浙江大学自动控制原理第一章课件

1、2022-3-17第七章 离散化控制系统1作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 2022-3-17第七章 离散化控制系统2第一节 引言 如果在系统中一次或几次的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲或数码信号，这种系统称为离散化控制系统。 由于这些离散信号是连续函数经采样后形成的，故又称这类系统为采样控制系统。图7-1 计算机控制系统方框图2022-3-17第七章 离散化控制系统3 从A/D和D/A转换器看模拟量与数字量之间的转换关系，且两者有着确定的比例关系，因而图7-1可以简化为图7-2图7-2 图7-32022-3-17第七章 离散化控制系统4 采取分时处理方式，用一台计算机控制多个被

2、控对象。图7-42022-3-17第七章 离散化控制系统51）有利于系统实现高精度2）有效地抑制噪声，提高了系统抗扰动的能力3）不仅能完成复杂的控制任务，而且易于实现修改控制器的参数4）有显示、报警等多种功能计算机控制系统的优点计算机控制系统的优点分析离散系统的常用方法有两种：Z变换法和状态空间分析法。2022-3-17第七章 离散化控制系统6第二节 信号的采样与复现 把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。一、采样过程)(kTf图7-2022-3-17第七章 离散化控制系统7式中： *( )( )( )Tftf tt*( )() ()

3、kftf kTtkT，KT 脉冲出现时刻（7-2）（7-1）*( )()kfttkT图7-2022-3-17第七章 离散化控制系统8*0( )() ()kftf kTtkT2022-3-17第七章 离散化控制系统9)(kTt )(kTfktjkkTseatP)(脉冲产生的时刻；KT时刻的脉冲强度；把窄脉冲信号当理想脉冲信号处理是近似的，也是有条件的。二、采样定理设用于调制器载波的窄脉冲信号为 ；如图7-8所示。用傅立叶级数表示为22sin111jktsTeTkkTaedtkTTT（7-4）（7-5）( )TP t2022-3-17第七章 离散化控制系统10其中,Ta10Tak1Ta984. 0

4、1Ta935. 02101T若令则图7-2022-3-17第七章 离散化控制系统11图7-ktjkkTsseatfttftf)()()()(*ktjkktjseadejF)(212022-3-17第七章 离散化控制系统12()1()2sjktkka F jeduks*1( ) ()2jutskskfta F j ukedu*1( ) ()2j tskskfta F jked*() ()SkskFja F jk若令则或2022-3-17第七章 离散化控制系统13图7-10图7-112022-3-17第七章 离散化控制系统14图7-可知，相邻两频谱不重叠交叉的条件是max2smax2ssmax2s

5、香农采样定理图7-12香农定理的物理意义是：采样角频率若满足，则 就含有连续信号f(t)的全部信息，通过图7-11所示的理想滤波器，则可把原信号f(t)不失真的复现s)(*tfs2022-3-17第七章 离散化控制系统15如用理想脉冲序列采样的离散化信号，其傅氏变换表达式*1() ()skFjF jkT二、零阶保持器把采样值按常数、线形函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。图7-132022-3-17第七章 离散化控制系统16零阶保持器( )是把kT时刻的采样值恒值地保持到下一采样时刻（K+1）T。ZOH由图7-13(b)得脉冲响应传递函数频率特性)()()(Ttltlt

6、ghSeSGTSh1)(22)2sin(1)(TjTjheTTTjejGST2()sin()2()SjShSSGje把代入上式，得2022-3-17第七章 离散化控制系统17图7-15图7-14)(tfh2T 是一种近似的带通滤波器由 恢复的函数比原函数在相位上要平均滞后ZOH)(tfZOH2022-3-17第七章 离散化控制系统18设离散化信号*0( )() ()kftf kTtkT0*)()()(kkTSekTftfLsFTSeZ 0ln1*)()()(kkzTszkTfsFzF0*)()()(kkzkTftfZzF令，则定义：变换的三种求法：2022-3-17第七章 离散化控制系统191

7、( )Zt1)(kTf0k120( )1( )1.kkF zZtzzz 解：例7-1 求：、级数求和法当时，则有如果 ,则上式可写为：1z111)(1zzzzFateZ0a11zeaT.1)(2210zezezezFaTaTkkakT例7-2 求：，解：如果 ,则：aTaTezzzezF111)(2022-3-17第七章 离散化控制系统202、部分分式法例7-3 求的 的Z变换 解：)1)(1 ()1 (1111)()(11111zezzezeztfZzFaTaTaTaTetf1)(asssF11)()(sinatZjasjjasjasasF2121)(2221111)cos2(1)(sin1

8、21121)(zzaTzaTzejzejzFjaTjaT)()(assasF例7-4 求 解：2022-3-17第七章 离散化控制系统212、留数计算法 设 的拉氏变换为 ，且其为真有理式， 为 的极点，则Z变换用下式求得)(tf)(sFKPnkkPSnkTSRezzsFreszFK11)()(KPSTSkezzsFresR)(TSezzsF)(KPSPS)()(limTSpsezzsFpsR)()(lim)!1(111TSqpsqqezzsFpsdsdqR)(sF为 在 上的留数：)(sF若 含有 的一阶极点时，对应的留数为：PS)(sF若 含有 的q阶重极点时，对应的留数为：2022-3-

9、17第七章 离散化控制系统22)(zF3( )(1)(2)sF sss123( )(1)(1)()3()(1)()2sTSsTSTqTszF zsssq zeszsqssq zezzzeze21)(ssF2220) 1(1limzTzezzssdsdRTSs例7-5 已知求解例7-6 试求 的Z变换解二、变换的基本性质2022-3-17第七章 离散化控制系统23)()()()(22112211zFazFatfatfaZ)()()()( )()()()(2211022011022112211zFazFaZkTfaZkTfaZkTfakTfatfatfaZkkkkkk、线性定理0)(tf)()(z

10、FtfZ)()(zFZkTtfZk.)(.)()0(.)()()()()()1(1001nkkknkZnTfZTfZfZkTTfZkTfZkTnTfkTtfZ证：2、滞后定理设 t0 时, , ,则：式中k、T均为常量.证：2022-3-17第七章 离散化控制系统240)(kTnTf.)2()()0()(21ZTfZTffZkTtfZk)(zFZk考虑到nk， 则有 ：kZ延迟环节图7-172022-3-17第七章 离散化控制系统2510)()()(kknkkznTfZzFZkTtfZ10)1(1)1(1)1(0)(0)()() 1(.)()0(.) 1()(.)()0(.)()()()()(

11、kknkkkkkkkkkkknkkknznTfZzFZZTkfZTffZZTkfZkTfZTffZZkTTfZkTfZzkTnTfZzkTnTfkTtfZ3、超前定理证：0) 1()()0(TkfTff)()(ZFZkTtfZk如果，则2022-3-17第七章 离散化控制系统26)() 1(lim)(lim)(lim1zFznTftfzntmkkmzzmkkmmkkmzkTfTkffzFzzkTfTkfzFZfzZFzkTfTkfkTfTkfZ01100)() 1(limlim)0()() 1(lim)() 1(lim)()0()()() 1(lim)() 1()()() 1(lim)0(0f

12、zkTfTkffmkkm)()(aTatZeFetfZ4、终值定理设f(t)的Z变换为F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的极点和单位圆外的极点，则F(t)的终值为证：、复数移位定理2022-3-17第七章 离散化控制系统270)()()(kkTasatekTfetfZaTTaszeez)(1)()()()(101aTkkatzeFzFzkTfetfZ证：令，则：6、卷积定理 设 , , 的Z变换分别为 , , 且当t0时, 0)()()(trtgtc)(zC)(zG)(zR)()()(0nTrTnkgkTCkn)()()(zRzGzC000)()()()(kkknkkznTrTnkgz

13、kTCzC)(tc)(tg)(tr已知则证：2022-3-17第七章 离散化控制系统28nk 0)(Tnkg00)()()(kknznTrTnkgzCjnknj)()()()()()()(000)(zRzGzjTgznTrzjTgnTrzCjjnnnnjnj考虑到：时则：令：当k=0时,三、反变换)(zF)(*tf)(1zFZ把 反变换为 的过程叫Z的反变换，记为1、长除法2022-3-17第七章 离散化控制系统2912)(22zzzzzF)(*tf)(zF.97531211)(4321211zzzzzzzzF*1( ) ( )( )3 ()5 (2 )7 (3 ).ftZF zttTtTtT

14、zzF)()(1()1 ()(aTaTezzezzF例7-8,求 的反变换解2、部分分式法步骤:将分母 的多项式分解为因式把 展开为部分分式求各部分分式项的Z变换之和例7-9,已知 求)(*tf2022-3-17第七章 离散化控制系统30aTezzaTaTezzezzF111)(1(1)(aTezzzzzF1)(akTekTf1)(1( )( ) ( )kF zf tres F z z的所有极点)2)(1(10)(zzzzF或k=0，1，20*)()1 ()(kakTkTtetf3、反演公式例8-10,求 的Z反变换2022-3-17第七章 离散化控制系统31kzkzkkkzzzzzzzzzz

15、zreszzzzreskTf21010)2()2)(1(10) 1()2)(1(10)2)(1(10)2)(1(10)(211解或0*)()21010()(kkkTttf)(zC)(zR脉冲传递函数定义：在零初始条件下，输出离散化信号的Z变换 与输入离散化信号的Z变换 之比，即2022-3-17第七章 离散化控制系统32)()()(zGzRzC)()()()(11*zRzGzzCztC图7-18令.)2()2()()()()0()()()(0*TtTrTtTrtrnTtnTrtrn.)()(.)2()2()()()()0()(nTtgnTrTtgTrTtgTrtgrtC则2022-3-17第七

16、章 离散化控制系统33)()()0()(.) 1()()()0()(0nTrTnkggkTrTkgTrktgrkTCkn当 t=kT 时，0)(tg)()()(0nTrTnkgkTCn)()()(zRzGzCnnznTgzG0)()(考虑到 t 0, 0 k 0.866 l 采样具有降低系统稳定性作用。二、闭环极点与瞬态响应的关系2022-3-17第七章 离散化控制系统57)()()()()(zVzUzTzRzC1)(zzzR1)()()(zzzVzUzC)(zTniiipzAzAzzC101)(niiipzzAzzAzC101)(nikiipAAkC10)()(设令则假设 无重极点,则202

17、2-3-17第七章 离散化控制系统581、 实数极点位于单位圆内正实轴上极点对应的瞬态分量是一个单调的衰减过程，而位于圆内负实轴上极点对应的瞬态分量是正负交替变化的衰减过程。2、 共轭极点设一对共额极点为ijiieppijiieppiijkkiijkkiikiikiiiepAepApApAkc)(ijiieAAijiieAA）（）（）（iikiikjkiikjkiiikpAepAepAkciiiicos2)(令2022-3-17第七章 离散化控制系统59图7-332022-3-17第七章 离散化控制系统60下面分析S平面上不同闭环极点与其脉冲响应间的对应关系。sjssTs22TTSeezsjs

18、21图7-33a中示出了实部不同，虚部均为 的4对共轭极点和4个实极点。图7-33a中所示的极点均映射到Z平面的正实轴上，为图7-33b所示。在一个完整的振荡周期内只采一次，因而采样后的脉冲序列不能反映原有脉冲响应的变化规律。2022-3-17第七章 离散化控制系统61图7-34由于s21TTeTez2s即2022-3-17第七章 离散化控制系统62 在一个完整的振荡周期内，每隔180采一次，采样后的输出为正负交替的脉冲序列。sAjS81sjS41BsCjS31sDjS812022-3-17第七章 离散化控制系统63图7-352022-3-17第七章 离散化控制系统64在一个完整的振荡周期内，

19、采样的次数分别为8次，4次和3次，闭环极点尽可能配置在Z平面上单位圆内正实轴的附近，且距坐标原点的距离越小越好。三、最少拍系统当 ，k=0 时，称系统具有无穷大的稳定度。nnnnnnnnazazazbzbzbzbzRzCzG1111110.)()()( 离散化系统闭环脉冲传递函数的极点全部位于Z平面的坐标原点，则称系统具有无穷大稳定度。 最少拍系统在典型输入信号作用下，以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳太误差的离散化系统。令2022-3-17第七章 离散化控制系统65nnnnnzbzbzbzbzG1110.)(nnnnzbzbzbb)1(1110.)() 1(.)()()()(1101n

20、TtbTntbTtbtbzGZkgnn0.21naaa当则一个n阶稳定系统的脉冲响应共有n个脉冲序列，即在典型信号作用下，系统的瞬态响应将在n个采样周期内结束。例如二阶系统的闭环脉冲传递函数为：212)()()(zzzTzRzC2022-3-17第七章 离散化控制系统66ttr)(211)1 ()(zTzzR.43221)2()(43221121TzTzTzzzTzzzzC.)4(4)3(3)2(2)(TtTTtTTtTkcttr)(111)(zzR.212)(321121zzzzzzzc.)3(1)2(1)(2)(TtTtTtkc则： 表示系统的输出在第二拍就完全跟踪输入 的变化。)( 1)

21、(ttr则：2022-3-17第七章 离散化控制系统67)( 1)(ttr 表示系统的输出在第二拍就完全跟踪输入 的变化，但是其超调量 。 按照斜坡输入设计的最少拍系统，不能满足阶跃输入动态响应的性能要求。 。图7-36%100p2022-3-17第七章 离散化控制系统68四、离散化系统的稳态误差图7-37)()(11)(zRzGHzE)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim11zGHzRzzEzkeezzkss2022-3-17第七章 离散化控制系统69 条件：系统稳定，且 不含Z=1的二重及二重以上极点。 )(zE1)(0zzRzRpzzsskRzzRzGHze1lim1)(1

22、1) 1(lim0101)(lim1zGHkzdefp)( 1)(0tRtr1、阶跃输入 。 静态位置误差系数 0 型系统： psskRe100sse其中 为常数 pk 型和型系统： 2022-3-17第七章 离散化控制系统70tvtr021)(常量0v2、斜坡输入 20) 1()(zTzvzR)() 1(lim1) 1()(11) 1(lim10201zGHzTvzTzvzGHzezzssvkv0)() 1(lim11zGHzTkzdefv0vksse常量vkvsskve0静态位置误差系数 其中 0 型系统： 型系统： 2022-3-17第七章 离散化控制系统71vk0sse2021)(tatr 型系统： 3、抛物线函数输入 ， 320) 1(2) 1()(zzTazR)() 1(lim1) 1(2) 1()(11) 1(lim21203201zGHzTazzTazGHzezzssaka0)() 1(lim1212zGHzTkzdefa常量0a静态加速度误差系数 其中 2022-3-17第七章 离散化控制系统72 型系统： 0 型、 型系统： 0