1,(N-1)/2综合以上分析，可得到设计公式如下：综合以上分析，可得到设计公式如下：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法65概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较

46、综合以上分析，可得到设计公式如下：综合以上分析，可得到设计公式如下：)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,对对N N为奇数，设计公式为：为奇数，设计公式为：k=0,1,(N-1)/20)2(,NHg)()(kNHkHggkNNk1)(kNNkN1)(,，k=0,1,N/2-1对对N N为偶数，设计公式为：为偶数，设计公式为：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法66jez 将 代入频率采样公式得：)2()()()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中Nk21, 2 , 1 , 0,Nk1)2(Nk

47、在采样点在采样点与NkjkkeH/2)(无误差)()(2NkjdeHkH但在采样点之间在采样点之间， 两者误差与 特性的平滑程度有关： )(jdeH在 幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能变坏 。误差还与采样点数N有关，N越大误差越小。)(jdeHOFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法67概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较为提高阻带衰减，常用增加过渡带法如右图为提高阻带衰减，常用增加过渡带法如右图OFDM背景背景 OFDM原理原

48、理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法68| )()(|jdjeHeH优化原则：优化原则：在通带内要求min| )()(|maxjdjeHeH在阻带内要求例例 用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率radp2 . 0的偶对称情况。，采样点数N=20，采用h(n)=h(N-n-1)2 , 0解解：N=20，在范围内等间隔采样，显然，在通带共有3个采样点，分别是k=0,1,2radN1 . 0/2采样间隔为：173019181201)(kkkkHg1918)20(95. 02095. 02025 . 9)(kkkkkk又N为偶数，可得：OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频

49、率采样法频率采样法69)()()(kjgekHkH)(kHg)(k将 和 代入)(kH)(zH)(nh求得 ，进而求得或过渡带为：2/0/10其幅度响应如下图，图中还给出了其单位脉冲响应OFDM背景背景 OFDM原理原理 OFDM评价评价频率采样法频率采样法70概述概述 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 窗函数法窗函数法 IIR和和FIR数字滤波器比较数字滤波器比较346035, 53904. 03936, 401)(kkkkkkHg3935)40(975. 050975. 04025 .19)(kkkkkk)(nh)(kHg)(k由上图 d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取H1=0.3904，得到 分别