重复博弈简介

1、2022-3-1712.4 重复博弈逆向归纳法回顾2022-3-172求解步骤：在给定参与人I的行动的情况下，求参与人II的最优行动在预测到参与人II的策略的情况下，求参与人I的最优行动2022-3-173重复博弈序贯博弈（序贯博弈（sequential game): 同样结构的子博弈只出现一次的动态博弈重复博弈重复博弈（repeated game）：具有同样结构的博弈重复多次的博弈，其中的每次博弈称为“阶段博弈”（stage game）。 有限期界无限期界2022-3-174有限期重复博弈和无限期重复博弈有限期重复博弈和无限期重复博弈的区分的区分如果参与人明显地察觉到有一个确定的最后时期，则

2、称为有限期有限期重复博弈更为恰当；如果人们进行博弈非常频繁推移非常缓慢，那么，将该博弈描述为无限期无限期重复博弈更为合理。关键准则关键准则: :最后的时期是否明确地进入了参与人的策略考虑。如果进入了参与人的考虑范围，那么，就是有限期重复博弈，否则是无限期重复博弈。 2022-3-175囚徒困境重复博弈阶段博弈为对每个参与人来说，行动D严格优于行动C，所以导致了结果 （D，D）2022-3-176主要思想主要思想：如果每个参与人相信背叛将终止合作从而导致其后的损失对他来说超过短期所得，那么，若博弈被重复进行，则共同想要的结果（C,C）在每个时期发生是稳定的。 将表2.4.1表示的博弈重复（固定）

3、有限期，我们采用逆向归纳法，发现纳什均衡（D, D）是唯一的子博弈完美均衡。 Step 1Step 1 求解第T期，两个参与人必定都在第T期选择D，即背叛，因为选择背叛将提高他们在第T期的收益而且也没有未来受到惩罚的可能 2022-3-177Step 2 在第T-1期对任何以正的概率出现的历史，两参与人都必定背叛.已经证明沿着均衡路径的两个参与人将在最后一期都选择背叛，所以，特别的，如果参与人i在时期T-1遵循均衡策略，那么，他的对手必然在最后一期背叛。因此，参与人i没有激励不在时期T-1背叛。 团体规范的重要性团体规范的重要性：维持共同想要的结果所需的团体规范涉及到每个参与人“惩罚”背叛者；

4、在团体规范要求惩罚者去实行威胁的情形中，团体规范也必须确保惩罚者有动机这样去做。 2022-3-178惩罚机制惩罚机制触发策略触发策略（trigger strategies）：（1）开始选择合作；（2）选择合作直到有一方选择了背叛，然后永远选择背叛。 针锋相对策略针锋相对策略（tit-for-tat）或称投桃报李，意思是说，比如在囚徒困境博弈中，开始选择合作，在t阶段选择对手在t-1阶段的选择。 2022-3-179对于有限期重复博弈，有下面的定理 定理定理2.4.1 令G是阶段博弈，G(T)是G重复T次的重复博弈（T有限）。那么，如果G有唯一的纳什均衡，重复博弈G(T)的唯一子博弈完美纳什均

5、衡结果是阶段博弈G的纳什均衡重复T次，即每个阶段博弈出现的是一次性博弈的均衡结果。 2022-3-1710双头重复价格竞争双头重复价格竞争两企业以同样的边际成本两企业以同样的边际成本c c生产可以完全相互生产可以完全相互替代的产品替代的产品 低价企业得到了整个市场，而各家企业在收低价企业得到了整个市场，而各家企业在收取同样价格的情况下，则分享这个市场。取同样价格的情况下，则分享这个市场。 基本的伯川德博弈重复了基本的伯川德博弈重复了T T+1+1次，次，T T 可能可能是有限数，也可能是无限数。是有限数，也可能是无限数。 企业企业i的贴现利润为的贴现利润为0(,)Ttiitjttpp 2022

6、-3-1711在每个时期，两家企业同时选择他们的价格在每个时期，两家企业同时选择他们的价格 。 12(,)ttpp在各个时期之间没有在各个时期之间没有“物质物质”联系；当一家企业选联系；当一家企业选定其价格时，其对手以前选定的价格已经过时了。定其价格时，其对手以前选定的价格已经过时了。 完美均衡要求：完美均衡要求：对于任何给定的对于任何给定的t t时期的历史，时期的历史，从从t t时期开始，企业时期开始，企业i的策略，在企业的策略，在企业j j从那时开始从那时开始的策略给定的情况下，将使利润的贴现值最大化。的策略给定的情况下，将使利润的贴现值最大化。 2022-3-1712有限期重复博弈的解有

7、限期重复博弈的解先给定博弈在时期先给定博弈在时期T T的历史，每家企业在最的历史，每家企业在最后时期如何选择价格？后时期如何选择价格？ 因为过去的价格不影响因为过去的价格不影响T时期的利润，各企业在其对手价时期的利润，各企业在其对手价格给定的情况下，应当使它的格给定的情况下，应当使它的“静态利润静态利润” 最大化。因此，对任何历史情况来说，均衡是伯川德均最大化。因此，对任何历史情况来说，均衡是伯川德均衡，即衡，即(,)iiTjTpp12TTppc2022-3-1713T-1-1时期的均衡价格是什么？时期的均衡价格是什么？ 由于在由于在T时期的价格选择不依赖于时期的价格选择不依赖于T-1时期发生

8、什么事，时期发生什么事，一切事情都会像一切事情都会像T-1就是最后一个时期一样。因此，各就是最后一个时期一样。因此，各企业也在企业也在T-1时期选择竞争性的价格，而不管直到这个时期选择竞争性的价格，而不管直到这个时期之前的历史如何。对于任何时期之前的历史如何。对于任何T-1时期的历史，有时期的历史，有1,12,1TTppcT T+1+1期价格博弈的结果仅是伯川德均衡重复期价格博弈的结果仅是伯川德均衡重复T T+1+1次次 2022-3-1714无限期重复博弈的解无限期重复博弈的解可以验证可以验证伯川德均衡无限期的重复仍伯川德均衡无限期的重复仍然是这一博弈的均衡。然是这一博弈的均衡。 考虑下述的

9、博弈：每家企业在每个时期考虑下述的博弈：每家企业在每个时期t t选择等选择等于边际成本的价格，而不管直到于边际成本的价格，而不管直到t t以前的博弈历以前的博弈历史。给定对手企业在此方式下索取等于史。给定对手企业在此方式下索取等于c c的价格，的价格，则每家企业所能做的不会比本身收取则每家企业所能做的不会比本身收取c c更好些。更好些。 2022-3-1715重复的伯川德均衡不再是唯一的均衡重复的伯川德均衡不再是唯一的均衡 假设价格 使 最大化。 mp()( )pc D p触发策略触发策略：每家企业在每家企业在0时期索取时期索取 。若是在。若是在t t以前各时期两家企业都曾索取以前各时期两家企

10、业都曾索取 ，它在，它在t t时期时期继续索取继续索取 ；否则，它将永远把价格定在边际；否则，它将永远把价格定在边际成本成本c c上上 .mpmpmp如果贴现因子足够高，它们就构成一个均衡如果贴现因子足够高，它们就构成一个均衡。 212(1)mm1 22022-3-1716如果一家企业削减其垄断价格，它将在整如果一家企业削减其垄断价格，它将在整个背离时期得利，但它破坏了以后时期的个背离时期得利，但它破坏了以后时期的合谋合谋所有企业回复到所有企业回复到“触发策略触发策略”上上去（即他们永远执行纯竞争对策，这是一去（即他们永远执行纯竞争对策，这是一个均衡）。注意，合谋是通过一个纯粹不个均衡）。注意

11、，合谋是通过一个纯粹不合作的机制实现的。合作的机制实现的。 这个均衡是默契合谋的结果。这个均衡是默契合谋的结果。2022-3-1717其他均衡其他均衡让让p属于区间属于区间 ，并且让每家企业，并且让每家企业，在还没有企业背离那个价格的期间，索取价在还没有企业背离那个价格的期间，索取价格格 p。如果其中有一家企业过去曾经背离这。如果其中有一家企业过去曾经背离这个价格，双方就都永远索取竞争性价格。个价格，双方就都永远索取竞争性价格。 ,mc p在一致遵守价格在一致遵守价格p的情况下，每家企业得到的情况下，每家企业得到 212( )(1)p如果一家企业背离，在背离期间，它最多如果一家企业背离，在背离

12、期间，它最多得到得到 ( (因为它的对手可取因为它的对手可取p）。因此，）。因此，它在那一时期最多多赚到它在那一时期最多多赚到 ，而它，而它在以后永远失去在以后永远失去p时利润的一半，即时利润的一半，即 ( )p( ) 2p2022-3-1718212( )()p( )2(1)p因此，如果因此，如果 ，即，即 ，背离价格，背离价格p并非最佳做法。并非最佳做法。 (1)1 22022-3-1719平均支付平均支付（average payoff）: :为得到相等的现为得到相等的现值之和在每一阶段都应得到的等额支付值值之和在每一阶段都应得到的等额支付值 令贴现因子为令贴现因子为 ，那么，无限支付序列

13、，那么，无限支付序列 的现值之和的现值之和 为为 12,V11tttV无限支付序列无限支付序列 的现值之和为的现值之和为 。 , , /(1)11/(1)ttt如果，11(1)ttt即，那么，那么， 是无限支付序列是无限支付序列 的平均支的平均支付，它是各阶段支付现值之和的付，它是各阶段支付现值之和的 倍。倍。 12, (1)2022-3-1720无名氏定理无名氏定理2022-3-1721对于目前考察的重复价格博弈来说，无名对于目前考察的重复价格博弈来说，无名氏定理说的是，任何一对满足氏定理说的是，任何一对满足 10,2012m以及的利润的利润 都是都是 充分接近于充分接近于1时时的阶段均衡支

14、付。的阶段均衡支付。 12(,) 就是说，存在完美均衡策略就是说，存在完美均衡策略 。使。使得对所有的企业得对所有的企业i来说，企业的阶段支付为来说，企业的阶段支付为 12(,)ttpp0(1)(,)tiiitjttpp 2022-3-1722含义含义：在无限期重复博弈中，如果参与人有足够的耐：在无限期重复博弈中，如果参与人有足够的耐心（即心（即 足够大），那么，任何满足个人理性的可行足够大），那么，任何满足个人理性的可行支付向量都可以通过一个特定的子博弈完美均衡得到。支付向量都可以通过一个特定的子博弈完美均衡得到。 两个暗示：两个暗示：它们表明了如果参与人是短视的，则不能维持团体它们表明了如

15、果参与人是短视的，则不能维持团体想要的结果，参与人有长期目标的情况下可以维持；想要的结果，参与人有长期目标的情况下可以维持； 它们表明重复博弈的均衡结果集合是巨大的，它们表明重复博弈的均衡结果集合是巨大的，所以，均衡概念缺乏预测的能力。所以，均衡概念缺乏预测的能力。 2022-3-17232.5.4 鲁宾斯坦讨价还价模型鲁宾斯坦讨价还价模型 两个参与人需要就如何分割一块蛋糕达成协议，两个参与人需要就如何分割一块蛋糕达成协议，在第在第 阶段阶段 (偶数阶段偶数阶段)参与人参与人1提出提出一种分配方案（出价）一种分配方案（出价） ，参与人，参与人2可以接受可以接受也可以拒绝，如果接受，那么博弈结束

16、，如果拒也可以拒绝，如果接受，那么博弈结束，如果拒绝，他就在其后的奇数阶段中提出自己的分配方绝，他就在其后的奇数阶段中提出自己的分配方案建议。案建议。 0,2,4,( ,1)xx 每个参与人的支付函数为：如果在每个参与人的支付函数为：如果在t阶段达成协阶段达成协议，那么，贴现支付为议，那么，贴现支付为 ，x为参与人为参与人1获得的蛋糕份额，获得的蛋糕份额，1-1-x 为参与人为参与人2获得的蛋糕份获得的蛋糕份额，额， 与与 分别为两个参与人的贴现因子。分别为两个参与人的贴现因子。 12(,(1)ttxx122022-3-1724多重纳什均衡多重纳什均衡 例如例如“参与人参与人1总是要求得到总是

17、要求得到 ，并拒绝任何其他提，并拒绝任何其他提议，参与人议，参与人2总是提议总是提议 ，并接受任何提议，并接受任何提议”就是一就是一个纳什均衡个纳什均衡 1x 1x 但它不是一个子博弈完美均衡：如果参与人但它不是一个子博弈完美均衡：如果参与人2拒绝参与拒绝参与人人1的第一次出价，而还价的第一次出价，而还价 ，则参与人，则参与人1应该接应该接受，因为即使下一阶段他得到整个蛋糕，其价值也只受，因为即使下一阶段他得到整个蛋糕，其价值也只有有 。 1x12022-3-1725 有限博弈的唯一子博弈均衡有限博弈的唯一子博弈均衡：在最后一个阶段，：在最后一个阶段，不失一般性，设出价者为参与人不失一般性，设

18、出价者为参与人1，他要得到整，他要得到整个蛋糕，而另一方接受；在这之前的一个阶段中，个蛋糕，而另一方接受；在这之前的一个阶段中，参与人参与人1拒绝所有使他的份额小于拒绝所有使他的份额小于 的提议。然的提议。然后，按照这种方式逆推。后，按照这种方式逆推。 1 有限期模型的缺点有限期模型的缺点解依赖于期限的长短与最后是哪一方出价；解依赖于期限的长短与最后是哪一方出价； 如果最后一阶段没有达成协议，有限期模型不如果最后一阶段没有达成协议，有限期模型不允许参与人进一步努力以达成一个合理的协议。允许参与人进一步努力以达成一个合理的协议。 2022-3-1726 无限期的鲁宾斯坦模型中存无限期的鲁宾斯坦模型中存在唯一一个子博弈完美均衡：在唯一一个子博弈完美均衡： 21 211x 2022-3-17272022-3-17282022-3-17292022-3-1730供应链的协调供应链的协调 一个制造商和一个零售商组成的供应链一个制造商和一个零售商组成的供应链 经济系统经济系统需求函数为需求函数为 ( )bD IDaI集中决策者集中决策者的的渠道利润渠道利润 ( )()()cbIpc DaII最优解最优解1 (1